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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-2


基础巩固强化 一、选择题 1.(2012· 重庆三模)在同一坐标系下,直线 ax+by=ab 和圆(x- a)2+(y-b)2=r2(ab≠0,r>0)的图象可能是( )

[答案] D x y [解析] 直线方程可化为b+a=1,依据 A、B、C、D 中的图象 可知 a>0,b<0,满足圆心(a,b)中 a>0,b<0 的只有选项 D. 2. (文)已知直线 3x+4y-24=0 与坐标轴的两个交点及坐标原点 都在一个圆上,则该圆的半径是( A.3 C.5 [答案] C [解析] 直线 3x+4y-24=0 与坐标轴的两个交点为 A(8,0), ) B.4 D.6

B(0,6),由题知 AB 为圆的直径,且|AB|=10,

∴圆的半径是 5. (理)圆心在抛物线 y2=2x(y>0)上,并且与抛物线的准线及 x 轴都 相切的圆的方程是( )

1 A.x2+y2-x-2y-4=0 B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 1 D.x2+y2-x-2y+4=0 [答案] D 1 [解析] 抛物线 y2=2x(y>0)的准线为 x=-2, 圆与抛物线的准线 1 及 x 轴都相切,则圆心在直线 y=x+2(y>0)上,与 y2=2x(y>0)联立可 1? ?1 ? ? 得圆心的坐标为?2,1?,半径为 1,则方程为?x-2?2+(y-1)2=1,即
? ? ? ?

1 x2+y2-x-2y+4=0. 3.(文)已知圆 C 的方程为 x2+y2+2x-2y+1=0,当圆心 C 到 直线 kx+y+4=0 的距离最大时,k 的值为( 1 A.3 1 C.-3 [答案] D [解析] 圆 C 的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=1,所以圆心 C 的 坐标为(-1,1),又直线 kx+y+4=0 恒过点 A(0,-4),所以当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距离最大时,直线 CA 应垂直于直线 kx+y+4 1 1 =0,直线 CA 的斜率为-5,所以-k=5,k=-5. 1 B.5 1 D.-5 )

(理)(2013· 开封模拟)已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:(x-1)2+(y -1)2=2,则圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为( A. 2 C.1 [答案] A [解析] 由题意知,圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值等于圆 心(1,1)到直线 l 的距离减去圆的半径,即 |1-1+4| - 2= 2. 12+?-1?2 B. 3 D.3 )

4. (文)设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点, PA 是圆的切线, 且|PA| =1,则 P 点的轨迹方程是( A.(x-1)2+y2=4 C.y2=2x [答案] B [解析] 设 P(x,y),圆心 C(1,0),由题意知 PA⊥AC, ∴|PC|2=|PA|2+|AC|2=2,∴(x-1)2+y2=2,故选 B. (理)圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形, 则 a-b 的取值范围是( A.(-∞,4) C.(-4,+∞) [答案] A [解析] 圆(x-1)2+(y+3)2=10-5a,由条件知,圆心 C(1,- ) B.(-∞,0) D.(4,+∞) ) B.(x-1)2+y2=2 D.y2=-2x

3)在直线 y=x+2b 上,∴b=-2,又 10-5a>0,∴a<2,∴a-b<4. 5.(文)圆心在直线 y=x 上,经过原点,且在 x 轴上截得弦长为 2 的圆的方程为( )

A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2

C.(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=或(x+1)2+(y-1)2=2 [答案] C [解析] 由圆心在直线 y=x 上排除 B、D;由对称轴知,若圆(x -1)2+(y-1)2=2 满足题意,则(x+1)2+(y+1)2=2 也必满足题意, 故选 C. (理)已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+ 4y+4=0 相切,则圆的方程是( A.x2+y2-4x=0 C.x2+y2-2x-3=0 [答案] A [解析] 设圆心为 C(m,0)(m>0),因为所求圆与直线 3x+4y+4= 0 相切,所以 |3m+4×0+4| =2,整理得:|3m+4|=10,解得 m=2 32+42 ) B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2+2x-3=0

14 或 m=- 3 (舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=22,即 x2+y2-4x =0,故选 A. 6.一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y- 3)2=1 上的最短路程是( A.4 C.3 2-1 [答案] A [解析] 如图,作出 A 关于 x 轴的对称点 B,最短路程是 BD= BC-r=4. ) B.5 D.2 6

二、填空题 7.(2013· 山东)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短 弦的长为________. [答案] 2 2 [解析] 最短弦为过点(3,1), 且和点(3,1)与圆心的连线垂直的弦, 易知弦心距 d= ?3-2?2+?1-2?2= 2,所以最短弦长为 2 r2-d2= 2 22-? 2?2=2 2. 8. (2013· 陕西检测)已知点 P 是圆 C: x2+y2+4x-6y-3=0 上的 一点,直线 l:3x-4y-5=0.若点 P 到直线 l 的距离为 2,则符合题 意的点 P 有________个. [答案] 2 [解析] 由题意知圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=42,∴圆心 |-6-12-5| 23 = 5 >4,故直线与圆相离,则 5

(-2,3)到直线 l 的距离 d= 满足题意的点 P 有 2 个.

9.(2012· 石家庄一模)已知动圆的圆心 C 在抛物线 x2=2py(p>0) 上,该圆经过点 A(0,p),且与 x 轴交于两点 M、N,则 sin∠MCN 的 最大值为________. [答案] 1 [解析] 当圆心 C 的纵坐标为 p 时,C( 2p,p)为圆心的圆方程

为(x- 2p)2+(y-p)2=2p2,令 y=0 得,x= 2p± p,∴MC⊥NC,∴ sin∠MCN=1. 三、解答题 10.(文)已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,求|QM|的最小值. [分析] (1)设出点 P 的坐标,由|PA|=2|PB|写出方程,化简即可; (2)直线 l2 与曲线 C 只有一个公共点 M,故 l2 与 C 相切,当|QC| 取最小值时, |QM|取到最小值, 故|CQ|为点 C 到 l1 的距离时满足要求. [解析] (1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2, 化得可得(x-5)2+y2=16 即为所求. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图.

由题意知直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ|2-|CM|2 = |CQ|2-16, |5+3| 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= =4 2, 2 此时|QM|的最小值为 32-16=4.

(理)(2013· 福建)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆, 设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N.

(1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|· |AN|,求圆 C 的半径. [解析] (1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1. 由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= 5. 所以|MN|=2 |CO|2-d2=2 5-4=2. y2 y2 y4 0 0 2 0 2 2 (2)设 C( 4 ,y0),则圆 C 的方程为(x- 4 ) +(y-y0) =16+y0 , y2 0 即 x - 2 x+y2-2y0y=0.
2

y2 0 由 x=-1,得 y -2y0y+1+ 2 =0,
2

设 M(-1,y1),N(-1,y2),则 y0 2 2 ? Δ = 4 y - 4 ? 1 + 0 ? 2 ?=2y0-4>0, ? 2 y0 ? ?y1y2= 2 +1.
2

由|AF|2=|AM|· |AN|,得|y1y2|=4,
2 y0 所以 2 +1=4,解得 y0=± 6,此时 Δ>0.

3 3 所以圆心 C 的坐标为(2, 6)或(2,- 6), 33 33 33 从而|CO|2= 4 ,|CO|= 2 ,即圆 C 的半径为 2 . 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹 方程是( )

A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 [答案] A [解析] 设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y),则 x ?x=4+ 2 , ? -2+y ?y= 2 .
0 0

? ?x0=2x-4, 解得? 因为点 Q 在圆 x2+y2=4 上,所 ?y0=2y+2. ?

2 2 2 2 2 以 x2 0+y0=4,即(2x-4) +(2y+2) =4,即(x-2) +(y+1) =1.

(理)已知圆 x2+y2=4,过点 A(4,0)作圆的割线 ABC,则弦 BC 中 点的轨迹方程为( )
? ?

1? ? A.(x-1)2+y2=4 ?-1≤x<2? B.(x-1)2+y2=4 (0≤x<1)

1? ? C.(x-2)2+y2=4 ?-1≤x<2?
? ?

D.(x-2)2+y2=4 (0≤x<1) [答案] D [分析] 直线过点 A,可设出点斜式方程,由 OP 与割线 ABC 垂 直,消去斜率 k 可得轨迹方程,注意 k 不存在的情形. [解析] 设割线的方程为 y=k(x-4),再设 BC 中点的坐标为(x, y 1 y),则x=-k, 代入 y=k(x-4)消去 k 得,(x-2)2+y2=4. 画出图形易知轨迹应是在已知圆内的部分,且 x 的取值范围是 0≤x<1.故选 D. [点评] 求动点 M 的轨迹方程时,设 M(x,y),然后结合已知条 件找 x、y 满足的关系式.如果点 M 的运动依赖于点 A 的运动,而点 A 在已知曲线 C 上,这时将 A 的坐标用 x、y 表示,代入 C 的方程, 即得 M 点的轨迹方程. 12.(2013· 重庆)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直 线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小值为( A.6 C.3 [答案] B [解析] 如图所示,要使|PQ|最小,则过圆心作直线 x=-3 的垂 线分别与圆及直线交于点 P、Q,此时|PQ|最小,圆心到直线 x=-3 的距离为 6,则|PQ|min=6-2=4.故选 B. B.4 D.2 )

13.(文)过点 A(11,2)作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦,其中弦 长为整数的共有( A.16 条 C.32 条 [答案] C [解析] ∵圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的标准方程为:(x+1)2+ (y-2)2=132,即此圆是一个以点 O(-1,2)为圆心,以 R=13 为半径 的圆. ∵|OA|=12,而 R=13,经过 A 点且垂直于 OA 的弦是经过 A 点 的最短的弦,∴其长度为 2 132-122=10;而经过 A 点的最长的弦 为圆的直径 2R=26; ∴经过 A 点且为整数的弦长还可以取 11,12,13,14,15,…,25 共 15 个值,又由于圆内弦的对称性,经过某一点的弦的长若介于最大 值与最小值之间,则一定有 2 条,而最长弦与最短弦各只有 1 条,故 一共有 15×2+2=32 条. x y (理)已知直线a+b=1(a、b 是非零常数)与圆 x2+y2=100 有公共 点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 ) B.17 条 D.34 条

(

) A.60 条 C.72 条 [答案] A [ 解析 ] 在第一象限内圆 x2 + y2 = 100 上的整数点只有 (6,8) , B.66 条 D.78 条

(8,6),又点(10,0),(0,10)在圆上, ∴由对称性知 x2+y2=100 上横、 纵坐标均为整数的点共有 12 个. 11×12 过这 12 个点的圆 x2+y2=100 的切线有 12 条,割线有 2 = 66 条,共 78 条. 其中垂直于坐标轴的有 14 条, 过原点与坐标轴不垂直的有 4 条, ∴共有 78-18=60 条. 二、填空题 14.

(2013· 江西联考)如图,已知长度为 2 的线段 AB 的两个端点在动 →· → =________. 圆 O 的圆周上运动,O 为圆心,则AB AO [答案] 2 → =AC → +CO → [解析] 取 AB 的中点 C,连接 OC,则 OC⊥AB,AO 1→ → 1→ → 1→ →· → =AB →· =2AB +CO,所以AB AO (2AB +CO)=2AB 2=2.

15.(2013· 惠州调研)已知直线 2ax+by=1(a,b 是实数)与圆 O: x2+y2=1(O 是坐标原点)相交于 A, B 两点, 且△AOB 是直角三角形, 点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一点,则圆 M 的面 积的最小值为________. [答案] (3-2 2)π [解析] 因为直线与圆 O 相交所得△AOB 是直角三角形, 可知∠ AOB=90° ,所以圆心 O 到直线的距离为 1 2 2 = ,所以 a =1 2 2 2 2 a +b

1 - 2 b2≥0 ,即- 2 ≤b≤ 2 . 设圆 M 的半径为 r ,则 r = |PM| = a2+?b-1?2= 1 2 2 b - 2 b + 2 = 2 2 (2-b),又- 2≤b≤ 2,所以 2

+1≥|PM|≥ 2-1,所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 2)π. 三、解答题 16.(文)(2013· 新课标Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. [解析] (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题意知 y2+2=r2,x2+3=r2,从而得 y2+2=x2+3. ∴点 P 的轨迹方程为 y2-x2=1. 2 (2)设与直线 y=x 平行且距离为 2 的直线为 l: x-y+c=0, 由平 行线间的距离公式得 C=± 1. ∴l:x-y+1=0 或 x-y-1=0. 与方程 y2-x2=1 联立得交点坐标为 A(0,1),B(0,-1).

即点 P 的坐标为(0,1)或(0,-1),代入 y2+2=r2 得 r2=3. ∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3. (理)设 O 点为坐标原点, 曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、 →· → =0. Q 关于直线 x+my+4=0 对称,且OP OQ (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. [解析] (1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,表示圆心为(-1,3), 半径为 3 的圆. ∵点 P,Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称. ∴圆心(-1,3)在直线上,代入直线方程得 m=-1. (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直, ∴设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 方程为 y=-x+b. 将 y=-x+b 代入圆方程得, 2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0. Δ=4(4-b)2-8×(b2-6b+1)>0, ∴2-3 2<b<2+3 2, 由韦达定理得, b2-6b+1 x1+x2=b-4,x1· x2= , 2 y1· y2=(-x1+b)(-x2+b) b2+2b+1 =b -b(x1+x2)+x1· x2= , 2
2

→· → =0,∴x x +y y =0, ∵OP OQ 1 2 1 2 b2-6b+1 b2+2b+1 即 + =0. 2 2 解得 b=1∈(2-3 2,2+3 2).

∴所求的直线方程为 y=-x+1.

考纲要求 1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程,会用适当方法求圆的方程. 补充说明 一、数形结合思想 在解决与圆有关的最值问题时,主要借助圆的几何性质,用数形 结合的方法求解. 1.圆上点到定点 P 的距离的最大(小)值:连结圆心 C 与 P 交圆 于两点为最大(小)值点.

(1)点 P 在⊙C 内,过点 P 的⊙C 的弦中,最长的为 EF(过圆心), 最短的为 AB(AB⊥EF),在⊙C 上所有点中,点 E 到点 P 距离最小, 点 F 到点 P 距离最大. (2)点 P 在⊙C 外,PC 与圆交于 E、F,圆上所有点中到点 P 距 离最大(小)的点为 F(E),过点 P 可作两条直线 PA、PB 与⊙C 相切, 则 PC 为∠APB 的平分线,PC 垂直平分 AB.

2.圆上的点到定直线的距离最值:由圆心向直线作垂线与圆两 交点为最值点. 直线 l 与⊙C 外离,PC⊥l 交⊙C 于 A、B,则在⊙C 上到直线 l 距离最大(小)的点为 B(A).

二、等价转化思想 已知点 P(x,y)为圆上动点 y-b (1)形如 的最值转化为动直线的斜率求解, 一般在相切位置取 x-a 最值. (2)形如 ax+by 的最值,一般设 u=ax+by,转化为动直线的截 距问题.用判别式法求解,或在相切位置取最值. (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值转化为动点到定点的距离问题或 设(x-a)2+(y-b)2=k2,转化为两圆有公共点时,k 的取值范围问题. 备选习题 1.已知两点 A(1,-2),B(-4,-2)及下列四条曲线:

①4x+2y=3 ②x2+y2=3 ③x2+2y2=3 ④x2-2y2=3 其中曲线上存在点 P,使|PA|=|PB|的曲线有( A.①③ C.①②③ [答案] C [解析] ∵|PA|=|PB|,∴P 点在线段 AB 的垂直平分线上,易知 3 线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 x=-2,画图知与直线 l 有公共点 的曲线有①②③,故选 C. 2.方程(x2+y2-4) x+y+1=0 表示的曲线形状是( ) B.②④ D.②③④ )

[答案] C [解析] 注 意 到 方 程 (x2 + y2 - 4) x+y+1 = 0 等 价 于 ①

2 2 ? ?x +y -4=0, ? 或②x+y+1=0.①表示的是不在直线 x+y+1=0 ?x+y+1≥0, ?

的左下方且在圆 x2+y2=4 上的部分;②表示的是直线 x+y+1=0. 因此,结合各选项知,选 C.

3 3.与直线 3x+4y+3=0 相切且圆心在曲线 y=x(x>0)上的面积 最小的圆的方程为________. 3 [答案] (x-2)2+(y-2)2=9 3 [解析] 设圆心坐标为(a,a)(a>0), 12 |3a+ a +3| 3 4 则圆心到直线 3x+4y+3=0 的距离 d= = ( a + 5 5 a+ 3 1)≥5(4+1)=3,当且仅当 a=2 时等号成立. 3 此时圆心坐标为(2,2),半径 r= 3 的方程为(x-2)2+(y-2)2=9. 4.(2013· 山东淄博联考)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为 圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M、 N 关于直线 x+2y=0 对称, 且|MN|=2 3, 求直线 MN 的方程. [解析] (1)依题意知圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离,即 r= 4 =2, 1+3 3 ? ? ?3×2+4× +3? 2 ? ? 32+42

=3,故所求圆

所以圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0, 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= |m| . 5

m2 由垂径定理得 5 +( 3)2=22,即 m=± 5. 所以直线 MN 的方程为 2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0.


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