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证明不等式的基本方法


第 2讲

证明不等式的基本方法

了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,并能 用它们证明一些简单不等式.

板块一 知识梳理· 自主学习

[必备知识] 考点 1 比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.

点 2 综合法和分析法 1.综合法 一般地,从 已知条件 出发,利用 定义 、公理、 定理 、性质等,经过一系列的 推理、论证 而得出命 题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫 顺推证法 或由因导果法. 2.分析法 证明命题时,从 要证的结论 出发,逐步寻求使它成立的 充分条件 ,直至所需条件为 已知条件 或 一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方 法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.

考点 3

反证法与放缩法

1.反证法 证明命题时先假设要证的命题 不成立 ,以此为出发点,结合 已知条件 ,应用公理、定义、定理、性 质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论,以 说明假设不正确,从而得出原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法. 2.放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ,简化不等式,从而达到证明的目的,我 们把这种方法称为放缩法.

[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.用反证法证明命题“a,b,c 全为 0”时,假设为“a,b,c 全不为 0”.( × ) x+2y 2.若 >1,则 x+2y>x-y.( × ) x-y 3.|a+b|+|a-b|≥|2a|.( √ ) 4.若实数 x、y 适合不等式 xy>1,x+y>-2,则 x>0,y>0.( √ ) 1 5.已知 x 为正实数,则 1+x+x≥3.( √ )

二、小题快练 1.[课本改编]设命题甲:|x-1|>2,命题乙:x>3,则甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析 命题甲:x>3 或 x<-1,甲推不出乙,但乙可推出甲.故选 B.

1 1 2.[2016· 唐山检测]若 a>b>c,则 - ( b-c a-c A.大于 0 C.小于或等于 0 B.小于 0 D.大于或等于 0

)

1 1 1 1 解析 因为 a>b>c,所以 a-c>b-c>0,所以 < ,所以 - >0.故选 A. a-c b-c b-c a-c

a>b>c . 3.[课本改编]设 a= 3- 2,b= 6- 5,c= 7- 6,则 a,b,c 的大小关系为________
1 1 1 解析 分子有理化得 a= ,b= ,c= ,∴a>b>c. 3+ 2 6+ 5 7+ 6

n≥m . 4.[2016· 青岛检测]若 m=a+2b,n=a+b2+1,则 m 与 n 的大小关系为________
解析 ∵n-m=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,∴n≥m.

5.设不等式|2x-1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.
解 (1)由|2x-1|<1,得-1<2x-1<1, 解得 0<x<1,所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M 可知 0<a<1,0<b<1. 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0, 故 ab+1>a+b.

板块二 典例探究· 考向突破

考向 (1)求 M;

比较法证明不等式

例 1 [2016· 长春联考]已知 f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|. -2x,x<-1, ? ? [解] (1)f(x)=|x+1|+|x-1|=?2,-1≤x≤1, ? ?2x,x>1,
当 x<-1 时,由-2x<4,得-2<x<-1; 当-1≤x≤1 时,f(x)=2<4,∴-1≤x≤1; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2,∴M=(-2,2). (2)证明:a,b∈M 即-2<a<2,-2<b<2. ∵4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)· (4-b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.

比较法证明的一般步骤 一般步骤:作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或 者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以判断其正负.常用的 变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法.

【变式训练 1】 (1)设 a≥b>0,求证:2a3+b3≥2a2b+ab2.
证明 2a3+b3-(2a2b+ab2)=2a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(2a2-b2). ∵a≥b>0,∴a2≥b2>0, ∴a-b≥0,2a2-b2>0, ∴(a-b)(2a2-b2)≥0. 所以原不等式成立.

(2)设函数 f(x)=|x-a|. ①当 a=3 时,解不等式 f(x)≥4-|x-1|;
?1≤x≤3 ?x<1 ①当 a = 3 时,原不等式可化为 |x - 3| + |x - 1|≥4 ,原不等式等价于 ? 或? 或 ?4-2x≥4 ?2≥4



?x>3 ? , ?2x-4≥4

解得 x∈(-∞,0]∪[4,+∞).

2+n 5 9? 1 1 ? ②若 f(x)≤1 的解集为 2,2?,m+n=a(m>0,n>0),求证: 2mn ≤4. ? ②证明:由|x-a|≤1,得 a-1≤x≤a+1,
5 9 7 所以 a-1=2且 a+1=2,解得 a=2, 1 1 7 即m+n=2. 1 1 1? ? ? ? ? 2+n 1 ? 1 1 +n+2 2 ?4?2 ? 所以 2mn =m? ? =??2?? =4, ? + ? ≤? m 2? ?n ? 2 ? 1 2 当且仅当 m=2,n=3时取等号. 即证.

? ? ? ?

考向 (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d;

用综合法与分析法证明不等式

例 2 [2015· 课标全国卷Ⅱ]设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
[证明] (1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab,( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题设 a+b=c+d,ab>cd 得( a+ b)2>( c+ d)2. 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 由(1)得 a+ b> c+ d.

②若 a+ b> c+ d, 则( a+ b)2>( c+ d)2, 即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.

综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反 的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理、清楚,所以在实际应用时,往往用分析法 找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提. 提醒 用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分 条件即可,而不是充要条件.

【变式训练 2】 (1)已知 n≥2,求证:
证明 要证 1 > n- n-1, n

1 > n- n-1. n

1 ? n- n-1?? n+ n-1? 只需证 > . n n+ n-1 即 1 1 > , n n+ n-1

只需证 n+ n-1> n, 只需证 n-1>0, 只需证 n>1, 因为 n≥2>1,所以 1 > n- n-1. n

(2)[2016· 银川质检]已知 a,b,c 全为正数,且 a+b+c=1,求证: ① ab+ bc+ ca≤1; 1 ②a2+b2+c2≥3.
证明 ①∵a,b,c 全为正数,且 a+b+c=1, ∴a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时等号成立); b+c≥2 bc(当且仅当 b=c 时等号成立); c+a≥2 ca(当且仅当 c=a 时等号成立), ∴2(a+b+c)≥2 ab+2 bc+2 ca(当且仅当 a=b=c 时等号成立). ∴ ab+ bc+ ca≤1(当且仅当 a=b=c 时等号成立).

1 2 2 2 ?a+b+c? 2 2 2 ②a +b +c ≥3?a +b +c ≥ ? a + b + c ≥ab+bc+ca. 3
2 2 2 2

a +b ≥2ab?当且仅当a=b时等号成立? ? ? 2 2 ∴?b +c ≥2bc?当且仅当b=c时等号成立? ? ?c2+a2≥2ac?当且仅当a=c时等号成立?
2 2

2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac?a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 1 ∴a2+b2+c2≥3(当且仅当 a=b=c 时等号成立).

考向

反证法证明不等式

1 1 例 3 [2015· 湖南高考]设 a>0,b>0,且 a+b=a+b.证明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.
1 1 a+b [证明] 由 a+b=a+b= ab ,a>0,b>0,得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1, 有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2, 当且仅当 a=b=1 时等号成立. (2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立,则由 a2+a<2 及 a>0 得 0<a<1;同理,0<b<1,从而 ab<1,这 与 ab=1 矛盾.故 a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.

对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题,一般用反证法.其一般 步骤是反设→推理→得出矛盾→肯定原结论.

x-2 【变式训练 3】 [2016· 南京联考]已知函数 f(x)=a + (a>1). x+1
x

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根.
证明 (1)任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2, 由于 a>1,ax1<ax2,∴a x2-a x1>0, 又∵x1+1>0,x2+1>0,∴ x2-2 x1-2 - x2+1 x1+1

?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? = ?x1+1??x2+1? 3?x2-x1? = >0, ?x1+1??x2+1? x2-2 x1-2 于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ - >0, x2+1 x1+1 即 f(x2)>f(x1),故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

x0-2 (2)证法一:假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 a =- .∵a>1,∴0<a x0<1. x0+1
x0

∴0<-

x0-2 1 <1,即2<x0<2,与假设 x0<0 相矛盾, x0+1

故方程 f(x)=0 没有负数根. 证法二:假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, x0-2 ①若-1<x0<0,则 <-2,0<a x0<1, x0+1 ∴f(x0)<-1,与 f(x0)=0 矛盾. x0-2 ②若 x0<-1,则 >0,0<a x0<1, x0+1 ∴f(x0)>0,与 f(x0)=0 矛盾, 故方程 f(x)=0 没有负数根.

核心规律 1.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法.要依 据题设、题目的结构特点、内在联系,选择恰当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维方法,并掌握 相应的步骤,技巧和语言特点. 2.综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清楚.当问题比较复杂时,通常把分析法和综合 法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证明过程. 满分策略 1.作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式,作商比较法适用的主要题型是高次幂 乘积结构. 2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至 多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法.

板块三 模拟演练· 提能增分

板块四 限时· 规范· 特训


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