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上海市金山中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题


金山中学 2014 学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线的方程为 3

x ? 3y

? 0
4

. .

2.若点 M ?? 2,8?在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则实数 p 的值为

3.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 AB 和 CC1 的距离为 4.过点 P(3, 4) 的圆 x 2 ? y 2 ? 25 的切线方程为 5.椭圆

2




3x ? 4 y ? 25 ? 0

x2 y 2 4 . ? ? 1 上的点 M 到左焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 中点,则 | ON |? 25 9 6 .已知三棱锥 P ? ABC 满足 PA ? PB ? PC ,则点 P 在平面 ABC 上的射影是三角形 ABC 的
外 心.

7.如图,已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面 展开图如下图所示,则该凸多面体的体积 V ?
?

1?

2 6


第7题

8 . 在 北 纬 60 圈 上 有 A, B 两 地 ,他 们 在 纬 度 圈 上的 弧 长等 于

?R
2

( R 是地球的半径),则 A, B 两地的球面距离是

?R
3

.

9.将一个半径为 2 的半圆面围成一个圆锥,所得圆锥的轴截面面积等于 10.已知抛物线 y 2 ? 4 3x 的准线过椭圆 轴长的 2 倍, 则该椭圆的方程为
2 2

3

.

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,椭圆的长轴长是短 2 a b 2 x ? y2 ? 1 . 4

E 在棱 AB 上移动,当 AE ? 11.已知长方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AB ? 2, AD ? 1, AA 1 ? 1 ,点

2

时,直线 D1E 与平面 AA1D1D 所成角为 45 .
错 误 ! 未

?

12. 空间四边形 ABCD, AB ? CD ? 8, M、N、P 分别为 BD、AC、BC
? 的中点,若异面直线 AB 和 CD 成 60 的角,则 MN ?

4或

4 3



A 找
到 引 用 源 。

13. 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 1 ,DD1 中点为 Q , 过 A 、 Q 、 B1 三点的截面面积为

9 8



错 错 误 错 误 ! 错误!未找到引用源。 误 ! 未 ! 未 找 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 未 找 到 错误!未找到引用源。 引 第 13 题 找 到 到 引 用 引 用 源 用 源 。
源 。
1



14.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边形内任一点 P 到第 i 条

a1 a 2 a3 a 4 2S ? ? ? ? k ,则 h1 ? 2h2 ? 3h3 ? 4h4 ? ;根据以 1 2 3 4 k 上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积为 S i ?i ? 1,2,3,4? ,此三棱锥内任一点 Q 到 i 个面
边的距离为 hi ?i ? 1,2,3,4? ,若 的 距 离 为 Hi ? i ? 1, 2,3, 4? , 若

S1 S 2 S 3 S 4 ? ? ? ? k , 则 H1 ? 2H 2 ? 3H 3 ? 4H 4 ? 1 2 3 4

3V k

.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的一个充要条件是 15. “方程 2 ? m 1? m
A . ?2 ? m ? ?1 B. m?0



C



C . m ? ?2 或 m ? ?1

D .m ? 0


16.已知 A , B , C , D 是空间四点.命题甲: A , B , C , D 四点不共面,命题乙:直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的

A



A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

17.如图,一个封闭的长方体,它的六个表面各标出 A、B、C、D、E、F 这六个字母,现放成下面 三种不同的位置,所看见的表面上的字母已表明,则字母 A、B、C 对面的字母依次分别为 (

C



错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

第 17 题

第 18 题

2

B . F、D、E D . E、F、D C . E、D、F 2 O AB 、 CD 18.如图,在底面半径和高均为 的圆锥中, 是底面圆 的两条互相垂直的直径, E 是母
线 PB 的中点.已知过 CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分,则 该抛物线的焦点到圆锥顶点 P 的距离为 (

A . D、E、F

D



A .2

B. 3

C. 6

D.

10 2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分)

M 如图,在体积为 16 的正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点

D1 A1 M D A
第 19 题

C1 B1



DD1 的中点, DD1 ? 2 AD . (1)求棱 BC 的长; (2)求异面直线 AD1 与 C1M 所成角的大小.
解: (1) BC ? 2 (2)连 BC1 ,则 BC1 / / AD1 ??????????4 分

C B

??MC1B 或其补角为直线 AD1 与 C1M 所成的角 ????6 分
在 ?MC1B 中, MC1 ? 2 2, BC1 ? 2 5, MB ? 2 3 ,

? cos ?MC1 B ?

10 5 10 5
????12 分 P

直线 AD1 与 C1M 所成角的大小为 arccos

20. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)

PA ? AB ? AD ? 如图, 已知 PA ? 平面 ABCD ,

1 CD ? 1 , 2
B

A

D C

?BAD ? ?ADC ? 90 .
?

(1)求直线 PD 与平面 PAB 所成角的大小; (2)求点 B 到平面 PCD 的距离. 解: (1)? PA ? 平面 ABCD ,? PA ? AD ,
0 又? ?BAD ? 90 ? AD ? 平面 PAB

第 20 题

? ?DPA 是直线 PD 与平面 PAB 所成的角

????3 分

3

? ?DPA ?

?
4

,所以直线 PD 与平面 PAB 所成的角为

? 4

????6 分 ??????8 分

(2) ?VB? PCD ? VP? BCD 而 VP ? BCD ?

1 1 1 ? ? 2 ?1 ?1 ? 3 2 3

?????????10 分 ?????????12 分

PD ? 2 , S?PCD ? 2 ,

1 2 2 VB ? PCD ? S ?PCD ? d ,所以 d ? ,即点 B 到平面 PCD 的距离为 3 2 2

??14 分

21. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 如图,在四棱锥 ? ? ?? CD 中,底面 ?? CD 为矩形, ?? ? 平面 ?? CD , ? C ? 平面 ? D? . 点 ? 在线段 ? C 上, (1)求证: ? D ? 平面 ??C ; (2)若 ?? ? 1 , ? D ? 2 ,求二面角 ? ? ? C ? ? 的大小. 解: (1) 证明:∵ PA ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ∴ PA ? BD . 同理由 PC ? 平面BDE ,可证得 PC ? BD . 又 PA ? PC ? P ,∴ BD ? 平面PAC . B

P

A

E D
第 21 题

C

?????????????6 分

(2)解法一:设 AC , BD 的交点为 O ,过点 O 作 OF ? PC 于点 F ,连 BF 易证 ?BFO 为二面角 ? ? ? C ? ? 的平面角 ?????????????9 分

由(1)知 BO ? AC ? ABCD 为正方形? AB ? 2 ,

在 Rt ?BFO 中, BO ?

2, OF ?

2 ,? tan ?BFO ? 3 , 3

?二面角 B ? PC ? A 的大小为 arctan 3 ?????????????14 分
解法二: 分别以射线 AB , AD , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 A ? xyz . 由(1)知 BD ? 平面PAC ,又 AC ? 平面PAC , ∴ BD ? AC . 故矩形 ABCD 为正方形,∴ AB=BC=CD=AD=2 .

0,, 0) B(2, 0,, 0) C (2, 2,, 0) D(0, 2,, 0) P(0, 0, 1) . ∴ A(0,
∴ PB ? ? 2,0,1? , BC ? ? 0, 2,0 ? , BD ? ? ?2, 2,0 ? .
4

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ? ?2 x ? 0 ? y ? z ? 0 ?n ? PB ? 0 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ??? ,即 ? , ? ?0 ? x ? 2 y ? 0 ? z ? 0 ? ?n ? BC ? 0
∴?

? ?z ? 2x ,取 x ? 1 ,得 n ? (1,0, 2) . ?y ? 0
??? ?

∵ BD ? 平面PAC ,∴ BD ? (?2, 2,0) 为平面 PAC 的一个法向量.

? ??? ? ? ??? ? n ? BD 10 所以 cos ? n, BD ?? ? ??? . ? ?? 10 n BD
设二面角 B ? PC ? A 的平面角为 ? ,由图知 0 ? ? ?

?
2

,则 cos ? ? cos n, ?D ?

? ? ???

10 10

?二面角 B ? PC ? A 的大小为 arccos

10 10

?????????????14 分

22. (本题满分 16 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 9 分) 如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图 1)穿在一起,在没有 帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等. 铆合的两块钢板,成为某种钢结构的配件,其截 面图如图 2.(单位:mm,加工中不计损失). (1)若钉身长度是钉帽高度的 2 倍,求铆钉的表面积; (2)若每块钢板的厚度为 12 mm,求钉身的长度(结果精确到 1 mm).
20 38

12 20 12

19

19 38 图1

第 22 题

图2

5

解:设钉身的高为 h ,钉身的底面半径为 r ,钉帽的底面半径为 R ,由题意可知:??1 分 (1) 圆柱的高 h ? 2 R ? 38 ???????????????2 分

圆柱的侧面积 S1 ? 2?rh ? 760 ? ?????????????????3 分 半球的表面积 S 2 ?

1 ? 4?R 2 ? ?R 2 ? 1083? ???????????5 分 2

2 所以铆钉的表面积 S ? S1 ? S 2 ? 760? ? 1083? ? 1843? ( m m )??7 分

(2) V1 ? ?r 2 ? h1 ? 100? 24? ? ? 2400 ?

??????????9 分 ???????11 分 ???????12 分 ???????14 分 ??????15 分

V2 ?

1 4 2 13718 ? ? ? ? ? R 3 ? ? 193 ? ? ? 2 3 3 3

设钉身长度为 l ,则 V3 ? ?r 2 ? l ? 100?l 由于 V3 ? V1 ? V2 ,所以 2400? ?

13718 ? ? 100?l , 3

解得 l ? 70 mm
2

?m m ,钉身的长度约为 70 mm . ???16 分 答:钉身的表面积为 1843
23 . (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 如图所示的“8”字形曲线是由两个关于 x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其 中上半个圆所在圆方程是 x ? y ? 4 y ? 4 ? 0 ,双曲线的左、右顶点 A 、 B 是该圆与 x 轴的交点,
2 2

双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点. (1)试求双曲线的标准方程; (2)记双曲线的左、右焦点为 F 1 、 F2 ,试在“8”字形 曲线上求点 P ,使得 ?F 1PF 2 是直角. (3)过点 A 作直线 l 分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆 于点 M 、N ,求 | MN | 的最大长度.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,在已 a 2 b2 2 知圆的方程中,令 y ? 0 ,得 x ? 4 ? 0 ,即 x ? ?2 ,则双曲
解: (1)设双曲线的方程为

第 23 题

6

线的左、右顶点为 A ? ?2,0 ? 、 B ? 2,0? ,于是 a ? 2 令 y ? 2 ,可得 x ? 8 ? 0 ,解得 x ? ?2 2 ,即双曲线过点 ?2 2, 2 ,则
2

?

?

8 4 ? ? 1 所以 b ? 2 , 22 b 2

x2 y 2 ? ?1 ????????4 分 4 4 (2)由(1)得双曲线的两个焦点 F1 ?2 2, 0 , F2 2 2, 0 ???????? 5 分
所以所求双曲线方程为

?

?

?

?

? 当 ?F 1PF 2 ? 90 时,设点 P ? x, y ? ,

①若点 P 在双曲线上,得 x2 ? y 2 ? 4 , 由F 1P ? F 2P ? 0 , 得 x ? 2 2

???? ???? ?

?

??

? x2 ? y 2 ? 4 2 x ? 2 2 ? y2 ? 0 ? x ? 8 ?y2 ? 0 由? 2 ,解得 2 x ? 8 ? y ? 0 ?

?

? ?x ? ? 6 6, 2 , P2 6, ? 2 , P3 ? 6, 2 , P4 ? 6, ? 2 ?? 8 分 所以 P ? 1 y ? ? 2 ? ? ???? ???? ? ②若点 P 在上半圆上,则 x2 ? y2 ? 4 y ? 4 ? 0 ? y ? 2? ,由 F 1P ? F 2P ? 0 ,

?

? ?
2

? ?

? ?

?

? x2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 得 x ? 2 2 x ? 2 2 ? y ? 0 ,由 ? 无解???????? 11 分 2 2 ? x ? y ?8 ? 0

?

??

?

综上,满足条件的点有 4 个,分别为

P 1

?

6, 2 , P2

? ?

6, ? 2 , P3 ? 6, 2 , P4 ? 6, ? 2

? ?

? ?

?

???????? 12 分

(3)设点 M 、N 的横坐标分别为 xM、xN , ①当直线 l 斜率不存在时,可求得 | MN |? 8 ???????? 14 分 ②当直线 l 斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 2) ,则:

y ? k ( x ? 2) ? ? (k 2 ? 1) x 2 ? (4k 2 ? 4k ) x ? 4k 2 ? 8k ? 4 ? 0 , ? 2 2 ?x ? y ? 4 y ? 4 ? 0 4k 2 ? 8k ? 4 ?2k 2 ? 4k ? 2 以上方程有一根为 ?2 且两根之和 x1 x2 ? ,所以 xM ? , k 2 ?1 k 2 ?1 ?2k 2 ? 4k ? 2 由两半圆关于 x 轴对称可求得 xN ? , k 2 ?1 | 8k | | 8k | ? | MN |? k 2 ? 1? | xM ? xN |? k 2 ? 1 ? 2 ? ?8, k ?1 k 2 ?1 所以 | MN | 的最大长度为 8 . ???????? 18 分

7


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