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湖北省宜昌一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文 新人教A版


宜昌一中 沙市中学 2013 年秋季高二年级期末考试文科数学试卷 公安一中
命题学校:宜昌一中 审题学校:沙市中学、公安一中 考试时间:2014 年 1 月 19 日下午 14:30—16:30 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.抛物线 y ? ? A. ? 0,

1 2 x 的焦点坐标是(

8
B. ? ?

) C. ? 0, 2 ? D. ? 0, ?2 ?

? 1 ? ? ? 16 ?

? 1 ? ,0? ? 16 ?

2.某校高级职称教师 104 人,中级职称教师 46 人,其他教师若干人.为了了解该校教师的 工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 42 人进行调查,已知从其它教师中共 取了 12 人,则该校共有教师人 ( ) A.60 B.200 C.210 D.224

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 p 是 q 的( 3.已知 p : 5 ? m ? 8 , q : 方程 m?2 5?m
A.充分不必要条件 条件 B.必要不充分条件 C.充要条件



D.既不充分也不必要

2 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是( 4.若命题“ ?x0 ? R, 使得 x0



A. [2, 6]

B. [?6, ?2]

C. (2, 6)

D. (?6, ?2)

x2 y2 5.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 a b
为( ) B. y ? ?2 x C. y ? ?

A. y ? ? 2 x

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2


6. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取得 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ( A. 至少有 1 个黑球与都是黑球 B. 至少有 1 个红球与都是黑球 C. 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D. 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球
2 2 2 2

7. 已知圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 , 圆 C2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 , 则圆 C1 与圆 C2 的 位置关系是( A.相离 8.椭圆 ) B.相交 C.内切 D.内含 ,若直线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0 ? 的 左 右 焦 点 分 别 是 F1 , F2 , 焦 距 为 2 c

-1-

y ? 3( x ? c) 与椭圆交于 M 点,满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则椭圆的离心率是(
A.



2 2

B. 3 ? 1

C.

3 ?1 2

D.

3 2

9. 右图是歌手大奖赛中, 七位评委给甲、 乙两名选手打出的分数的茎叶图(其 中 m 为 0~9 中的一个正整数),现分别将甲、乙所得的一个最高分和一个最 低分均去掉后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1,a2 ,中位数分别为
b1,b2 ,则有(

) B. a1 ? a2 , b1 ? b2 D. a1,a2 与 b1,b2 大小均不能确定

A. a1 ? a2 , b1 ? b2 C. a1 ? a2 , b1 ? b2

10.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称 两条平行线和圆“相交” ;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离” ;若 两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切” .已知直线

l1 : 2 x ? y ? a ? 0 , l2 : 2 x ? y ? a 2 ? 1 ? 0 ,和圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 ? 0 相切,则实数 a 的取
值范围是( ) B. a ?

A. a ? 7 或 a ? ?3 C. ?3 ? a ? ? 6 或 6 ? a ? 7

6 或a ? ? 6

D. a ? 7 或 a ? ?3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11.某饮料店的日销售收入 y(单位:百元)与当天平均气温 x(单位:℃)之间有下列数据:

x y

-2 5

-1 4

0 2

1 2

2 1

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了 x 与 y 之间的三个线性回归方程:
? ? ? x ? 3 ;② y ? ? ? x ? 2.8 ;③ y ? ? ? x ? 2.6 ,④ y ? ? ? x ? 2.4 ,其中正确方程的序号是 ①y

12.若 PQ 是圆 O : x ? y ? 9 的弦,PQ 的中点是 M (1, 2) ,则直线 PQ 的方程是_________
2 2

13.在区间 ? ?2, 5 ? 上随机地取一个数 x ,若 x 满足 | x |? m 的概率为

5 ,m = 7

14.因乙肝疫苗事件,需要对某种疫苗进行检测,现从 800 支中抽取 60 支进行检验,利用随 机数表抽取样本时,先将 800 支按 000,001,?,799 进行编号,如果从随机数表第 7 行第 10 列的数开始向右读,则得到的第 4 个样本个体的编号是 了随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 (下面摘取

-2-

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82

52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

15.市交警部门计划对翻坝高速联棚至夷陵长江大桥路段进行限速,为调查限速 70km/h 是否 合理, 对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测, 将所得数据按[40,50), [50,60), [60,70), [70,80)分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽车有 _____辆.

16 .如下图是把二进制数 1111(2) 化成十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件 是 .

17. 下列命题: ①直线 y ? 2 x 在 x, y 轴上的截距相等; ②直线 ax ? 2 y ? 1 与直线 x ? y ? 0 平 行的充要条件是 a ? 2 ;③世界上第一个把 ? 计算到 3.1415926 ? ? ? 3.1415927 的是中国人 祖冲之; ④抛两枚均匀的骰子,恰好出现一奇一偶的概率为

1 ; ⑤满足 4
x2 ? 25 y2 ?1 9

PF1 ? PF2 ? 2a (a ? 0) 的动点 P 的轨迹是双曲线; ⑥设 P ( x 、 y ) 是曲线
上的点, F1 (?4, 0), F2 (4, 0) ,则必有 | PF1 | ? | PF2 |? 10 。 其中错误 的命题序号是 ..

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知点 M 与两个定点 O(0, 0) , A(3, 0) 的距离的比为 (1)求曲线 C 的轨迹方程;
-3-

1 ,点 M 得轨迹为曲线 C 。 2

(2)过原点且倾斜角为 135? 的直线交曲线 C 于 A 、 B 两点,求弦 AB 的长。

19. (本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 ,命题 p : ?x ? 0, x ?

a ? 2 恒成立;命题 q : ?k ? R, 直线 kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x

x2 ?

y2 ? 1 恒有公共点.问:是否存在正实数 a ,使得 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题?若 a2

存在,请求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 13 分) 为了了解某市各景点在大众中的熟知度, 随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 个人, 回答问题 “某 市有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表.

组号

分组

回答正确 的人数

回答正确的人数 占本组的频率 0.5
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

频率 组距

第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65]

a
18

x
0.9 0.36

b
9 3

y
15
25 35 45 55 65 年龄

(1)分别求出 a , b , x , y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽取 多少人? (3)在(2)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

21. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 A 在抛物线上,其横坐标为 4,且位于 x 轴上方,A 到抛物线准线的距离等于 5,过点 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标.
2

-4-

22. (本小题满分 14 分)

3 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴长为 2,点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是 2 2 a b ?? ? ?? ? x y x y 椭圆上的两点, m ? ( 1 , 1 ) , n ? ( 2 , 2 ) ,且 m ? n ? 0 . b a b a
已知椭圆 (1)求椭圆方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F (0, c) ( c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率; (3)试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

宜昌一中 沙市中学 2013 年秋季高二年级期末考试文科数学试卷答案 公安一中 1-----5 11.② D C A A C 6------10 D B B B C 14.704 15.270

12. x ? 2 y ? 5 ? 0

13.3

16. i ? 3 (或 i ? 4 )

17. ④ ⑤ ⑥

18.解:(1) ( x ? 1) ? y ? 4 ??????6 分
2 2

(2) 14

??????12 分

19 . 解 : 对 ?x ? 0 , ? x ?

a a ?2 a , ( a?0 ) ,所以要使 x? ? 2 恒成立,应有 x x

2 a ? 2,? a ? 1. ??????????4 分
2 ,要使直线 kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x ? ?k ? R ,直线 kx ? y ? 2 ? 0 恒过定点(0,2)

y2 ? 1有 a2

22 2 公共点,应有 2 ? 0 ? 1 ,解得 a ? 2. ??????????8 分 a
若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题

?a ? 1 ?a ? 1 ? ? 则 p 与 q 为一真一假,因此 ? a ? 2 或 ? a ? 2 ,解得 1 ? a ? 2 ???????12 分 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?
综上,存在 1 ? a ? 2 ,使得 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题.??????????13 分
-5-

20.解: (1)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为

9 ? 25 , 0.36

再结合频率分布直方图可知 n=

25 ? 100 , 0.025 ? 10
b=100×0.03×10×0.9=27, ?4 分

∴ a=100×0.01×10×0.5=5,

x?

18 ? 0.9, 20

y?

3 ? 0.2 15

(2)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人, 所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为: 第 2 组:

18 ? 6 ? 2 人; 54 27 ? 6 ? 3 人; 54 9 ? 6 ? 1人 54
?8 分

第 3 组:

第 4 组:

(3)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共 15 个基本事件, 其中恰好没有第 3 组人的共 3 个基本事件, 即(A1,A2), (A1,C1), (A2,C1)??? 11 分 ∴ 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: P ?

3 1 ? . ???13 分 15 5
p

21.解:(1)抛物线 y =2px(p>0)的准线为 x=- ,于是 4+ =5,∴p=2. 2 2 ∴抛物线的标准方程为 y =4x.
2

2

p

?6 分

4 (2)由(1)得点 A 的坐标是(4,4),由题意得 B(0,4),M(0,2),∵F(1,0),∴kFA= . 3 3 ∵MN⊥FA,∴kMN=- . 4 4 则 FA 所在直线的方程为 y= (x-1), 3

-6-

MN 所在直线的方程为 y-2=- x.

3 4

4 y= ? x-1? , ? ? 3 解方程组? 3 y-2=- x, ? ? 4

8 x= , ? ? 5 得? 4 y= . ? ? 5



N( , ). ?13 分

8 4 5 5

-7-

-8-


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