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2009-2010学年度高一下学期期末广州市七区联考试题(数学)


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2009-2010 学年第二学期期末教学质量监测 高一数学
本试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定 的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 第一部分 选择题 一、 选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. cos120 是( A. ?
?

) B. ?

1 2

3 2

C.

1 2

D. )

3 2

2. 已知 ?an ? 是等比数列,且 a1 ? 2 , a4 ? A. 2
2

B.

1 2

1 ,则公比 q ? ( 4 1 C. ? 2

D. ?2

3.不等式 x ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是( A. ?x | ?1 ? x ? 5? C. ?x | ?1 ? x ? 5? 4. 若 x ? 1, 则 x ? 1 ? A. ?2

) B. ?x | x ? 5或x ? ?1? D. ?x | x ? 5或x ? ?1?

1 的最小值是( ) x ?1 B. 1 C. 2

D. 3 ) D.-9 )

5.若向量 a ? (2,1), b ? (4, x ? 1), a // b ,则 x 的值为( A.1 B.7 C.-10

6. 要得到函数 y ? sin( 2 x ? A.向左平移

?
4

) 图像,只需把函数 y ? sin 2 x 图像 (
B.向右平移

? 个单位 4

? 个单位 4

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C.向左平移

? 个单位 8

D.向右平移

? 个单位 8

7. 在平面直角坐标系 xOy 中,平面区域 A ? ( x,y ) x ? y ≤ 2,且x ≥ 0,y ≥ 0 的面积 为( A. 4 ) B. 2 C.

?

?

1 2

D.

1 4

8. 若 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,则 tan ? ? ? A.

3 5

? ?

??

? 的值是( 4?

) D. ?7 )
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3 4 C. ? 4 3 9. 已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ...
B. ?

4 5

10. 在 ?ABC 所在的平面上有一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? BC ,则 ?PBC 与 ?ABC 的 面积之比是( A. ) B.

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

1 3

1 2

C.

2 3

D. 2

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 在 0 ? 360 范围内,与 ?30 角终边相同的角是
? ?

?

. . .

12. 若 cos ? ? sin ? ?

1 ,则 sin 2? 的值是 2

13. 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3,1) ,且 a ? b ,则 tan ? 的值是

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 14. 设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?



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三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? . (1)求 a ?b , (a ? b)? a ? b) ; ( (2)求 | a ? b | .

16.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? cos x ?
2

3 sin 2 x . 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间.

17.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a3 ? 0, S4 ? ?4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 n 为何值时, S n 取得最小值.

18.(本小题满分 14 分)
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某公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不 超过 180000 元,甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为 1000 元/分钟和 400 元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 3000 元 和 2000 元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大, 最大收益是多少元?

19.(本小题满分 14 分) 已知 △ ABC 的周长为 3 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 3 sin C , △ ABC 的面积为 (1)求边 AB 的长; (2)求 tan( A ? B) 的值.

3 sin C , 8

20.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 ? 1 , 且 a1 , a2 , a3 成等差数列. (1)求 c 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若数列 ?bn ? 是首项为1,公比为 c 的等比数列,记 An ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ,

Sn ?1 n ? c * ( c 为常数, c ? 1 , n ? N ) , ? Sn n

4 Bn ? a1b1 ? a2b2 ??? (?1)n?1 anbn , n ? N* .证明: A2 n ? 3B2 n ? (1 ? 4n ) . 3

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2009 学年第二学期高中教学质量监测参考答案及评分标准 高一数学
一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 题号 答案 A B D C A

6 C

7 B

8 D

9 D

10 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.

330? .

12. ?

3 . 4

13. ? 3 .

14.

3 . 2

三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 解: (必修 4 第 2.4 节例 1、例 2、例 3 的变式题) (1) a ? b ? a b cos 60? ? 1? 2 ?

1 ?1 2

-------------------3 分 ------------┄┄┄┄┄6 分 ---------------------9 分 ------┄-----┄┄┄┄12 分

(a ? b) ? (a ? b) ? a 2 ? b2 ? 1 ? 4 ? ?3
(2) a ? b ?

(a ? b)2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2

? 1? 2 ? 4 ? 3
16.(本小题满分 12 分) 解: (必修 4 第 1.4 节例 2、例 5 的变式题)

f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2 1 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 2

-----------------------------------2 分

?
?

1 ? ? ? sin cos 2 x ? cos sin 2 x ------------------------------4 分 2 6 6 1 ? ? ? sin(2 x ? ) -------------------------------------------6 分 2 6 2? ? ? .---------------------------8 分 (1) f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2
另解:用周期的定义,得 f ( x ) 的最小正周期为 ? .---------------------8 分 (2)当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z) 时, f ( x) 的单调递增,-----10 分

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故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? k? ? 17.(本小题满分 14 分) 解: (必修 5 第 2.3 节例 4 的变式题)

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

? k ? Z ? 。------------------12 分

(1)? a3 ? 0, S4 ? ?4 ,数学驿站 www.maths168.com

? a1 ? 2d ? 0 , ? ?? 4?3 ?4a1 ? 2 d ? ?4. ?
解得 a1 ? ?4, d ? 2 .

--------------4 分

--------------6 分 -------------8 分

?an ? ?4 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ? 6 .
(2) Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d ? ?4n ? n ? n ? 1? --------------------------------------------10 分 2

? n2 ? 5n

5 ? 25 ? ? ? n ? ? ? .------------------------------------------------------------------12 分 2? 4 ?

2

? n ?N * ,
? 当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最小值 ?6 . --------------------------------------14 分
18.(本小题满分 14 分) 解: (2007 年山东卷文 19 题改编题) 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟, 总收益为 z 元, 由题

? x ? y ≤ 300, ? 意得 ?1000 x ? 400 y ≤180000, --------4 分 ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .---------5 分

y
500

400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, 分 ----6 ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域, 即可行域(如图) .-----------------------------------8 分 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,即 3x ? 2 y ? 0 .

300 l 200 100 M

0

100

200 300

x

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平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.-------------10 分 联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 .数学驿站 www.maths168.com ?5 x ? 2 y ? 900.

200) ? 点 M 的坐标为 (100, .-------------------------------------------------------------------12 分

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元).---------------------------------------------------13 分
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大, 最大收益是 700000 元.-----------------------------------------------------------------------------14 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (新编题) (1)因为 △ ABC 的周长为 3 ? 1 ,所以 AB ? BC ? AC ? 3 ? 1 .----------1 分 又 sin A ? sin B ? 3 sin C ,由正弦定理得 BC ? AC ? 3AB .--------------3 分 两式相减,得 AB ? 1 .--------------------------------------------------------------------4 分 (2)由于 △ ABC 的面积 由余弦定理得 cos C ?

1 3 3 BC ? AC sin C ? sin C ,得 BC ? AC ? ,-----6 分 2 8 4

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 --------------------------------------------8 分 2 AC ? BC

?

( AC ? BC ) 2 ? 2 AC ? BC ? AB 2 1 ? ,---------------------10 分 2 AC ? BC 3

2 又 0 ? C ? 180 ,所以 sin C ? 1 ? cos C ?
? ?

2 2 .-----------------------------12 分 3

故 tan( A ? B) ? ? tan C ? ?2 2 .------------------------------------14 分

另解:由(1)得 BC ? AC ? 3 ,又 BC ? AC ? 所以 AC ? BC ?

3 , 4

3 ------------------------------------------------------------------------6 分 2 2 ,---------------------------------8 分 2

在 △ ABC 中,作 CD ? AB 于 D ,则 CD ? 所以 tan A ? tan B ?

2 -------------------------------------------------------------------10 分

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故 tan( A ? B) ?

tan A ? tan B ? ?2 2 ---------------------------14 分 1 ? tan A tan B

20.(本小题满分 14 分) 解: (新编题)数学驿站 www.maths168.com (1)∵ S1 ? 1 ,

c Sn ?1 n ? c ,∴ an ?1 ? Sn ?1 ? S n ? S n ,-------------------------2 分 ? n Sn n c c S 2 ? (1 ? c) . 2 2

∴ a1 ? S1 ? 1, a2 ? cS1 ? c, a3 ?

∵ a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ 2a2 ? a1 ? a3 ,

c(1 ? c) 2 ,∴ c ? 3c ? 2 ? 0 .---------------------------------------------------5 分 2 解得 c ? 2 ,或 c ? 1 (舍去) .-----------------------------------------------------------------6 分
即 2c ? 1 ? (2)∵ S1 ? 1 ,

Sn ?1 n ? 2 , ? Sn n

∴ Sn ? S1 ?

S S2 3 4 n ? 1 n(n ? 1) ??? n ? 1? ? ??? ? (n ? 2) ,-------------------8 分 S1 Sn?1 1 2 n ?1 2
n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n(n ? 2) ,------------------------------------------9 分 2 2

∴ an ? S n ? S n ?1 ?

又 a1 ? 1 ,∴数列 ?an ? 的通项公式是 an ? n(n ?N? ) .-----------------------------------10 分 (3)证明:∵数列 ?bn ? 是首项为1,公比为 c 的等比数列,∴ bn ? cn?1 .---------11 分 ∵ A2n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? a2nb2n , B2n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? a2nb2n , ∴ A2n ? B2n ? 2(a1b1 ? a3b3 ? ? ? a2n?1b2n?1 ) , , A2n ? B2n ?2 ( a2 b2? a4 b? ? na2 n) 2 ? b 4 ①式两边乘以 c 得 由②③得 ① ② ③

c( A2n ? B2n ) ? 2(a1b2 ? a3b4 ? ?? a2n?1b2n )

(1 ? c) A2 n ? (1 ? c) B2 n ? A2 n ? B2 n ? c( A2 n ? B2 n ) ? 2 ?? a2 ? a1 ? b2 ? ? a4 ? a3 ? b4 ? ? ? ? a2 n ? a2 n ?1 ? b2 n ? ? ? ? 2 ?c ? c3 ? ? ? c 2 n ?1 ? ? ? ? 2c(1 ? c 2 n ) 1 ? c2

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4 (1 ? 4n ) .-----------------------------------------14 分 3 4 n 另证: 先用错位相减法求 An , Bn ,再验证 A2 n ? 3B2 n ? (1 ? 4 ) . 3
将 c ? 2 代入上式,得 A2 n ? 3B2 n ? ∵数列 ?bn ? 是首项为1,公比为 c ? 2 的等比数列,∴ bn ? 2n?1 . --------------11 分 又 an ? n(n ?N? ) ,所以

A2n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ?? 2n ? 22n?1 B2n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ?? 2n ? 22n?1
将①乘以 2 得: 2 A2n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ?? 2n ? 22n ①-③得: ? A2 n ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1 2 n ?1

① ② ③

? 2n ? 22n ?

1(1 ? 22 n ) ? 2n ? 22n , 1? 2
-------------------------12 分 ④

整理得: A2n ? 4n (2n ? 1) ? 1 将②乘以 ?2 得: ②-④整理得:
0 1 2 3B2 n ? 2 ? 2? 2? ? ? n? 2

?2B2n ? ?1? 21 ? 2 ? 22 ??? 2n ? 22n
1 ( 1 22 ) ? n ? n ?2 1? ( 2 ) ?

2 ?1 n ? 2

n 2

2 ?

n

2 ?2

?1 n 4 n ? n? 2 3

4

-----------------------------------------13 分 ∴

A2 n ? 3B2 n ?

4 (1 ? 4n ) 3

-----------------------------------------14 分

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