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2011年新课标版高考题库考点16 正弦定理和余弦定理


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考点 16
一、选择题

正弦定理和余弦定理

1.(2011·浙江高考文科·T5)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 a cos A ? b s

in B ,则

sin Acos A ?cos 2 B ? (
(A)-



1 2

(B)

1 2

(C)-1

(D)1

【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选 D. 由 a cos A ? b sin B 可得 sin A cos A ? sin 2 B
2 2 2 所以 sin A cos A ? cos B ? sin B ? cos B ? 1 .

二、填空题 2.(2011·安徽高考理科·T14)已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,
o

则 ?ABC 的面积为_______________. 【思路点拨】设三角形一边的长为 x,可以用 x 表示其他两边,再利用余弦定理建立方程求出 x,最后利 用三角形面积公式求出 ?ABC 的面积. 【精讲精析】设三角形中间边长为 x,则另两边的长为 x-4,x+4,那么

1 2 (x ? 4) ? x 2 ? ( x ? 4) 2 ? 2 x( x ? 4) cos120 ? , 解得x ? 10, 所以 S?ABC ? ?10 ? 6 ? sin120 ? ? 15 3. 2
【答案】 15 3 3.(2011·福建卷理科·T14)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形,

先在?ABC中,由余弦定理解出?C与?B,
然后在?ABD中 ,由正弦定理解得 AD.
【精讲精析】在 ?ABC 中,由余弦定理易得
-1-

cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 4 ? 12 ? 4 3 ? ? , ??C ? 30?,??B ? 30?.在?ABD中, 2 ? AC ? BC 2 2? 2? 2 3

AD AB AD 2 由正弦定理得: ? ,? ? ,? AD ? 2. 1 sin B sin ?ADB 2 2 2

【答案】 2 4.(2011·福建卷文科·T14)若△ABC 的面积为 3 ,BC=2,C= 60? ,则边 AB 的长度等于_____________. 【思路点拨】先由面积为 3 求得 AC,然后再用余弦定理求得 AB . 【精讲精析】在 ?ABC 中,由面积公式得 S ?
? 3 AC ? 3,? AC ? 2, 再由余弦定理,得 : 2

1 1 BC ? CA ? sin C ? ? 2 ? AC ? sin 60? 2 2

AB 2=BC 2 +AC 2 ? 2 AC ? BC ? cos C ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ?
【答案】2

1 ? 4 ,? AB ? 2 . 2

5.(2011·新课标全国高考理科·T16)在 VABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值
?



.

【思路点拨】利用三角函数知识,化简 AB ? 2BC ,统一角变量,然后求最大值. 【精讲精析】 令 AB ? c , BC ? a ,则由正弦定理得

a c AC ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2, ? c ? 2sin C, a ? 2sin A, 且 A ? C ? 120? , 3 2

? AB ? 2BC ? c ? 2a ? 2sin C ? 4sin A ? 2sin C ? 4sin(120? ? C ) = 2sin C ?
4( 3 1 3 ) cos C ? sin C ) ? 4sin C ? 2 3 cos C ? 2 7 sin(C +? ) (其中 tan ? ? 2 2 2

?当 C ? ? ? 90? 时, AB ? 2BC 取最大值为 2 7.
【答案】 2 7 6.(2011·新课标全国文科·T15)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. 【思路点拨】用余弦定理求得边 BC 的值,由 S?ABC= AB ? BC ? sin B 求得三角形的面积. 【精讲精析】设 AB ? c, BC ? a, AC ? b ,由余弦定理

1 2

-2-

1 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,得 49 ? a 2 ? 25 ? 2 ? 5a ? (? ) , 2
解得 a ? 3 ,? S?ABC ?

15 3 1 1 . ac sin B ? ? 3 ? 5 ? sin120? ? 4 2 2

【答案】

15 3 4

7. (2011· 北京高考理科· T9) 在 ?ABC 中, 若 b ? 5, ?B ?

?
4

则s , tan A ? 2 , i n A?

;a =

.

【思路点拨】先利用切化弦与平方关系联立解出 sinA,再由正弦定理求出 a. 【精讲精析】? tan A ? 2,? cos A ?

sin A sin A 2 ,? sin 2 A ? ( ) ? 1, 2 2

又 ? A ? (0, ? ),? sin A ?

2 5 a 5 .由正弦定理得, ,所以 a ? 2 10 . ? 5 2 5 2 5 2

【答案】

2 5 5

2 10

8.(2011·北京高考文科·T9)在 ?ABC 中,若 b ? 5, ?B ? 【思路点拨】利用正弦定理求出 a . 【精讲精析】由正弦定理得,

?

1 ,sin A ? ,则 a = 4 3

.

5 2 a 5 ,所以 a ? . ? 1 3 2 3 2

【答案】

5 2 3

三、解答题 9.(2011·安徽高考文科·T16)在 ?ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 ,

1 ? 2cos( B ? C) ? 0 ,求边 BC 上的高.
【思路点拨】化简 1 ? 2cos( B ? C) ? 0 ,求出 sinA,cosA,再由正弦定理算出 sinB,cosC,从而得到 sinC, 则 h=bsinC. 【精讲精析】由 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 和 B+C=π -A,得

1 3 1 ? 2 cos A ? 0, cos A ? , sin A ? , 2 2

-3-

再由正弦定理得, sin B ?

b sin A 2 ? . a 2

由 b<a,知 B<A,所以 B 不是最大角, B ? 由上述结果知

?
2

,从而 cos B ? 1 ? sin B ?
2

2 . 2

sin C ? sin(A ? B) ?

2 3 1 ( ? ). 2 2 2

设边 BC 上的高为 h,则有

h ? b sin C ?

3 ?1 . 2

10.(2011·辽宁高考文科·T17)已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,

a sin A sin B ? b cos2 A ? 2a .
(1)求

b 2 2 2 .(2)若 c = b + 3 a ,求 B . a

【思路点拨】 (1)依据正弦定理,先边化角,然后再角化边,即得. (2)先结合余弦定理和已知条件求出

cos B 的表达式,再利用第(1)题的结论进行化简即得.
【精讲精析】 (1)由正弦定理得, sin A sin B ? sin B cos A ?
2 2

2 sin A ,即

sin B(sin 2 A ? cos2 A) ? 2 sin A .故 sin B ? 2 sin A ,
所以

b ? 2 a
2 2 2

(2)由余弦定理和 c ? b ? 3a ,得 cos B ?
2 2 由(1)知 b ? 2a ,故 c ? (2 ? 3 )a .
2 2

(1 ? 3 )a . 2c

可得 cos B ?
2

2 1 ,又 cos B ? 0 ,故 cos B ? ,所以 B ? 45? . 2 2

11.(2011·山东高考理科·T17) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 (Ⅱ)若 cosB= ,b=2, 求△ABC 的面积 S. 4
(Ⅰ)求
-4-

【思路点拨】 (Ⅰ)本题可由正弦定理直接转化已知式子,然后再由和角公式及诱导公式易知 (Ⅱ)应用余弦定理及第一问结论易知 a 和 c 的值,然后利用面积公式求解. 【精讲精析】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由

sin C =2. sin A

cos A ? 2cos C 2c ? a 及正弦定理可得 ? cos B b cos A ? 2cos C 2sin C ? sin A , ? cos B sin B

即 cos A sin B ? 2cos C sin B ? 2sin C cos B ? sin A cos B 则 cos A sin B ? sin A cos B ? 2sin C cos B ? 2cos C sin B

sin( A ? B) ? 2sin(C ? B) ,而 A ? B ? C ? ? ,则 sin C ? 2sin A ,


sin C ?2. sin A

另解:在 ?ABC 中,由

cos A ? 2cos C 2c ? a 可得 ? cos B b

b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B
b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? b 2 由余弦定理可得 , ? ? ? 2c a a 2c
整理可得 c ? 2a ,由正弦定理可得 (Ⅱ)由 c ? 2a 及 cos B ?

sin C c ? ? 2. sin A a

1 , b ? 2 可得 4

4 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? 4a 2 ? a 2 ? a 2 ? 4a 2 , 则 a ? 1 , c ? 2 ,
S?

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? 1 ? cos 2 B ? ,即 S ? . 4 2 2 4

12.(2011·山东高考文科·T17) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值. sin A 1 (2)若 cosB= , ? ABC的周长为5,求b的长. 4
(1)求 【思路点拨】 (1)本题可由正弦定理直接转化已知式子,然后再由和角公式及诱导公式易知 (2)由周长得出,a 和 b 之间的关系 b=5-3a,再将 b=5-3a 代入余弦定理求得 a 和 b. 【精讲精析】(1)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C,

sin C =2. sin A

-5-

所以

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = , = cos B b sin B

即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即有 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,即 sin C ? 2sin A ,

sin C =2. sin A c sin C (2)由(1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a, a sin A
所以 又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a, 由余弦定理得: b ? c ? a ? 2ac cos B ,
2 2 2

即 (5 ? 3a) ? (2a) ? a ? 4a ?
2 2 2 2

1 ,解得 a=1,a=5(舍去) 4

所以 b=2. 13.(2011·湖南高考理科·T17)与(2011·湖南高考文科·T17)相同 在 ?ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csin A=acos C. (1)求角 C 的大小. (2)求 3 sin A ? cos(B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小.

【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边,再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的应用.边 角共存的关系中常考虑消去边或消去角,如果考虑消边,如果是边的一次函数常用正弦定理,如果是边的 二次函数常用余弦定理,在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角,那么是余弦就用余弦定理,而 如果是正弦定理必须等次才能使用. 【精讲精析】 (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?

?
4

3? (2)由(1)知 B ? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2sin( A ? ) 取得最大值 2. 6
综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?

?

?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?
-6-

?
3

,B ?

5? . 12

14.(2011·陕西高考理科·T18) 叙述并证明余弦定理. 【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导,这是高考考查的常规方向和考点,引导考生回归课本, 重视基础知识的学习和巩固. 【精讲精析】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积 的两倍.即在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,则有

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
证法一 如图, a ? BC
2

??? ?2

???? ??? ? ???? ??? ? ? ( AC ? AB)? ( AC ? AB)

???? 2 ???? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB ? b2 ? 2bc cos A ? c 2
即 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

同理可证 b ? c ? a ? 2ca cos B ,
2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法二 已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边 分别为 a, b, c, ,以 A 为原点, AB 所在 直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系,则

C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,
∴ a ?| BC | ? (b cos A ? c) ? (b sin A) ? b cos A ? 2bc cos A ? c ? b sin A
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
即 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

同理可证 b ? c ? a ? 2ca cos B ,
2 2 2

-7-

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
15. (2011· 天津高考文科· T16) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 B = C , 2b = 3a. (Ⅰ)求 cos A 的值. (Ⅱ) cos(2 A ?

?
4

) 的值.

【思路点拨】 (Ⅰ)根据余弦定理求解. (Ⅱ)利用三角函数的两角和、倍角公式化简计算. 【精讲精析】 (Ⅰ)由 B = C , 2b = 3a, 可得c = b =

3 a 2

3 2 3 2 a ? a ? a2 b ?c ?a 1 4 4 ? ? . 所以 cos A ? 2bc 3 3 3 2? a? a 2 2
2 2 2

(Ⅱ)因为 cos A ?

2 2 1 , A ? (0, ? ) ,所以 sin A = 1 - cos 2 A = 3 3

7 4 2 cos 2 A=2 cos 2 A- 1=- .故 sin 2 A=2sin A cos A= . 所以 9 9

?? ? ? ? 7? 2 4 2 2 8?7 2 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? ? ? ? ? ? ? ?? . 4? 4 4 ? 9? 2 9 2 18 ?
16.(2011·浙江高考理科·T18)在 ?ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ? (1)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a, c 的值. 4

(2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 【思路点拨】 (1)把题目中的条件用正弦定理化为边的关系,可联立方程组解出 a,c 的值.(2)角 B 为锐 角的充要条件为 0 ? cos B ? 1,从而得出 p 的取值范围.本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等 基础知识,同时考查运算求解能力. 【精讲精析】由题意得 a ? c ? pb , ac ?

1 2 b 4

1 ?a ? 1 ? 5 5 1 ? ?a ? (1) 当 p ? , b ? 1 时, a ? c ? , ac ? 解得 ? 4; 1 或? 4 4 4 c ? ? ? 4 ? ?c ? 1

-8-

(2) cos B ?

? a ? c ? ? 2ac ? b ? a ?c ?b ? 2ac 2ac
2 2 2 2 2

p 2b 2 ?

b 2

b2 ? b2 2 ? 2 p 2 ? 3 ? (0,1) 2



6 3 ? p? 2. ? p 2 ? 2 ,又由 a ? c ? pb 可得 p ? 0, 所以 2 2

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-9-


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