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天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试 数学理 Word版含答案


高三数学(理)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条 形码答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B). 棱柱的体积公式 V=Sh.其中 S 表示棱柱的底面面积 圆锥的体积公式 V=

h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高

1 Sh. 其中 S 表示圆锥的底面面积 3

一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1.复数

1? i 等于 1? i
B.1 C. -l D.0

A. -i

2.设 a ? ( , cos ? ) 与 b ? (?1, 2cos? ) 垂直,则 cos 2? 的值等于 A. ?

1 2

2 2

B. ?

1 2

C.0

D.-l

3.设 m、n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则 A.若 m// ? ,n// ? ,则 m//n C.若 m//n,m ? ? ,则 n ? ? B.若 m// ? ,m// ? ,则 ? // ? D.若 m// ? , ? ? ? ,则 m ? ?

4.一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形, 该四棱锥的体积等于 A.4 3 B .3 3 C .2 3 D. 3

-1-

5.函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 在区间 [0, 2 ] 上的最小值是 4?
2 2
D.0
log3 0.1

A.-l

B.

2 2

C. ?

6.已知 a ? 2

log3 4.1

,b ? 2

log3 2.7

?1? ,c ? ? ? ?2?
C.a>c>b

则 D.c>a>b

A. a>b>c

B.b>a>c

7.设 r>0,那么直线 x cos ? ? y sin ? ? r ( ? 是常数)与圆 ? 是 A.相交 B.相切 C.相离

? x ? r cos ? ( ? 是参数)的位置关系 ? y ? r sin ?

D.视 r 的大小而定

8.在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x, cos A.

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2

1 2

B.

2

?

C.

1 3

D.

2 3

第 II 卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.设集合 A={ x || x |? 4 },B={ x | x ? 4 x ? 3 ? 0 },则集合{ x | x ? A, 且x ? A
2

B }=

。 。

10. 设抛物线 y2=4x 上一点 P 到直线 x=-2 的距离为 5, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是

1 ? ? 2 11.二项式 ? 2 x ? ? 展开式中含 x 项的系数是 x? ?

6



12. 已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5, 若存在两项 am, an 使得 am an ? 4a1 , 则 最小值为 .

1 4 ? 的 m n

13.如图,AB 是圆 O 的直径,CD ? AB 于 D,且 AD=2BD,E 为 AD 的中点,连接 CE 并延长交圆 O 于 F .若 CD= EF= .

2 ,则

14. 定义某种运算 S ? a ? b , 运算原理如右图所示, 则式子 (2 tan

5? ?1? ) ? ln e ? lg100 ? ? ? 4 ? 3?

?1

-2-

的值为 。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出 文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 13 分) 在 ? ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA. (I)求 AB 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值. 4?

16.(本小题满分 13 分) 某选修课的考试按 A 级、 B 级依次进行, 只有当 A 级成绩合格时,才可继续参加 B 级的考试.已知每级考试允许有一次补考机会,两个级别的 成绩均合格方可获得该选修课的合格证书.现某人参加这个选修课的考试,他 A 级考试成绩 合格的概率为

2 1 ,B 级考试合格的概率为 .假设各级考试成绩合格与否均互不影响. 3 2

(I)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率; (II)在这个考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的 数学期望 E ? . 17.(本小题满分 13 分) 四棱锥 S-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD.已知 ? ABC=45o,AB=2, BC=2 2 ,SA=SB= 3 . (I)证明:SA ? BC; (II)求直线 SD 与平瑶 SAB 所成角的正弦值.

18.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b≠0.
2

(I)当 b>

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性: 2

(II)求函数 f ( x ) 的极值点. 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,过点(0,1),且离心率为 . 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)A,B 为椭圆 C 的左右顶点,直线 l:x=2 2 与 x 轴交于点 D,点 P 是椭圆 C 上异于 A,

-3-

| DE| |DF| B 的动点, 直线 AP, BP 分别交直线 l 于 E, F 两点. 证明: 当点 P 在椭圆 C 上运动时,
恒为定值. 20.(本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 (n 为正整数)。

(I)令 bn ? 2n an ,求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明. n 2n ? 1

高三数学(理)答案(2014、04)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. x 1 ? x ? 3

?

?

10.4

11.-192

12.

3 2

13.

2 3 3

14.13

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)因为 sinC=2sinA

?

a sin A 1 ? ? ………………………………………2 c sin C 2

? AB ? 2BC ? 2 5 ………………………………….4
(Ⅱ) cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2 5 = ……………………………7 2bc 5

? sin A ? 1 ? cos2 A ?

5 5
4 5

……8
2 cos 2A ? 2c o s A ?1 ?

所以 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

3 5

…10

-4-

sin ? 2 A ?

? ?

? ? 2 ?? …………13 ? = sin 2 A cos ? cos 2 A sin ?
4?
4 4

10

16. (本小题满分 13 分) 设“A 级第一次考试合格”为事件 A1 ,“A 级补考合格”为事件 A2;“B 级第一次考试合格” 为事件 B1 ,“B 级补考合格”为事件 B2 . (Ⅰ)不需要补考就获得合格证书的事件为 A1· B1,注意到 A1 与 B1 相互独立,

则 答:该考生不需要补考就获得合格证书的概率为

1 ………………………4 3

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

2 1 1 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ? B1 ) ? ? ? ? ? ? ? . ….6 3 2 3 3 3 9 9

P(? ? 3) ? P( A1 ? B1 ?B 2 ) ? P( A1 ? B1 ? B2 ) ? P( A1 ? A2 ? B2 )

………….8

P(? ? 4) ? P( A1 ? A2 ? B1 ?B 2 ) ? P( A1 ? A2 ? B1 ? B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ………………… ? .10 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 8 答:该考生参加考试次数的期望为 ….13 3 ?
17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO , 由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD , 得 SO ⊥ 平面 ABCD ………..2 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO ………3 又 ∠ABC ? 45 , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB ……………4 如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz .

-5-

0, 1) , D( 2,?2 2 ,0) ………6 A( 2, 0, 0) , B(0,2, 0) , C(0, ? 2, 0) , S (0,

SA ? ( 2, 0, ?1) , CB ? (0, 2 2, 0) , SA? CB ? 0 ,所以 SA ⊥ BC …………8
(Ⅱ)设 n ? ( x, y, z) 为平面 SAB 的法向量

? ?n ? AB ? 0 ? 则 ?n ? AS ? 0 ?
令 x=1

得 ?

? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?? 2 x ? z ? 0

所以 ?

?x ? y ?z ? 2 x

n ? (1,1, 2 )
? n ? SD n SD

……………………………………………10

cos ? n, SD ?

?

22 11

………………………………12

SD 与平面 SAB 所成的角与 SD 与 n 所成的角互余.
所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角正弦值为 18. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? ……………………………2

22 ……………………………13 11

f '( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? x ?1 x ?1

……………………………………………4

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ?
2

1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?

1 1 1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b .当 b ? 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0 , 2 2 2 2

g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立.? f ' ( x) ? 0,
1 时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增……………………………6 2 1 (II)分以下几种情形讨论: (1)由(I)知当 b ? 时函数 f ( x ) 无极值点. 2
即当 b ?

1 2( x ? )2 1 2 ,? x ? ? ?1, ? 1 ? 时, f ' ( x) ? 0, (2)当 b ? 时, f '( x) ? ? ? 2 2? x ?1 ?
1 ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? b ? 时,函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点………8 2 ? 2 ?
-6-

(3)当 b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时,解 f ' ( x) ? 0 得两个不同解 x1 ? , x2 ? . 2 2 2

当 b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b …………………………10 2

1 时, x1, x2 ? ? ?1, ??? , 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? 2 2 2

b?

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点.………………………………………13 2

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题意可知,b=1, 又因为 e ?

c 3 ,且 a2=b2+c2,解得 a=2 ? a 2
x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………4 4

所以椭圆的方程为

(Ⅱ)由题意可得:A(﹣2,0) ,B(2,0) . 设 P(x0,y0) ,由题意可得:﹣2<x0<2, 所以直线 AP 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) …………………………………6 x0 ? 2



,则 y ?

y0 y0 ……………………8 (2 2 ? 2) ,即 DE ? (2 2 ? 2) x0 ? 2 x0 ? 2

-7-

同理:直线 BP 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) ,令 x0 ? 2
………………………10

,则 y ?

y0 (2 2 ? 2) , x0 ? 2

即 DF ? (2 2 ? 2)

y0 x0 ? 2

所以
2 4 y0 ? = 2 ……………………………………………………..12 2 x0 ? 4 4 ? x0 2 4 y0



,即 4y02=4﹣x02,代入上式,

所以|DE|· |DF|=1,所以|DE|· |DF|为定值 1.…………………………………………14 20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)在 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 1 2
n?2

1 ..............1 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 ,..................2 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列................................................4 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

(II)由(I)得 cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2

n .........................................................................6 2n

由①-②得

………………………9

-8-

Tn ?

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ……………………………………11 ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小 2n ? 1
. . . . . .

于是确定 Tn与

猜想:当 n ? 3时, 2 ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由猜想显然成立.
k (2)假设 n ? k 时猜想成立.即 2 ? 2k ? 1

则 n ? k ? 1 时, 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? ………………………14 2n ? 1 2n ? 1

-9-


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