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江苏省2010年普通高校对口单招文化统考数学试卷


江苏省 2010 年普通高校对口单招文化统考



学试卷

本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分。第Ⅰ卷 1 页至 2 页, 客观题) 主观题)两部分。 分钟。 第Ⅱ卷 3 页至 8 页,两卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(共 48 分)

注意事项: 注意事项: 1.答 1.答第Ⅰ卷前,考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号等项目。 卷前,考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号等项目。 2.用 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标点涂黑.答案不涂写在答题卡上无效。 2.用 2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标点涂黑.答案不涂写在答题卡上无效。

小题, 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,每小题列出的四 单项选择题( 个选项中,只有一项是符合要求的) 个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知全集 U={0, 5}, A={1, 5},B={1,2}, 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},B={1,2},则 Cu ( A U B ) = ( A.{4} B.{0} C.{0, C.{0,4} D.{1, D.{1,2,3,5} ( ) )

2.设 2.设 p : x > 0, q : x + 1 > 0 ,则 “非 q ”是“非 p ”的 A.充分而非必要条件 A.充分而非必要条件 C.充要条件 C.充要条件 3.函数 3.函数 y = 2sin 6 x 是

B.必要而非充分条件 B.必要而非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ( )

π
A.周期为 A.周期为
3

π
的奇函数 B.周期为 B.周期为
3

的偶函数

C.周期为 C.周期为 π 的奇函数

D.周期为 D.周期为 π 的偶函数 ( )

4.已知数据 的方差为 4.已知数据 a1 , a2 , a3 的方差为 2,则数据 2a1 , 2a2 , 2a3 的方差为 A.2 B.4 C.8 D.10 D.10

5.已知函数 5.已知函数 y = log 2 ( x + 1), x ∈ [1, +∞) ,则它的反函数的定义域为 已知 A. (?∞, 0] B. (?∞,1] C. [0, +∞)





D. [1, +∞)

1

6.复数 6.复数 i 2010 (1 + i ) 等于 A. ?1 + i C.
2(cos 5π 5π + i sin ) 4 4

( B. 1 + i D. cos
5π 5π + i sin 4 4



7.在 a=4, 7.在 ?ABC 中,若 a=4,b= 4 3 , ∠A = 30o , 则 ∠B 等于 A.120 A.120 o B.120 B.120 o 或 30 o C.60 C.60 o

( D.60 D.60 o 或 120 o



8.若 的正方形,则此圆柱的表面积为( 8.若一圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形,则此圆柱的表面积为( A.2 A.2 π B.4 B.4 π C.5 C.5 π D.6 D.6 π



9.已知过点 +my平行, 9.已知过点 A(-2,0)和 B(0,1)的直线与直线 2x+my-1=0 平行,则 m 的值 为 A.A.-1
2

( B.B.-4 C.1 D.4



x2 y 2 0.若抛物线 = 1 的右焦点重合,则 p 的值为 的右焦点重合, 10.若抛物线 y = 2 px 的焦点与双曲线 ? 6 10

( A.4 A.4 B.B.-4

) C.8 C.8 D.D.-8

11.为赢得 年上海世博会的制高点,某工艺品厂最近设计 近设计、 11.为赢得 2010 年上海世博会的制高点,某工艺品厂最近设计、生产了一款工 艺品进行试销,得到如下数据表: 艺品进行试销,得到如下数据表: 销售单价 x 单位: /件) (单位: 元 单位: 每天销售量 y(单位:件) 30 500 40 400 50 300 60 200

根据该数据表, 单位: 根据该数据表,可以推测下列函数模型中能较好反映每天销售量 y(单位:件) 单位: 与销售单价 x(单位:元/件)之间关系的是 A. y = kx + b C. y = log a x + b(a > 0 且 a ≠ 1) B. y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) D. y = a x + b(a > 0 且 a ≠ 1) ( )

12.若直线 12.若直线 2ax ? by + 2 = 0(a > 0, b > 0) 被圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y + 1 = 0 截得的线段长
1 1 为 4,则 + 的最小值为 a b

( C.
1 2



A.2

B.4

D.

1 4

2

三 合计得分 题 号 二 19 得查人 得 分 20 21 22 23 24 25

江苏省 2010 年普通高校对口单招文化统考



学试卷

第Ⅱ卷(共 102 分)
注意事项: 注意事项: 1.答 第卷前,考生务必将密封线内的各项目及第 页右下角的座位号填写清楚。 1.答Ⅱ第卷前,考生务必将密封线内的各项目及第 5 页右下角的座位号填写清楚。 2.第 考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上。 2.第Ⅱ卷共 6 页,考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上。 3.考试结束,考生将第Ⅱ 3.考试结束,考生将第Ⅱ卷、第Ⅰ卷和答题卡一并交回。 考试结束 将第 卷和答题卡一并交回。 得分 评卷人 得评人

小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 填空题(

13.若曲线 没有公共点, 13.若曲线 y = 2 x + 1 与直线 y = b 没有公共点,则 b 的取值范围是 14.在二项式 的展开式中, 14.在二项式 (1 ? 2 x)9 的展开式中, x3 的系数等于



。 (用数字作答) 用数字作答)


v v v v v 15.设向量 15.设向量 a 与 b 的夹角为 θ , a = (2,1), a + 2b = (4,5) ,则 sin θ =

16.已知角 的终边经过点 经过点( ,则 16.已知角 α 的终边经过点(-3,4) 则 sin( + α ) ? tan(π ? α ) = , 2 17.若圆 相外切, 17.若圆 x 2 + y 2 ? 2 y ? a = 0 与圆 ( x + 3) 2 + y 2 = 1 相外切,则 a=

π





18.已知 上的偶函数, =0, 18.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且周期为 3,若 f(2)=0,则方程 在区间( f(x)=0 在区间(0,6)内根的个数最少为
得分 评卷人 得评人



小题, 三、解答题(本大题共 7 小题,共 78 分) 解答题

19.(6 分)解不等式 | 2 x ? 3 |< 1 . 19.(

3

20.( 为锐角, 20.(10 分)已知 α 为锐角,且点 (cos α ,sin α ) 在曲线 6 x 2 + y 2 = 5 上。 (1)求 cos 2α 的值 (2)求 tan(2α ? ) 的值 4

π

21.( 21.(10 分)已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 = an + 2n, n ∈ N + . 的等比中项; (1)求证: a2 是 a1 , a3 的等比中项; 求证: 的通项公式。 (2)求数列 {an } 的通项公式。

4

22.( 上是增函数。 22.(12 分)已知函数 f ( x) = x 2 ? (a 2 ? 2a ? 1) x ? a ? 2 在 [1, +∞) 上是增函数。 的取值范围; (1)求实数 a 的取值范围; 的大小。 (2)试比较 f (1) 与 2 f (0) 的大小。

5

23.( 加工某种零件需经过四道工序。设第一、 23.(14 分)加工某种零件需经过四道工序。设第一、二、三、四道工序的合格 率分别为
19 18 17 16 , , , , 且各道工序互不影响。 且各道工序互不影响。 20 19 18 17

(1)求该种零件的合格率; 求该种零件的合格率; 的概率分布与数学期望 (2)从该种零件中任取 3 件,①求取到合格品的件数 ξ 的概率分布与数学期望 求至少取到一件合格品的概率。 E (ξ ) ;②求至少取到一件合格品的概率。

6

24.( 如图, 为正三角形, 24.(12 分)如图,在三棱锥 S-ABC 中, ?ABC 为正三角形,S 在平面 ABC 内的 射影 O 在 ∠ACB 的平分线 CD 上。 (1)求证: AB ⊥ SC ; 求证: BC=2,SC=1, SC- 的大小(用反三角函数表示) (2)若 BC=2,SC=1,且 SC ⊥ SD 求二面角 A-SC-B 的大小(用反三角函数表示) 。

7

25.(14 分)已知椭圆 C: 25.(

x2 y2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率 e = ,准线方程为 2 a b 2

x = ±2 ,它的右焦点为 F。

的方程; (1)求椭圆 C 的方程; 两点, (2)设直线 l : y = k ( x ? 2)(k ≠ 0) 与椭圆交于 M,N 两点,直线 FM 与 FN 的倾斜角 的值。 分别为 α , β ,求 α + β 的值。

8

江苏省 2010 年普通高校对口单招文化统考



学试卷

小题, 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 单项选择题( 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 D 6 C 7 D 8 D 9 B 10 C 11 A 12 B

小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 填空题( 13. ( ?∞,1] 14.14.-672 17.0 15.

3 5
18.4

16. ?

29 15

小题, 三、解答题(本大题共 7 小题,共 78 分) 解答题( 19.解 19.解:由 | 2 x ? 3 |< 1 得

?1 < 2 x ? 3 < 1, ……………………………………………………………………3 分 …………………………………………………………………… ……………3
从而 1 < x < 2, 故原不等式的解集为( 故原不等式的解集为(1,2)……………………………………………………3 分 ……………………………………………………3 ……………… 20.解 (1 20.解: 1)由题意得 (

6 cos 2 α + sin 2 α = 5, ………………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………… ……………2
从而 cos α =
2

4 4 3 , ,所以 cos 2α = 2 cos 2 α ? 1 = 2 × ? 1 = . …………………3 分 …………………3 ………… 5 5 5
为锐角, (2)因为 α 为锐角,所以 0 < 2α < π ,故

3 2 4 sin 2α = 1 ? cos 2 2α = 1 ? ( ) = , 5 5
tan 2α = sin 2α 4 = , ………………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………… ………………2 cos 2α 3 4 π ?1 tan 2α ? tan 1 π 4 = 3 = . ……………………………3 分 …………………………… ………3 所以 tan(2α ? ) = 4 1 + tan 2α tan π 1 + 4 7 4 3
21.解 (1 由题意得: 21.解: 1)由题意得: (

9

a1 = 2, a2 = a1 + 2 = 2 + 2 = 4, a3 = a2 + 2 × 2 = 8, …………………………………………………………………2 分 …………………………………………………………………2 ……………………
所以 a2 = a1 a3 ,
2

的等比中项………………………………………………………… …………………………………………………………… 即 a2 是 a1 , a3 的等比中项……………………………………………………………2 分 (2)因为 an +1 = an + 2n, n ∈ N + , 所以 an +1 ? an = 2n, n ∈ N + , 从而, 从而,当 n ≥ 2 时,有

a2 ? a1 = 2, a3 ? a2 = 2 × 2, a4 ? a3 = 2 × 3,


an ? an ?1 = 2(n ? 1),
…………………………………… …………………2 所以 an ? a1 = 2[1 + 2 + 3 + ??? + ( n ? 1)], ……………………………………2 分 从而 an = 2 + 2

n(n ? 1) = n 2 ? n + 2. ………………………………………2 分 ………………………………………2 …………… 2
2

…………………………………………………1 ……………… 当 n=1 时, a1 = 2 = 1 ? 1 + 2. …………………………………………………1 分 所以数列 …………………………… ……… 所以数列 {an } 的通项公式为 an = n ? n + 2. ………………………………1 分
2

22.解 (1 22.解: 1)由题意得 (

a 2 ? 2a ? 1 ≤ 1, ………………………………………………………3 分 …………………………………………………… …………………………… 2
解得 ?1 ≤ a ≤ 3, 、

的的取值范围是[ 3]……………………………………………………3 …………………………………………………… 所以 a 的的取值范围是[-1,3]……………………………………………………3 分
2 2 ……………………………… …………1 (2) f (1) = 1 ? ( a ? 2a ? 1) ? a ? 2 = ? a + a ,………………………………1 分

2 f (0) = 2(?a ? 2) = ?2a ? 4, ………………………………………………1 分 …………………………………………… …………………
2 ………………………………… ……1 ……… 所以 f (1) ? 2 f (0) = ? a + 3a + 4, …………………………………………1 分

10

=- (a ? 4)( a + 1), 因为 ?1 ≤ a ≤ 3, 所以 a ? 4 < 0, a + 1 ≥ 0, 从而 ?( a ? 4)( a + 1) ≥ 0, ,于是 f (1) ? 2 f (0) ≥ 0, ……………………………………………………………………3 即 f (1) ≥ 2 f (0). ……………………………………………………………………3 分 23. (1 23.解: 1)记该种零件合格率为 P1,由题意得 P1= (
k k

19 18 17 16 × × × = 0.8. ………4 分 20 19 18 17
3? k

(2)①由题意得,取到 k 个合格品的概率为 C3 0.8 (1 ? 0.8) 由题意得,

, k = 0,1, 2,3. ……4 分所以, ……4 分所以,

ξ 的概率分布列为 ξ
P 0 0.008 1 0.096 2 0.384 3 ………………………………………… …………………………………………2 分 …… 0.512

=3× ……………………………………………………………………2 E( ξ )=3×0.8=2.4 ……………………………………………………………………2 分 ②记至少取得一件合格品的概率为 P2 ,由题意得

P2 =1-P( ξ =0)=1-0.008=0.992…………………………………………………………2 分 =1=0)=1-0.008=0.992………………………………………………………… …………………………………………………………2
24.( 证明: 24.(1)证明:因为 S 在平面 ABC 内的射影为 O, ABC, 所以 SO ⊥ 平面 ABC, 故 SC 在平面 ABC 内的射影为 CO, CO, 为等边三角形, 的平分线, 因为 ?ABC 为等边三角形,CD 为 ∠ABC 的平分线, 所以 AB ⊥ CD ,又由于 O 在 CD 上,所以 AB ⊥ CO , ………………………………………………………………………4 从而 AB ⊥ SC ………………………………………………………………………4 分 (2)解:因为 AB ⊥ SC , SC ⊥ SD ,且 AB 与 SD 交于 D 点, SAB, 所以 SC ⊥ 平面 SAB, 从而 SC ⊥ SB, SC ⊥ SA SC- 的平面角…………………………………………… ……………………………………………4 因此 ∠ASB 为二面角 A-SC-B 的平面角……………………………………………4 分 在直角三角形 SBC 中,由于 SC=1,BC=2,所以, SB = SC=1,BC=2,所以,

3,

11

同理 SA = 3 AB=BC=2, 在 ?ASB 中,AB=BC=2,

SA2 + SB 2 ? AB 2 3+3? 4 1 cos ∠ASB = = = 2SA SB 2 3× 3 3
所以 ∠ASB = arccos , SC- 的大小 即二面角 A-SC-B 的大小为 arccos

1 3

1 ……………………………………………… …………4 ………………………………………………4 分 3

25.解 (1 的坐标为( 25.解: 1)设 F 的坐标为(c,O)则由题意得 (

c 2 a2 = , = 2, ……………………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………………2 a 2 c
…………………………………………2 解出 a = 2, c = 1, 从而 b = a ? c = 1. …………………………………………2 分
2
2 2 2

x2 + y 2 = 1. …………………………………………………2 分 …………………………………………………2 所以椭圆 C 的方程为 2
)由 (2 )由

y = k ( x ? 2)

x2 + y2 = 1 2

消去 y,得

(1 + 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 8k 2 ? 2 = 0. ①………………………………………………1 分 ①………………………………………………1
4 2 2 由题意得 k ≠ 0, ? = 64k ? 4(1 + 2k )(8k ? 2) > 0,

解得 0 < k <
2

1 . ②…………………………………………………………………1 分 ②…………………………………………………………………1 2
则由① 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由①得

x1 + x2 =

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x2 = . …………………………………………………1 分 …………………………………………………1 1 + 2k 2 1 + 2k 2

不是方程①的根, …………………………………1 由②知 x=1 不是方程①的根,从而 x1 ≠ 1, x2 ≠ 1 …………………………………1 分 由题意得

tan α = k FM =

k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) , tan β = k FN = , ……………………………1 分 ……………………………1 x1 ? 1 x2 ? 1

12

所以 k FM + k FN =

k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) + x1 ? 1 x2 ? 1

=

k ( x1 ? 2)( x2 ? 1) + k ( x1 ? 1)( x2 ? 2) , ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

其中 k ( x1 ? 2)( x2 ? 1) + k ( x1 ? 1)( x2 ? 2) = k[2 x1 x2 ? 3( x1 + x2 ) + 4] =k?

? 2(8k 2 ? 2) 24k 2 ? ? + 4? = 0 , 2 2 1 + 2k ? 1 + 2k ?

………………………………………………………………2 所以 k FM + k FN = 0 ,………………………………………………………………2 分 故 α + β = π . …………………………………………………………………………1 …………………………………………………………………………1 分

13


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