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广西桂林中学2010-2011学年高一上学期期中考试(数学)


桂林中学 2010—2011 学年上学期期中考试 高一数学科试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3-4 页。试卷满 分 150 分。考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,满分 60 分) 1. 下列关系中,正确

的是( )。 A.O∈ ? ? B. ? ∈{O} C. O ? ? D. ? ? {O}?

b 2.设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0, , b} ,则 b ? a ? ( ) 。 a A.1 B. ?1 C.2 D. ?2 3.集合{1,2,3}的真子集共有( ) 。 A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 x 4.若 f(x)= ,则下列等式成立的是( ) 。 1? x2 1 1 A.f( ) ? f ( x ) B.f( )=-f(x) x x
1 1 C.f( )= x f ( x)

1 1 D. f ( ) ? ? x f ( x)

5.点(x, y)在映射“f”的作用下的象是点(x+2y, 3x-4y),则在此映射的作用下的点(5, 6) 的原象是( )。 16 9 A.(5, 6) B. ( , ) C. (17, -9) D.其它答案 5 10 6.若函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 1 在定义域 A 上的值域为 ?? 3,1? ,则区间 A 不可能为( ) 。 A. ?0,4? B. ?2,4? C. ?1,4? D. ?? 3,5? )。

7.若函数 y=f-1(x)的图像经过点(-2,0),则函数 y=f(x+5)的图像经过点( A.(5,-2) B.(-2,-5) C.(-5,-2) D.(2,-5)

8.原命题:“设 a,b,c ? R, 若 a>b, 则 a+c>b+c”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题共有( A.0 )个。 B.1 C.2 )。 B.y=(x-a)2-a(x≥a) D.y=(x-a)2-a(x≤a)
1

D.4

9.y=a- x ? a (x≥a)的反函数是( A. y=(x-a)2+a(x≤a) C. y=(x-a)2+a(x≥a)

?1 10.已知函数 f ?x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ?x ?
A. ?? 1,1? B. ?0,1?

? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是( ? ?
D. ?? 1,0? ? ?0,1?

) 。

C. ?? ?,?1? ? ?1,???

11.已知条件 p∶x+y≠-2,q∶x,y 不都是-1.则 p 是 q 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12. 一元二次方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0,(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( A. a ? 0 B. a ? ?1 C. a ? 0 D. a ? ?1 ) 。

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分) x 1 1 1 13.已知 f(x)= ,则 f( )+f( )+f( )+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 3 2 1? x 4 1 1 ( x ? ?1), 则f ?1 (? ) ? 14.已知 f(x)= 。 2 3 1? x 15.不等式 1≤|2x-3|≤5 的解是__________。
( x ≤ ?1) ?x ? 2 ? 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? 16.设 f ( x) ? ? x ? 2x ( x ≥ 2) ?





三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分)

17、 (本题满分 10 分) 解关于 x 的不等式: ( x ? a)(x ? 3) ? 0

(a ? R) 。

2

18、 (本题满分 12 分) 设关于 x 的方程 x2+px-12=0,x2+qx+r=0 的解集分别为 A、B 且 A≠B,A∪B={-3,4 } ,A ∩B={-3} ,求 p,q,r 的值.



19、 (本题满分 12 分) 已知命题 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负实根, 命题 q : 方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无 实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

20、 (本题满分 12 分) 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值; (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+5)-f(
1 )<2. x

x )=f(x)-f(y). y

3

21、 (本题满分 12 分) 某 种 商 品 在 近 30 天 内 每 件 的 销 售 价 P ( 元 ) 与 时 间 t ( 天 ) 的 函 数 关 系 近 似 满 足
P ?{ t ? 20, ? t ? 100, (1 ? t ? 24, t ? N ) ,商品的日销售量 Q (件)与时间 t (天)的函数关系 (25 ? t ? 30, t ? N )

近似满足 Q ? ?t ? 40(1 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最 大的一天是 30 天中第几天?

22、 (本题满分 12 分) 1 已知 ≤ a ≤1,若函数 f ? x ? ? ax2 ? 2x ? 1在区间[1,3]上的最大值 3 为 M ? a ? ,最小值为 N ? a ? ,令 g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? . (1)求 g ? a ? 的函数表达式;
1 (2)判断函数 g ? a ? 在区间[ ,1]上的单调性,并求出 g ? a ? 的最小值 . 3

4

桂林中学 2010—2011 学年上学期期中考试(高一)
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分)

1 D

2 C

3 C

4 A

5 B

6 D

7 C

8 D

9 A

10 D

11 A

12 B

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分)
7 2

13、

14、 ? 2

15、 ?x | ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 4

?

16、 3

三、解答题 17、解关于 x 的不等式: ( x ? a)(x ? 3) ? 0 解:当-3<a,-a ? x ? 3, 当 a=-3,x=3, 当 a<-3,3 ? x ? -a, 3分 6分 9分

(a ? R) 。

?x | (1)当 ? 3 ? a时,其解集为: ?a ? x ? 3?

?x | (2)当a ? ?3时,其解集为: 3 ? x ? ? a?
(3)当a ? ?3时,其解集为: {3}
10 分

18、设关于 x 的方程 x2+px-12=0,x2+qx+r=0 的解集分别为 A、B 且 A≠B,A∪B={-3,4 } , A∩B={-3} ,求 p,q,r 的值.

解:

? A ? B ? {?3},? (?3)2 ? 3 p ? 12 ? 0 ? p ? ?1
5分

3分

? 方 x 2 ? x ? 12 ? 0的 集 :{ x | x ? ?3或x ? 4} 程 解 为

5

又? A ? B ? {?3,4}, A ? B, ? 方程 x 2 ? qx ? r ? 0,的解集为 : { x | x ? ?3}

7分

?(?3) ? (?3) ? ?q ?? ,q ? (?3) ? (?3) ? r
综上:p=-1,q=6,r=9

? 6, r ? 9
12 分

11 分

19、 已知命题 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负实根, 命题 q : 方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 解;?

p : 方 x 2 ? mx ? 1 ? 0有 个 相 的 实 程 两 不 等 负 根
?m ? 2

?m 2 ? 4 ? 0 ?? ? m?0

3分

又? q : 方 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0无 数 。 程 实 根
? ? ? [4(m ? 2)]2 ? 4 ? 4 ? 0? 1? m ? 3
6分

? p或q为 , p且q为 真 假

m?2 ? ? 当p真q假时, ? ?m ? 1或m ? 3
? m?2 当p假q真 , 时 ? ?1 ? m ? 3
综上: m ? 3或1 ? m ? 2

m?3

9分

1? m ? 2

12 分

20、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f(

x )=f(x)-f(y). y

6

(1)求 f(1)的值; (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+5)-f( 解: (1)令 x ? y ? 1,
1 )<2. x

1 则f ( ) ? f (1) ? f (1) ? 0, 1

? f (1) ? 0 3 分

(2)? f ( ) ? f ( x ) ? f ( y )

x y

x ? f ( y) ? f ( ) ? f ( x) y

4分

? f (6) ? 1

,? 2 ? 1 ? 1 ? f (6) ? f (6) ? f (36)

6分

? f ( x )是定义在( 0, ?)上的增函数。 ? 1 ? 不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2,可等价于 x ? x?5?0 ? 1 ?0 ?0 ? x ? 4 ? x ? ? x( x ? 5) ? 36 ? 不等式的解集为 { x | 0 ? x ? 4}

12 分

21、某种商品在近 30 天内每件的销售价 P (元)与时间 t (天)的函数关系近似满足
P ?{ t ? 20, ? t ? 100, (1 ? t ? 24, t ? N ) ,商品的日销售量 Q (件)与时间 t (天)的函数关系 (25 ? t ? 30, t ? N )

近似满足 Q ? ?t ? 40(1 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最 大的一天是 30 天中第几天? 解:设这种商品第 t 天的销售额为 y 元,则

? (? t ? 40)(t ? 20) y?? ?(? t ? 100)(? t ? 40)

(1 ? t ? 24, t ? N ) (25 ? t ? 30, t ? N )

4分

? ( ? t ? 10) 2 ? 900 即: y ? ? 2 ?( ? t ? 70) ? 900

(1 ? t ? 24, ( 25 ? t ? 30,

t ? N) t ? N)

6分

7

?当t ? 10时 y ? ?(t ? 10) 2 ? 900 ,

(1 ? t ? 24, t ? N ) , 有 大 最 值

900

8分

当t ? 25时 y ? (t ? 70) 2 ? 900 ,

(25 ? t ? 30, t ? N ) , 有 大 最 值
10 分

1125

? 这种商品在第 天时,销售金额最大, 25 最大值为

1125 元

12 分

1 22. 已知 ≤ a ≤1,若函数 f ? x ? ? ax2 ? 2x ? 1在区间[1,3]上的最大值 3 为 M ? a ? ,最小值为 N ? a ? ,令 g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? .

(1)求 g ? a ? 的函数表达式;
1 (2)判断函数 g ? a ? 在区间[ ,1]上的单调性,并求出 g ? a ? 的最小值 . 3

1 1 ? a ? 1,? f ( x ) 的图像为开口向上的抛物线,且对称轴为 x ? ? [1,3]. 3 a 1 ∴ f ? x ? 有最小值 N (a) ? 1 ? . 2分 a 1 1 1 当 2≤ ≤3 时, a ?[ , ], f ( x) 有最大值 M ? a ? ? f ?1? ? a ?1; 4 分 a 3 2 1 1 当 1≤ <2 时,a∈( ,1], f ( x ) 有最大值 M(a)=f(3)=9a-5; 6 分 a 2 1 1 1 ? ?a ? 2 ? a ( 3 ? a ? 2 ), ? ? g (a) ? ? 7分 1 1 ?9a ? 6 ? ( ? a ? 1). ? a 2 ? 1 1 (2)设 ? a1 ? a2 ? , 3 2 1 则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(1 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ), a1a2 1 1 ? g (a )在[ , ] 上是减函数. 9分 3 2 1 1 ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ), 设 ? a1 ? a2 ? 1, 则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(9 ? 2 a1a2 1 ? g ? a1 ? 在( ,1] 上是增函数. 11 分 2 1 1 ∴当 a ? 时, g ? a ? 有最小值 . 12 分 2 2

解: (1)∵

8


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