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对一道例题的变式思考


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名师点金

习 题 转 化

对一道例题的变式思考

( 原 题 人 教 版 第 112 页 例 4) : 如 图 , 在 平 行 四 边形 ABCD 中 , !" AB =a , !" AD =b , 你能用 a , b 表示向量 湖南 唐道国

分析 根 据 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 知 !" CE =

!" !" !" !" !" E +C B 且B E =B A +A E , 从而用可用 a , b , c , d 表 示 B !" !" !" !" 向量 C E , 又D E =D C +C E , 由此可得 !" DE 的表达式 .

!" !" AC , D B 吗?
D C



!" !" !" !" !" !" CE =B E +C B =B A +A E +C B =-( a+b+d) ,

!" !" !" !" !" !" D E =D C +C E =-( !" EA +A B +B C +C D)
A B

=-( d+a+b+c) .
点评 三角形法则可推导出向量加法的多边
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解析

由作向量和的平行四边形法则得

!" A C =a+b ,
由作向量差的方法知

!" !" !" 形 法 则 , 即 !" A1A2 +A 2A3 + … +An- 1An =A1An , 也 就 是 对
于 首 尾 相 连 的 几 个 向 量 的 和,等 于 以 第 一 个 向 量 的 起点为起点、 第 n 个向量的终点为终点的向量 . 变式练习 1 于

!" !" !" D B =A B-A D =a- b.
( 1) 几 何 中 向 量 加 法 是 用 几 何 作 图 来 定 义 的 , 一般有两种方法 , 即向量加法的平行四边形法则 ( 对 于两个向量共线不适应) 和三角形法则 ( “首尾 相

!" !" !" !" 化 简O P-Q P +P S +S P 的结果等
( )

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!" P A.Q !" P C.S
思考二

!" Q B.O !" Q D.S
设 AB =a , BC =b , 根 据 三 角 形

!" 接, 首尾连” ) . 设 !" AB =a , B C =b , 那 么 向 量 !" AC 叫 做 a !" !" !" 与 b 的和 , 即 a+b=A B +B C =A C; !" ( 2) 几 何 中 向 量 减 法 用 “三角形法则” : 设A B= !" !" !" C =b , 那么 a- b=A B - !" AC =C B , 由减向量的终 点 a, A
指向被减向量的终点 ( 此处减向量与被减向量的起 点相同) .

!"

!"

!" !" !" 法则有 : a+ AB +B C= AC , 那么 b=

a - b



a ±b 、 a + b 这三者的大小关系是怎样
的?
B C

思考一

对于三个以上的首尾相连的


向量的和 , 如何求 ?
例1

!" 如图 , 在五边形 ABCDE 中 , !" AB =a , B C=

!" !" D =c , !" EA =d , 试用 a , b , c , d 表示向量 C E 和 !" DE . b, C
D E C A B

例2 和最小值 . 分析

已 知 a =8 , b =12 , 求 a+b 的 最 大 值

根据三角形的一边小于其它两边 的 和 ,

大于其他两边的差, 在△ABC 中, 有

a - b ≤ a± b

≤ a + b .

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解 因为

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a - b

≤ a± b ≤ a + b ,

若 a = b , 则 %ABCD为菱形 , 因而 a+b 与 a- b 垂直 . 所 以 对 于 两 个 不 共 线 向 量 a , b, a = b 是 ( a+ ( a- b) 垂直的充要条件 , 选 C. b) 与 点评 如果条件中出现向量的和与差 , 则 可 构

当 向 量 a , b 同 向 时 , a +b 的 方 向 与 a , b 同 向 , 且

a+b = a + b ,
故 a+b
max

= a + b =20.

当向量 a , b 反向时 , 若 a < b , 则 a+b 的方向与

造平行四边形或三角形, 再利用向量的垂直、 平行 或夹角判断平行四边形或三角形的形状 ( 如矩形 , 正 方形 , 菱形 , 等腰三角形 , 直角三角形等) , 从而 使 问 题获解 . 变式练习 3 已 知a、 b 是 非 零 向 量 , 则 a ⊥b 是 ( )

a 反向 , 且 a+b = b - a .
故 a+b 点评
min

= b - a =4.

a - b ≤ a± b ≤ a + b , 这个不等

式的几何意义大家一定要理解 , 并熟悉等号 成 立 的 条件 . 变式练习 2 下列命题中正确的是 ( )

a+b = a- b 的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. a+b ≥ a 且 a+b ≥ b B. a+b ≥ a 或 a+b ≥ b C. 若 a > b > c , 则 a+b > b+c
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D. 若 a 与 b 不平行 , 则 a + b > a+b

思考四

平行四边形法则 ( 或三角形法

思考三

如何将平行四边形法则 ( 或三

则) 有 着 广 泛 的 应 用 ,它 们 是 否 可 运 用 到 平 面几何命题中 ?
例4 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 两 条 对 角 线

角形法则) 运用到特殊图形中 ?
例3 已 知a、 b是 不 共 线 向 量 , 则 a = b 是 ( )

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( a+b) 与 ( a- b) 垂直的

#$ #$ OA +O B +O C AC 与 BD 交于 E, O 是任意一点 , 求证 #$ #$ #$ D =4O E. +O
B E A D O C

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A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
分析 ( a+b) 与 ( a- b) 分 别 看 作 一 个 平 行 四 把

边形的两条对角线所对应的向量 , 从而把问 题 转 化 到平行四边形中解决 .
D b A a B C

证明

因为 E 是对角线 AC 与 BD 的交点 ,

#$ #$ #$ #$ 所以 A E =E C =- #$ CE , B E =E D =- #$ DE . #$ #$ #$ 在 △OAE 中 , O A +A E =O E, #$ #$ #$ #$ #$ #$ 同理有 O B +B E =O E , #$ OC +C E =O E , #$ OD +D E= #$ E. O #$ #$ #$ #$ 四式相加可得 #$ OA +O B +O C +O D =4O E.
点评 向量是一个有 “形” 的几何量 , 在 研 究 与 平面几何相关的问题时 , 常借助平行四边形 法 则 和 判断和求解 , 这 是 三角形法则 , 结合图形进行分析 、 研究平面向量问题的重要方法和技巧 . 变式练习 4 四 边 形 ABCD 的 边 AD 和 BC 的



如上图 , 在平行四边形 ABCD 中 ,

#$ 若设 #$ AB =a , A D =b
由平行四边形法则和三角形法则知 :

#$ AC =a+b , #$ DB =a- b.
若 a+b 与 a- b 垂直 , 即使平行四边形 ABCD 的两 条对角线相互垂直 , 则 %ABCD为菱形 , 故 a = b ;

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!" !" 中点分别为 E 、 F = 1 ( !" AB +D C) . F, 求证 : E

变式练习参考答案

证法二

连结 EC, EB.
D C E F A B

1.B 2.D 3.C 4. 证法一
因为 E , F 分别为 DA, BC 的中点 .
D C E F A B

!" !" !" 因为 E F +F C =E C, !" !" !" E F +F B =E B. !" !" !" F +0=E C +E B, ①+② , 得 2E !" !" !" 所以 E F = 1( E C +E B) .
2 ① ②

① ②

!" !" !" 所以 !" DE =E A,F C =B F, !" !" !" 又因为 !" EF +F C +C D +D E =0 , !" !" !" !" EF +F B +B A +A E =0 ,

!" !" !" 又因为 E C =E D +D C, !" !" !" EB =E A +A B. !" !" !" !" F = 1 ( !" ED +D C +E A +A B) . ③+④ , 得 E 2 !" 又因为 !" ED +E A =0 , !" !" !" 所以 E F = 1( A B +D C) .


③ ④

!" !" !" !" !" ( F ( C ( !" F+ C +F B) + D +B A) + DE + ①+② , 得 2E !" E ) =0 , A !" !" !" !" 所以 2E ( -B F =- !" CD + A ) =D C +A B, !" !" 所以 E F = 1 ( !" AB +D C) .


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点 名
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开心一刻

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业簿再一个一个叫名字发回去, 同时借此 认识学生 .可是有一本 , 她喊了十次都没人 来领 , “ ……黄肚皮、 黄肚皮……怎麽搞得 , 人跑哪去了……” 最后全部发完后 , 还是剩 下那一本, 于是就让还没拿到的人举手 , 这时 有个个子小小的女生举了手 , 老师问 : “你 叫什麽名字 ? ” “ 黄月坡 , 老师” 那个女生说 .

name is HongtaoLiu ” 这 时 有 同 学 在
底 下 小 声 说 道 :“ 我 还 叫 方 片 儿 七 呢! ”

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