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2014届不等式选讲专题(三)绝对值不等式


2014 届不等式选讲专题(三)
【绝对值不等式】

定理 1:若果 a, b 是实数,那么 a ? b ? a ? b 当且仅当_____时取等号。 定理 2:若果 a, b, c 是实数,那么 a ? c ? a ? b ? b ? c 当且仅当_______时取等号。 (1) ax ? b ? c, ax ? b ? c 的解法是________________________________ (2) x ? a ? x ? b ? c(? c) 的解法是________________________________ 考向一 含绝对值不等式的解法

【例 1】?设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2; (2)求函数 y=f(x)的最小值.

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间、去绝对 值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要 遗漏区间的端点值. (2)用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,即 通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法. 【训练 1】 设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围.

【训练 2】1(2011· 南京模拟)如果关于 x 的不等式|x-a|+|x+4|≥1 的解集是全体实 数,则实数 a 的取值范围是________. 2.若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3, b 的取值范围为________. 则 3. .已知关于 x 的不等式|x-1|+|x|≤k 无解,则实数 k 的取值范围是________. 考向二:绝对值不等式证明 【例 1】证明 x ?

1 ? 2; x

【例 2】证明 x ? a ? x ? b ? a ? b ; 【例 3】已知 x ? 2a ? 3?, ? 3b ? ? ;证明 x ? y ? 2a ? 3b ? 4? y

考向三:如何求解含绝对值不等式的综合问题 从近两年的新课标高考试题可以看出,高考对《不等式选讲》的考查难度要求有 所降低,重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式, 题型为填空题或解答题. 【示例】? (本题满分 10 分)(2011· 新课标全国)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值. 第(2)问解不等式|x-a|+3x≤0 的解集,结果用 a 表示,再由{x|x≤-1} 求 a. [解答示范]

本题综合考查了含绝对值不等式的解法,属于中档题.解含绝对值的不 等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组) 进行求解.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如|x -a|+|x-b|>m 或|x-a|+|x-b|<m(m 为正常数),利用实数绝对值的几何意义求 解较简便. 【试一试】 (2011· 辽宁)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)证明:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集.

练习 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 .(Ⅰ)解不等式 f ( x) >2;(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值.

2.已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? a , g ( x) ? x ? 3 (Ⅰ)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集;
a 1 (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? ? ? , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围。 2 2


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