天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试 数学理 Word版含答案

高三数学(理)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 P(A B)=P(A)+P(B) 如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B)． 棱柱的体积公式 V=Sh．其中 S 表示棱柱的底面面积 圆锥的体积公式 V=

h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高

1 Sh． 其中 S 表示圆锥的底面面积 3

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1．复数

1? i 等于 1? i
B．1 C． -l D．0

A． -i

2．设 a ? ( , cos ? ) 与 b ? (?1, 2cos? ) 垂直，则 cos 2? 的值等于 A． ?

1 2

2 2

B． ?

1 2

C．0

D．-l

3．设 m、n 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面，则 A．若 m// ? ，n// ? ，则 m//n C．若 m//n，m ? ? ，则 n ? ? B．若 m// ? ，m// ? ，则 ? // ? D．若 m// ? ， ? ? ? ，则 m ? ?

4．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形， 该四棱锥的体积等于 A．4 3 B ．3 3 C ．2 3 D． 3

-1-

5．函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 在区间 [0, 2 ] 上的最小值是 4?
2 2
D．0
log3 0.1

A．-l

B．

2 2

C． ?

6．已知 a ? 2

log3 4.1

，b ? 2

log3 2.7

?1? ，c ? ? ? ?2?
C．a>c>b

则 D．c>a>b

A． a>b>c

B．b>a>c

7．设 r>0，那么直线 x cos ? ? y sin ? ? r ( ? 是常数)与圆 ? 是 A．相交 B．相切 C．相离

? x ? r cos ? ( ? 是参数)的位置关系 ? y ? r sin ?

D．视 r 的大小而定

8．在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x， cos A．

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2

1 2

B．

2

?

C．

1 3

D．

2 3

第 II 卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共 12 小题，共 110 分． 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9．设集合 A={ x || x |? 4 }，B={ x | x ? 4 x ? 3 ? 0 }，则集合{ x | x ? A, 且x ? A
2

B }=

。 。

10． 设抛物线 y2=4x 上一点 P 到直线 x=-2 的距离为 5， 则点 P 到该抛物线焦点的距离是

1 ? ? 2 11．二项式 ? 2 x ? ? 展开式中含 x 项的系数是 x? ?

6

．

12． 已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5， 若存在两项 am， an 使得 am an ? 4a1 ， 则 最小值为 .

1 4 ? 的 m n

13．如图，AB 是圆 O 的直径，CD ? AB 于 D，且 AD=2BD，E 为 AD 的中点，连接 CE 并延长交圆 O 于 F ．若 CD= EF= ．

2 ，则

14． 定义某种运算 S ? a ? b ， 运算原理如右图所示， 则式子 (2 tan

5? ?1? ) ? ln e ? lg100 ? ? ? 4 ? 3?

?1

-2-

的值为 。 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分 13 分) 在 ? ABC 中，BC= 5 ，AC=3，sinC=2sinA． (I)求 AB 的值； (Ⅱ)求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值． 4?

16．(本小题满分 13 分) 某选修课的考试按 A 级、 B 级依次进行， 只有当 A 级成绩合格时，才可继续参加 B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的 成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他 A 级考试成绩 合格的概率为

2 1 ，B 级考试合格的概率为 ．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． 3 2

(I)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率； (II)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ? ，求 ? 的 数学期望 E ? ． 17．(本小题满分 13 分) 四棱锥 S-ABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形， 侧面 SBC ? 底面 ABCD．已知 ? ABC=45o，AB=2， BC=2 2 ，SA=SB= 3 ． (I)证明：SA ? BC； (II)求直线 SD 与平瑶 SAB 所成角的正弦值．

18．(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ，其中 b≠0．
2

(I)当 b>

1 时，判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性： 2

(II)求函数 f ( x ) 的极值点． 19．(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C：

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 （a>b>0） ，过点(0，1)，且离心率为 ． 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的方程； (II)A，B 为椭圆 C 的左右顶点，直线 l：x=2 2 与 x 轴交于点 D，点 P 是椭圆 C 上异于 A，

-3-

| DE| |DF| B 的动点， 直线 AP， BP 分别交直线 l 于 E， F 两点． 证明： 当点 P 在椭圆 C 上运动时，
恒为定值． 20．(本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 (n 为正整数)。

(I)令 bn ? 2n an ，求证数列{ bn }是等差数列，并求数列{ an }的通项公式； (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 5n an ， Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn 试比较 Tn 与 的大小，并予以证明． n 2n ? 1

高三数学（理）答案（2014、04）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分． 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 B 8 C

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． 9． x 1 ? x ? 3

?

?

10．4

11．-192

12．

3 2

13．

2 3 3

14．13

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15． （本小题满分 13 分） （Ⅰ）因为 sinC=2sinA

?

a sin A 1 ? ? ………………………………………2 c sin C 2

? AB ? 2BC ? 2 5 ………………………………….4
（Ⅱ） cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2 5 = ……………………………7 2bc 5

? sin A ? 1 ? cos2 A ?

5 5
4 5

……8
2 cos 2A ? 2c o s A ?1 ?

所以 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

3 5

…10

-4-

sin ? 2 A ?

? ?

? ? 2 ?? …………13 ? = sin 2 A cos ? cos 2 A sin ?
4?
4 4

10

16． （本小题满分 13 分） 设“A 级第一次考试合格”为事件 A1 ，“A 级补考合格”为事件 A2；“B 级第一次考试合格” 为事件 B1 ，“B 级补考合格”为事件 B2 ． （Ⅰ）不需要补考就获得合格证书的事件为 A1· B1，注意到 A1 与 B1 相互独立，

则 答：该考生不需要补考就获得合格证书的概率为

1 ………………………4 3

（Ⅱ）由已知得， ? ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

2 1 1 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ? B1 ) ? ? ? ? ? ? ? . ….6 3 2 3 3 3 9 9

P(? ? 3) ? P( A1 ? B1 ?B 2 ) ? P( A1 ? B1 ? B2 ) ? P( A1 ? A2 ? B2 )

………….8

P(? ? 4) ? P( A1 ? A2 ? B1 ?B 2 ) ? P( A1 ? A2 ? B1 ? B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ………………… ? .10 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 8 答：该考生参加考试次数的期望为 ….13 3 ?
17． （本小题满分 13 分） （Ⅰ）作 SO ⊥ BC ，垂足为 O ，连结 AO ， 由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ， 得 SO ⊥ 平面 ABCD ………..2 因为 SA ? SB ，所以 AO ? BO ………3 又 ∠ABC ? 45 ， △ AOB 为等腰直角三角形， AO ⊥ OB ……………4 如图，以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系 O ? xyz .

-5-

0， 1) ， D( 2,?2 2 ,0) ………6 A( 2， 0， 0) ， B(0，2， 0) ， C(0， ? 2， 0) ， S (0，

SA ? ( 2， 0， ?1) ， CB ? (0， 2 2， 0) ， SA? CB ? 0 ，所以 SA ⊥ BC …………8
（Ⅱ）设 n ? ( x, y, z) 为平面 SAB 的法向量

? ?n ? AB ? 0 ? 则 ?n ? AS ? 0 ?
令 x=1

得 ?

? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?? 2 x ? z ? 0

所以 ?

?x ? y ?z ? 2 x

n ? (1,1, 2 )
? n ? SD n SD

……………………………………………10

cos ? n, SD ?

?

22 11

………………………………12

SD 与平面 SAB 所成的角与 SD 与 n 所成的角互余．
所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角正弦值为 18． （本小题满分 13 分） 函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? ……………………………2

22 ……………………………13 11

f '( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? x ?1 x ?1

……………………………………………4

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ，则 g ( x) 在 ? ?
2

1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增，在 ? ?1, ? ? 上递减， 2? ? 2 ? ?

1 1 1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b ．当 b ? 时， g ( x) min ? ? ? b ? 0 ， 2 2 2 2

g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立．? f ' ( x) ? 0,
1 时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增……………………………6 2 1 （II）分以下几种情形讨论： （1）由（I）知当 b ? 时函数 f ( x ) 无极值点． 2
即当 b ?

1 2( x ? )2 1 2 ，? x ? ? ?1, ? 1 ? 时， f ' ( x) ? 0, （2）当 b ? 时， f '( x) ? ? ? 2 2? x ?1 ?
1 ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时， f ' ( x) ? 0, ? b ? 时，函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点………8 2 ? 2 ?
-6-

（3）当 b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时，解 f ' ( x) ? 0 得两个不同解 x1 ? ， x2 ? ． 2 2 2

当 b ? 0 时， x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 ， x2 ? ? ?1 ， 2 2

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b …………………………10 2

1 时， x1, x2 ? ? ?1, ??? , 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 ， f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ，
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ； 2

综上可知， b ? 0 时， f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时， f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? 2 2 2

b?

1 时，函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点．………………………………………13 2

19． （本小题满分 14 分） （Ⅰ）由题意可知，b=1， 又因为 e ?

c 3 ，且 a2=b2+c2，解得 a=2 ? a 2
x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………4 4

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）由题意可得：A（﹣2，0） ，B（2，0） ． 设 P（x0，y0） ，由题意可得：﹣2＜x0＜2， 所以直线 AP 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) …………………………………6 x0 ? 2

令

，则 y ?

y0 y0 ……………………8 (2 2 ? 2) ，即 DE ? (2 2 ? 2) x0 ? 2 x0 ? 2

-7-

同理：直线 BP 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) ，令 x0 ? 2
………………………10

，则 y ?

y0 (2 2 ? 2) ， x0 ? 2

即 DF ? (2 2 ? 2)

y0 x0 ? 2

所以
2 4 y0 ? = 2 ……………………………………………………..12 2 x0 ? 4 4 ? x0 2 4 y0

而

，即 4y02=4﹣x02，代入上式，

所以|DE|· |DF|=1，所以|DE|· |DF|为定值 1．…………………………………………14 20． （本小题满分 14 分） （Ⅰ）在 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中，令 n=1，可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ，即 a1 ? 1 2
n?2

1 ..............1 2

当 n ? 2 时， Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 ? 2， ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 ，..................2 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时，bn ? bn?1 ? 1
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列................................................4 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

(II)由（I）得 cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ，所以 n 2

n .........................................................................6 2n

由①-②得

………………………9

-8-

Tn ?

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ……………………………………11 ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小 2n ? 1
． ． ． ． ． ．

于是确定 Tn与

猜想：当 n ? 3时， 2 ? 2n ? 1. 证明如下：
n

证法 1： （1）当 n=3 时，由猜想显然成立．
k （2）假设 n ? k 时猜想成立．即 2 ? 2k ? 1

则 n ? k ? 1 时， 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合（1） （2）可知 ，对一切 n ? 3 的正整数，都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2：当 n ? 3 时

综上所述，当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ，当 n ? 3 时 Tn ? ………………………14 2n ? 1 2n ? 1

-9-