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安徽省安庆市第一中学2015届高三第三次模拟考试数学试题(理)及答案


安庆一中 2015 届高三年级第三次模拟考试

数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必在试题卷答题卡规定的地方填写自己的班级、姓名、考场号、座位号。 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在 题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 1 ? i ? (1 ? i) 2 z ? (1 ? i) 2 ,则复数 z 的虚部为( A. ).

1 2


B.

1 i 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2. 若执行如图所示的程序框图 ,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入的条件是 ). B. k ? 7 ? C. k ? 8 ? D. k ? 9 ?

A. k ? 6 ?

3. 若

?

?
2 0

(sin x ? a cos x)dx ? 2 ,则实数 a 等于(
B.1 C. ?2 D. 2



A. ?1

x ? 1, 则 f ( x ? ? ) ? f ( x) 对 x ? R 恒成立; 2 ? x ? x ②要得到函数 y ? sin( ? ) 的图象,只需将 y ? sin 的图象向右平移 个单位; 4 2 4 2
2 4. 下列命题:①若 f ( x) ? 2 cos

③若锐角 ? , ? 满足 cos ? ? sin ? ,则 ? ? ? ? A. 0 B. 1

?

2

.其中真命题的个数是( D. 3



C. 2

5. 设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位. 则曲线 C1: ? - 2 ? cos ? - 1 ? 0 上的点到曲线 C2 : ?
2

?x ? 3 ? t ( t 为参数)上的点的最短距离为( ? y ? 1? t

)

A. 2 2

B.

3 2 2

C. 2

D.

2 2


7.在△ABC 所在平面上有一点 P,满足 A. B. C.

,则△PBC 与△ABC 面积之比是( D.

8. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 的n? N A.7
*

1 1 t ,记数列 ?an 2 ? 前 n 项的和为 Sn,若 S 2 n ?1 ? S n ? 对任意 ?4 ? 2 30 an an?1
) D.10 )

恒成立,则正整数 t 的最小值为 ( B.8 C.9

9. 实数 x, y 满足 x2 ? 2xy ? y 2 ? x2 y 2 ? 1 ,则 x ? y 的最大值为( A. 4 B. 2 C.2 D.

10. 若 x、y ?{x x ? a0 ? a1 ?10 ? a2 ?100} ,其中 ai ?{1, 2,3, 4,5,6,7}(i ? 0,1, 2) ,且 x ? y ? 636 , 则实数对 ( x, y ) 表示坐标平面上不同点的个数为( A.50 个 B.70 个 C. 90 个 ) D. 180 个

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上。 11. 二项式

( x3 ?

1 n ) x 2 的展开式中,只有第 6 项的系数最大,则该展开式中的常数项为
2

12. 在区间[0,4]内随机取两个数 a , b ,则使得函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率为
2 3



13. 已知正三棱锥 P﹣ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三 棱锥的外接球的表面积为 .

4

2 3

2 3 x2 y 2 14. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 俯视图 主视图 a b a 2 ? e2 的最小值为 . y ? ? 3x ,离心率为 e ,则 b 15. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序” .类似实数排序的定义,我

们定义“点序”记为“

” :已知 M ( x1 , y1 ) 和 N ( x2 , y2 ) , M

N ,当且仅当“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2

且 y1 ? y2 ” . 定 义 两 点 的 “ ? ” 与 “ ?

” 运 算 如 下 : M ? N ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

M ? N ? x1 x2 ? y1 y2 .
则下面四个命题:

①已知 P(2015, 2014) 和 Q(2014, 2015) ,则 P ②已知 P(2015, 2014) 和 Q ( x, y ) ,若 P ③已知 P ④已知 P ⑤已知 P

Q;

Q ,则 x ? 2015 ,且 y ? 2014 ;

Q ,Q

M ,则 P

M;
Q?M ;

Q ,则对任意的点 M ,都有 P ? M

Q ,则对任意的点 M ,都有 P ? M ? Q ? M .

其中真命题的序号为 (把真命题的序号全部写出) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知点 ( a, b) 在直线

x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上。
(1)求角 C 的大小; (2)若 ?ABC 为锐角三角形且满足 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足: Sn ? 1 ? (an ? 2)Sn , n ? N
2 ?

m 1 1 ? ? ,求实数 m 的最小值。 tan C tan A tan B

(1)求 S1 , S 2 , S3 ,猜想 S n ,并用数学归纳法证明; (2)设 bn = (2n + 1)an ,求证:对任意正整数 n ,有 b1 + b2 + L + bn < 1.
2

18.(本小题满分 12 分)
在一次数学考试中,第 22 题和第 23 题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某 4 名考生选做每一道题的概率 均为

1 . 2

(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ? ,求 ? 的概率分布列及数学期望. 19.(本小题满分 13 分)
0 如图,在 ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? BC ? a ,点 P 在边 AB 上,设 AP ? ? PB(? ? 0) ,过点 P 作

PE // BC 交 AC 于 E ,作 PF // AC 交 BC 于 F 。沿 PE 将 ?APE 翻折成 ?A?PE , 使平面 A?PE ? 平
面 ABC ;沿 PF 将 ?BPF 翻折成 ?B?PF , 使平面 B?PF ? 平面 ABC .

(1)求证: B?C // 平面 A?PE ; (2)是否存在正实数 ? ,使得二面角 C ? A?B? ? P 的大小为 90 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,
0

请说明理由. 20.(本小题满分 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,设 R( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上的任一点,从原点 24 12

Q. 分别交椭圆于点 P , O 向圆 R : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,
(1)若直线 OP , OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; ( 2 )若直线 OP , OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k 2 ,求证:

2k1k2 ? 1 ? 0 ;
(3)试问 OP ? OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说
2 2

明理由. 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x (1)方程 f ( x ? a) ? x 有且只有一个实数解,求 a 的值; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 5 x ? mx (m ? ) 的极值点 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 恰好是函数 2 2

h( x) ? f ( x) ? cx 2 ? bx 的零点,求 y ? ( x1 ? x 2 )h?(

x1 ? x 2 ) 的最小值. 2

理科数学参考答案
一、选择题 1. A 解析:由条件可知 z ?

1 ? 1 ? 3i ? i ? 3i 2 3 1 ? ? ? ? i ,其虚部为 . 2 2i ?2 2 2

2. C 解析:执行程序框图依次得 S ? log2 3, k ? 3;

S ? 2, k ? 4; S ? log2 5, k ? 5; S ? log2 6, k ? 6; S ? log2 7, k ? 7; S ? 3, k ? 8 ,此时应不符合条件,
输出此时的 S 的值,故选 C. 3. A 解析: 4. B 解析;①②是假命题,③是真命题.
2 5. A 解:若 直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行,则有 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 ,故选 A.

?

?
2 0

(sin x ? a cos x)dx ? ? sin xdx ? a ? 2 cos xdx ? 1 ? a ,1 ? a ? 2 ? a ? ?1.
2 0 0

?

?

6. D

解:曲线 C1、C2 的直角坐标方程分别是 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 、 x ? y ? 4 ? 0. 圆心到直线的距离是

1? 4 2

?

3 2 3 2 2 ? 2? . 故选 D. . 结合图形发现最短距离为 2 2 2

7、A 解答: 解:∵



∴P 是三角形的重心, ∴P 到顶点的距离是到对边距离的 2 倍, ∵△PBC 与△ABC 底边相同, ∴△PBC 与△ABC 面积之比是 故选 A 8. D 解:由条件得: 1 ? 1 ? 4 ? a 2 ? n 2 2

an?1

an

1 4n ? 3

2 2 设 f ( n) ? S 2 n?1 ? S n ? an ?1 ? an ? 2 ?

? a2 n?12 ?

1 1 ? ? 4n ? 1 4n ? 5

?

1 8n ? 1

由于 f (n ? 1) ? f (n) ?

1 1 1 ? ? ?0 8n ? 5 8n ? 9 4n ? 1

f(n)关于 n 成递减的. 其最大值在 n=1 时取到, 即为 S ? S ? 14 , 若 S 2 n ?1 ? S n ? 3 1

45

t * 对任意的 n ? N 30

恒成立,只要 t ? 14 ? t ? 9 1 ,故正整数 t 的最小值为 10.

30
2

45

3

9. C 解:由 x +2xy+y +x y =1,变形为(x+y) +(xy) =1. 可设 x+y=cosθ ,xy=sinθ ,θ ∈[0, 2π ) . 2 2 2 2 2 ∴ (x﹣y)= (x+y)﹣4xy=cos θ ﹣4sinθ =1﹣sin θ ﹣4sinθ =﹣ (sinθ +2)+5≤4, ∴x﹣y≤2, 故选:C. 10.C: 解:记 A=∈{x|x=a0+a1?10+a2?100}, 实数对 (x, y) 表示坐标平面上不同点的个数等价于要找 x+y=636 在 A 中的解的个数, 按 10 进制位考察即可. 首先看个位,a0+a0=6,有 5 种可能. 再往前看: a1+a1=3 且 a2+a2=6,有 2×5=10 种可能, a1+a1=13 且 a2+a2=5,有 2×4=8 种可能 所以一共有(10+8)×5=90 个解, 对应于平面上 90 个不同的点. 故选 C. 二、填空题 11、210 根据展开式中,只有第 6 项的系数最大,可求 n=10,写出其通项公式,令 x 的指数为 0, 即可求出展开式中的常数项. 12. 解:∵两个数 a、b 在区间[0,4]内随地机取, ∴以 a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系, 可得对应的点(a,b)在如图的正方形 OABC 及其内部任意取, 其中 A(0,4) ,B(4,4) ,C(4,0) ,O 为坐标原点 2 2 若函数 f(x)=x +ax+b 有零点,则 2 2 △=a ﹣4b ≥0,解之得 a≥2b,满足条件的点(a,b)在直线 a﹣2b=0 的下方, 且在正方形 OABC 内部的三角形,其面积为 S1= ∵正方形 OABC 的面积为 S=4×4=16 ∴函数 f(x)=x + ax+b 有零点的概率为 P= 故答案为:
2 2 2 2 2 2 2

=4

=

=

13. 解: 解:由正视图与侧视图知,正三棱锥的侧棱长为 4,底面正三角形的边长为 2 图: ,如

其中 SA=4,AH= ×2

×

=2,SH=

=2



设其外接球的球心为 0,半径为 R,则:OS=OA=R, ∴R+ =2 ?R= , = .

∴外接球的表面积 S=4π × 故答案为: 14. 4 3

3

解:由题意 b

c2 a 2 ? b2 a 2 ? 1 ? ? b ? 2 a ? a ? ? ? 2 2 2 2 ? 3, a ? e ?a? a a ? ? ? ? a b b b b
2

2

?

4 ? a2 4 a2 ? ? b b b

?
2

4 a 4 3 ? ?a ? ? ?a b b b 3
,当且仅当







a ? 0, b ? 0,





? ? 4 3 3 ? ? a ? 2 4?? ? ? ? 3 ? b 3 3 ? ?
15. 答案: ①③④ 三、解答题

4

4 3 即 a ? 2, b ? 2 3 时,等号成立. ? 3 a b 3

16. 解: (1)由条件可知 a(sin A ? sin B) ? b sin B ? c sin C ,根据正弦定理得 a ? b ? c ? ab ,又由余弦
2 2 2

定理知 cosC ?

? a2 ? b2 ? c2 1 ? ,故角 C 的大小为 。???6 分 3 2ab 2
1 ? sin C ? cos A cos B ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? tan A tan B ? cosC ? sin A sin B ?

(2)由条件可知 m ? tanC ?

?

sin C cos A sin B ? cos B sin A 2 sin 2 C 2c 2 2(a 2 ? b 2 ? ab) ? ? ? ? cosC sin A sin B sin A sin B ab ab

?a b ? ? 2? ? ? 1? ? 2 ? (2 ? 1) ? 2 , ?b a ?
当且仅当 a ? b 即 ?ABC 为正三角形时,实数 m 的最小值为 2。???12 分 17. 答案:

n 1 2 3 , , S 2 =- , S3 =- 猜想 S n =2 3 4 n+ 1 1 1 1 1 (2) an =, bn = 2 , b1 + b2 + L + bn =1<1 2 n (n +1) n(n + 1) (n +1) 2
(1) S1 =18.解: (1)

1 2
? ? 1? 2?

(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 ? ~ B? 4, ? .

1 k 1 k k 1 4 P(? ? k ) ? C4 ( ) (1 ? ) 4? k ? C4 ( ) (k ? 0,1, 2,3, 4) 2 2 2 ∴ ∴变量 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

4

P
E ?? ? ? 0 ?
19.

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

1 1 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 16 4 8 4 16

解: (1)法一:以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CA 所在直线为 y 轴,过 C 且垂直于平面 ABC 的 直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图,

则 C (0,0,0), A(0, a,0), B(a,0,0) 设 P( x, y,0) ,由

AP ? ? PB ? ( x, y ? a,0) ? ? (a ? x, ? y,0) ? x ?

?a a ?a a ,y? , ? P( , , 0) ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1

20.解: (1)由圆 R 的方程知,圆 R 的半径的半径 r ? 2 2 , 因为直线 OP , OQ 互相垂直, 且和圆 R 相切, 所以 OR ? 2r ? 4 ,即 x02 ? y02 ? 16 ,① 又点 R 在椭圆 C 上,所以

x0 2 y0 2 ? ? 1 ,② 24 12

联立①②,解得 ?

? ? x0 ? ?2 2, ? ? y0 ? ?2 2.

所以所求圆 R 的方程为 x ? 2 2

?

? ?? y ? 2 2?
2

2

? 8.

(2)因为直线 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x ,与圆 R 相切, 所以

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ?8 ? 0, 2 2 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,

有韦达定理得, k1 ? k2 ?

2 y0 ?8 2 x0 ? 8
2 x0 y2 1 2 2 ? 12 ? x0 ? 0 ? 1 ,即 y0 , 2 24 12

因为点 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

1 2 x0 1 2 ? ? ,即 2k1k2 ? 1 ? 0 . 所以 k1k2 ? 2 x0 ? 8 2 4?
(3)方法一: (i)当直线 OP, OQ 不落在坐标轴上时,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , 因为 2k1k2 ? 1 ? 0 ,所以

1 2 y1 y2 2 2 ? x12 x2 ? 1 ? 0 ,即 y12 y2 4 x1 x2

? x12 y12 1 ? 2 ? ?1 y1 ? 12 ? x12 ? ? ? 24 12 ? 2 因为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,所以 ? 2 , 即? , 2 1 x y 2 2 ? y ? 12 ? x ? 2 ? 2 ?1 2 2 ? ? ? 2 ? 24 12
所以 (12 ?

1 2 1 2 1 2 2 2 x1 )(12 ? x2 ) ? x12 x2 ,整理得 x1 ? x2 ? 24 , 2 2 4

2 2 所以 y1 ? y2 ? ?12 ?

? ?

1 2? ? 1 2? 2 2 x1 ? ? ?12 ? x2 ? ? 12 , 所以 OP ? OQ ? 36 . 2 ? ? 2 ?

方法二: (i)当直线 OP, OQ 不落在坐标轴上时,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,

24 ? 2 ? y ? k1 x, ? x1 ? 1 ? 2k 2 , ? ? 1 联立 ? x 2 y 2 解得 ? 2 ? 1, ? ? ? y 2 ? 24k1 . ? 24 12 1 ? 1 ? 2k12 ?

所以 x12 ? y12 ?

1 24(1 ? k12 ) 24(1 ? k22 ) 2 2 ,同理,得 ,由 k1k 2 ? ? , x ? y ? 2 2 2 2 2 1 ? 2k1 1 ? 2k2

所以 OP2 ? OQ2 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22

24(1 ? k12 ) 24(1 ? k2 2 ) ? ? 1 ? 2k12 1 ? 2k2 2
1 2 ) ) 24(1 ? k ) 2k1 36 ? 72k12 ? 36 ? ? ? 2 1 2 1 ? 2k 1 ? 2 k 1 1 ? 2(? ) 2k1
2 1 2 1

24(1 ? (?

(ii)当直线 OP, OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP ? OQ ? 36 ,
2 2

综上: OP ? OQ ? 36
2 2

21. 解: (1)方法一:由题意得,函数 y ? f ( x ? a ) ? ln( x ? a ) 与直线 y ? x 相切 ,设切点为

( x0 , y0 ) , y ? ? f ?( x ? a ) ? ? x0 ? 0, a ? 1

1 1 ,? y? x ? x ? ? 1,? x0 ? a ? 1 又有 x0 ? ln( x0 ? a ) 0 x?a x0 ? a

方法二:方程即 ln(x ? a) ? x ,构造函数 F ( x) ? ln(x ? a) ? x ,定义域为 x x ? ?a ,

?

?

F ?( x) ?

1 ? ( x ? 1 ? a) ?1 ? , 由 1 ? a ? ? a 可得 F ( x) 在 (?a,1 ? a) 上单调递增, 在 (1 ? a,??) 单 x?a x?a

调递减,而 x ? ?a, F ( x) ? ??; x ? ??, F ( x) ? ?? ;则 F (1 ? a) ? 0 即 a ? 1 . (2) g ( x) ? ln x ? 由已知 g ?( x) ?

1 2 5 x ? mx (m ? ), h( x) ? ln x ? cx 2 ? bx 2 2

5 x 2 ? m x? 1 ? 0 的两根为 x1 , x 2 ,当 m ? 时方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的 ? ? 0 2 x

则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? 1 又由 x1 , x 2 为 h( x) ? ln x ? cx ? bx 的零点可得 ?
2

? ln x1 ? cx12 ? bx1 ? 0 2 ?ln x2 ? cx2 ? bx2 ? 0
ln

x1 x x2 两式相减 ln 1 ? c( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? 0 ,可解得 b ? ? c( x1 ? x 2 ) ① x2 x1 ? x 2

而 y ? ( x1 ? x 2 )h?(

x1 ? x 2 2 ) ? ( x1 ? x2 )[ ? c( x1 ? x2 ) ? b] 代入①式 2 x1 ? x2

x1 x1 ?1 x1 ? x2 x1 x2 x x2 2 y ? ( x1 ? x 2 )( ?2 ? ln 1 ? ln ? ) ?2 x1 x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 ? x 2 ?1 x2

ln



x1 1 1 ? t (0 ? t ? 1) ,由 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? 1 可得 t ? ? 2 ? m 2 ,则 t ? (0, ] 4 t x2
1 t ?1 ? (t ? 1) 2 ? ln t ,而 G ?(t ) ? ? 0 ,则 y ? G(t ) 在 t ? (0, ] 单调递减, 2 4 t ?1 t (t ? 1)

设函数 G (t ) ? 2

所以 G (t ) min ? G ( ) ? ?

1 4

x ? x2 6 6 ? ln 4 ,即 y ? ( x1 ? x 2 )h?( 1 ) 的最小值为 ? ? ln 4 . 5 5 2


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