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数学竞赛讲义(圆)


数学竞赛讲义(12)
沪科版九年级(上) 《圆》
1.如图,已知圆心为 A、B、C 的三个圆彼此相切,且均与直线 l 相切.若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为 a、b、c(0<c<a<b),则 a、b、c 一定满足的关系式为【 B、 b = a ? c 】

A、2b=a+c

C、

1 1 1 ? ? c a b

D、

1 c

?

1 a

?

1 b

2.如图,⊙O 的直径 AB 与弦 EF 相交于点 P,交角为 45°,若 PE ? PF =8,则 AB 等
2 2





3.如图,AB 为半⊙O 的直径,C 为半圆弧的三等分点,过 B,C 两点的半⊙O 的切线交于 点 P,若 AB 的长是 2a,则 PA 的长是 .

4.锐角三角形 ABC 中, ?A ? 30? .以 BC 边为直径作圆,与 AB, AC 分别交于 D, E,连接 DE, 把△ABC 分成△ADE 与四边形 BDEC,设它们的面积分别为 S1, S2,则 S1:S2=___________.

5.已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆交AB于F (如图)求证:F为△CDE的内心。

6.如图,设△ABC 是直角三角形,点 D 在斜边 BC 上,BD=4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相
交于 F,与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证:AD⊥BF。

7.如图,在□ABCD 中,过 A,B,C 三点的圆交 AD 于 E,且与 CD 相切.若 AB=4,BE=5, 则 DE 的长为【 A、3 】 B、4 C、

15 4

D、

16 5

8.如图,在以 O 为圆心的圆中,弦 CD 垂直于直径 AB,垂足为 H,弦 BE 与半径 OC 相交于 点 F,且 OF=FC,弦 DE 与弦 AC 相交于点 G. (1)求证:AG=GC; (2)若 AG= 3 ,AH:AB=1:3,求△CDG 的面积与△BOF 的面积.

9.如图,已知点 P 是⊙O 外一点,PS,PT 是⊙O 的切线,过 P 作⊙O 的割线 PAB,交⊙O 于 A,B 并交 ST 于 C,求证:

1 1 1 1 ? ( ? ) PC 2 PA PB

P S C O B T A

10. 如图,OB是以(0,a)为圆心、 a为半径的⊙O1 的弦,过点B作⊙O1 的切线,P为劣弧 OB 上的任一点,且过P作OB、AB、OA的垂线,垂足分别是D、E、F. (1)求证:PD =PE·PF; (2)当∠BOC=30°,点P为劣弧 OB 的中点时,求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF.
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