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安徽省马鞍山二中2011年实验班招生考试数学试题


【注意事项】 1.本试卷共 6 页,总分 150 分,答题时长 120 分钟,请掌握好时间。 2.先将自己的姓名、 准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。 考试结束后,应将试卷和答题卷一并交回。 3.考生务必将答案答在答题卷上,在试卷上作答无效。注意字迹清楚,卷 面整洁。
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中,不填、多填或 错填得 0 分)

? 1. ?x ? 表示不超过 x 的最大整数, ?4.3? ? 4 , ? 4.3? ? ?5 , 设 如 则下列各式正确的是(
A. ?x ? ? x B. ?x ? ? x ? 1 C. ?x ? ? ? x D. ?x? ? x ? 1

)

3.在下列四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是( .. A.2011
2

) D.2014 )

B.2012

C.2013
2

4.设 a,b 是方程 x ? x ? 2011 ? 0 的两个实数根,则 a ? 2a ? b 的值为( A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 ) 5.已知实数 a 、 b 、 c 满足 a ? 0 , 4a ? 2b ? c ? 0 ,则一定有( A. b ? 4ac ? 0
2

B. b ? 4ac ? 0
2

C. b ? 4ac ? 0
2

D. b ? 4ac ? 0
2

A

6. 如图, ?ABC 中, 在 EF∥BC,S?AEF ? S?BCE , S?ABC ? 1 , 若 则 S ?CEF 等于( ) C. 5 ? 2

E
3 D. 3 ? 2

F C

1 A. 4

1 B. 5

B 第 6 题图

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二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.将答案填在答题卷中相应横线上) 7.函数 y ? x ? 1 ? x ? 3 ? x ? 5 ? x ? 7 的最小值为 8.已知 .

xy 1 yz 1 zx 1 ? , ? , ? ,则 xyz 的值为 x? y 3 y?z 4 z?x 5
6 2 3 4 5 6



9.把 ?1 ? 2 x ? 展开后得: a0 ? a1 x ? a 2 x ? a3 x ? a 4 x ? a5 x ? a6 x ,则

(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) 2 ? (a1 ? a3 ? a5 ) 2 =

. .

10. 已知三个质数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? abc ? 119 , | a ? b | ? | b ? c | ? | c ? a |? 则 11.如图,在反比例函数 y ?

2 ( x ? 0 )的图象上,有点 P1 、 P2 、 P3 、 P4 ,它们的横坐 x 标依次为 1、2、3、4,分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的

12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,以 AB 为一边向△ABC 外作正方形 ABEF,正 方形中心为 O,且 OC= 4 2 ,那么正方形 ABEF 的面积是 .

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
13. (满分 12 分)计算:

1 2? 2

?

1 3 2?2 3

?

1 4 3 ?3 4

???

1 2011 2010 ? 2010 2011



14. (满分 12 分)设关于 x 的方程 x ? 5x ? m ? 1 ? 0 的两个实数根分别为 ? 、 ? ,试确
2 2

定实数 m 的取值范围,使 ? ? ? ? 6 成立.

15. (满分 12 分)已知点 A、B 的坐标为 (?2,0),(4,0) ,在直线 y ? 标,使△ABP 是直角三角形.

1 x ? 2 上求出点 P 的坐 2

16. (满分 14 分)已知二次函数 y ? x ? 2mx ? 1 .记当 x ? c 时,相应的函数值为 yc,那
2

么,是否存在实数 m ,使得对于满足 0 ? x ? 1 的任意实数 a 、 b ,总有 ya ? yb ? 1 . 如果存在,求出实数 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

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17. (满分 14 分)已知 n 为正整数,若 n ? 96 能被 5n ? 51 整除,试求 n 的值.
2

18. (满分 14 分)如图,△ABC 的内心为 I (三角形的内心是三角形的角平分线的交点) , 过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H ,且直线 AH 交 BC 于 F .设 D、E、G 分别为内 切圆 I 与边 BC、CA、AB 的切点,求证: (1) AG ? DF ; (2)D、H、E 三点共线. A

G I H

E

B

D

F

C

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2011 年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试 数学参考答案

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ) 1 3 7、 8; 8、 ; 9、729; 10、42; 11、 ; 6 2 三、解答题(本大题共 6 题,共 78 分. )
13、解:由

12、34.

1 1 1 ? ? . (n+1) n ? n n ? 1 n n ?1

…………………………8 分

所以原式 ? 分

1 1 1 1 1 1 .…………………………10 ? ? ? ?? ? ? 1 2 2 3 2010 2011

?

2011 1 1 ? 1? . ? 2011 1 2011

…………………………12 分

当 1 ? m ? 0 时,得 25 ? 4(1 ? m ) ? 36 ,
2
2

∴?

15 15 ?m? .② 2 2

…………………………11 分

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由①、②得: ?

15 15 . ?m? 2 2

…………………………12 分

15、解:分三种情况如下: (1)若 ?PAB ? 90 ,则 P 的横坐标为 x ? ?2 ,代入到方程 y ?
?

1 x ? 2 中得纵坐标 2
坐 标 为

y ?1 (?2,1) ;
( 2 ) 若









P





…………………………2 分

?PBA ? 90?











P











(4, 4) ;

…………………………4 分
?

(3)若 ?APB ? 90 ,作 PM ? x 轴于点 M ,设 P 点的坐标为 ( x, y ) ,根据射影定理, 得

y 2 ? ( x ? 2)(4 ? x), y ?
………8 分

1 x ? 2, 2

…………………

? ? 4 5 4 5 ? x? ? x?? ? ? 5 5 或? 联立消元,解得 ? ; 2 5 2 5 ?y ? ? 2 ?y ? ? ?2 ? ? 5 5 ? ?
故 P 点的坐标为 ( 综 上 所 述

4 5 2 5 4 5 2 5 , ? 2), (? ,? ? 2) . 5 5 5 5

P











(?2,1)



(4, 4)



(

4 5 2 5 4 5 2 5 , ? 2), (? ,? ? 2) .………12 分 5 5 5 5

16、解:设 f (x) 在 0 ? x ? 1 的最小值为 M,原问题等价于 2M ? 1, M ? 二 次 函 数 线.

1 . 2

y ? x 2 ? 2mx ? 1 的 图 象 是 一 条 开 口 向 上 的 抛 物
…………………………1 分

① 当 对 称 轴 x ? m ? 0 时 , 由 图 象 可 知 , x ? 0 时 , y 最小 ? 1 , 这 时 1 ? 立;…………………5 分
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1 成 2

②当对称轴 x ? m , 0 ? m ? 1 时,由图象可知 x ? m 时, y 最小 且 y最小 ? 1 ? m ,
2







1 ? m2 ?

1 2 1 ,m ? 2 2







0?m?

2 ; 2

…………………………9 分

③当对称轴 x ? m , m ? 1 时,由图象可知, x ? 1时, y 最小 且 y最小 ? 2 ? 2m , 这 时 有

2 ? 2m ?

1 3 ,m ? 2 4



m ?1











去. …………………………13 分 综 上 可 知 , 满 足 条 件 的 m 存 在 , 且

m

的 取 值 范 围 是

m?

2 . 2

…………………………14 分

由①、②得 25k ? 204k ? 384 ? (5k ? 20) 解得 k ? 4 ,
2 2

代入到( * )中有 n ? 20n ? 300 ? 0 ,
2

解 求.



n ? 30

为 …………………………14 分



18、解: (1)由题意 I 为△ABC 的内心,所以 ?ABH ? ?HBG , 又 AG ? BH ,所以 ?AHB ? ?GHB ? 90 ,
?



BH ? BH







AHB





GHB













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AB ? BG ,
又 所 ; A ? ……………5 分 由 切 , G

…………………………2 分 线 长 定

B ?

B

D

理 , 得 …………………………4 分 以 …………… G

(2)方法 1:如图,设直线 BI 与 CA 边相交于 K 点,连结 AI , DI , EI , DH , EH . 因 为

?B

D ?I

? ,

A

H B ?

, ? 所 ?I B D以

△A IBD H B ∽



ABH.


…………………………7 分

BD IB BD HB 又 因 为 ?H B D ? A , I所 以 △ HBD ∽ △ ? ,即 ? ? B BH AB BI AB

ABI.……………………9 分 有 ?BHD ? ?BAI ①
因 圆, 为

?AEI ? ?AHI ? 90?







A,

E,

四 H,

I点



…………………………12 分 有 ?EHK ? ?EAI ② 由①、②及 ?BAI ? ?EAI ,得 ?BHD ? ?EHK . 故

D, H , E



点 …………………………14 分



线.

A G I B D H F C E

方法 2:如图,连结 DE, EH , AI , EI . 因 为

?AEI ? ?AHI ? 90?







A,

E,

H ,四 I 点 共 圆 , 有
, 所 以

?AEH ? ?AIB . ……………………9 分 又 因 为 为 的 内 心 ?ABC I 1 …………………………11 分 ?AIB ? 90? ? ?C . 2
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从而 ?AEH ? 90? ? 因 为

1 ?C . 2

C ?

D



C



E



?DEC ?
于 线.

180? ? ?C 1 ? 90? ? ?C . 2 2


…………………………13 分 , 故

?AEH ? ?DEC ? 180?

D, H , E







…………………………14 分

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