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广东省揭阳一中、潮州金中2016届高三上学期期中联考数学文试题


2015-2016 学年度第一学期期中两校联考 文科数学试卷 命题人:许丹敏 审核人:杨敏 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己 名、准考证号码填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设 i 是虚数单位,复数 z ? A.1 B. 的姓

2i ,则|z|=( 1? i
C. 3 D. 2



2

2.命题 "?x ?[1, 2], x2 ? a ? 0" 为真命题的一个充分不必要条件是(

)

A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 5 3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则 图中的 m, n 的比值 A.1

m =( n 1 B. 3

) C.

2 9

D.

3 8

4 .已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3, Sn ? Sn?3 ? 51(n ? 3), Sn ? 100 则 n 的值为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 )

5. 在 ?ABC 中 ,若 | AB |? 4, | AC |? 3, AB ? AC ? ?6, 则 ?ABC 的面积为(

A

3 3 2

B 3

C

3 2
?

D 3 3
2 2

6.若直线 l : ax ? by ? 1 ? 0,(a, b ? R ) 始终平分圆 M : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 的周长, 则 A.2 B.4 C.8 D.10 7.阅读右边的程序框图,输出的结果 s 的值为( ) A.0 B.

1 2 ? 的最小值为 ( ) a b

3 2

C. 3

D. ?

3 2

8. 等比数列 ?an ? 满足 an ? 0, n ? N? , 且 a3 ? a2n?3 ? 32n (n ? 2), 则当 n ? 1

时, log A.

3

a1 ? log 3 a2 ??? log 3 a2n?1 ? (
B. 2(2n2 ? n) C.

) D. 2n ? n
2

n(2n ? 1) 2

n2 2

9.已知两圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 169, C2 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 9 , 动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切, 和圆 C2 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )

x2 y 2 ? ?1 A. 64 48

x2 y 2 ? ?1 B. 48 64

x2 y 2 ? ?1 C. 48 64

x2 y 2 ? ?1 D. 64 48
)

10.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ?

? 2 ? C. 8 ? 6

B. 8 ? D. 8 ?

2? 3

? 3

11. 已知函数 f ( x) ? sin(2x ? ? )? ,则 ? 的一个可能值是( ) A

f (? x) ? 满足 2015 3 cos(2 x?? )

1 ? ?? ,且 f ( x ) 在 ?0, ? 上是减函数 f ( x) 2015 ? 4?

? 3

B

2? 3

C

4? 3

D

5? 3
f ( x) ?0, x

12. 已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 若a ?

1 1 1 1 f ( ), b ? ?3 f (?3), c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小关系正确的是( ) 3 3 3 3
B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题 ~ 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.已知平面向量 a ? (2,?1),b ? (m,2) ,且 a // b ,则 3a ? 2b ? 14.函数 y ? lg(4 x ? x ) 的单调递减区间为
2

? 2x ? y ? 0 ? 15.若变量 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x?0 ?
2

,则 2

x? y

的最大值为

.

1 ? ? x ? , ( x ? 0) 16.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x, g ( x) ? ? ,若方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 有 4 个实数根, 4x ? ? x ? 1, ( x ? 0)
则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题:共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 (b ? 2a) cos C ? c cos B ? 0 . (1)求角 C ;(2)若 c ? 2, S?ABC ? 3 , 求边长 a , b 的值. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (1)设 bn ?

1 ? ,其中 n ? N . 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 {bn } 是等差数列,并求出 {an } 的通项公式;

(2)设 cn ?
?

4an 1 ,数列 {cncn?2 } 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 对 n ?1 cm cm?1

于 n ? N 恒成立?若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 4 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60 的
?

菱形, M 为 PC 的中点. (1)求证: PC ? AD (2)求点 D 到平面 PAM 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

y 2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴长为 2 2 2 a b 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O : x ? y ? 5 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率, 判断两切线斜率之积是否为
2 2

定值,若是,求出定值,若不是定值,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? (? x ? ax ? 3)e ,( a 为实数).
2 x

(1)当 a =5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)若存在两不等实根 x1, x2 ? ? , e ? ,使方程 g ( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. e
x

?1 ? ? ?

选做题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 — 1 :几何证明选讲. 如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B, C 两点,且 AB ?

1 AC , 3

作直线 AF 与圆 E 相切于点 F ,连接 EF 交 BC 于点 D ,己知圆 E 的半径为 2 ,

?EBC ? 30? . (1)求 AF 的 长 . (2)求证: AD ? 3ED .
23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为?

? ? x ? 3cos ? (? 为参数),以原点O 为极点,以 x 轴正 半 轴为 极 轴,建立极 y ? sin ? ? ?

坐 标 系,曲 线C2 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 4 2 [来源:Zxxk.Com]

(1) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程. (2) 设 P 为曲线 C1 上的动点,求点P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 坐标. 24. ( 本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ?| x ?

5 | ? | x ? a |, x ? R . 2 1 (1)求证:当 a ? ? 时,不等式 ln f (x )? 1 成立 . 2

⑵关于 x 的不等式 f ( x) ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 的最大值.

2015-2016 学年度第一学期期中两校联考文科数学试卷答案 1~12 BCDCDC 13. (-2,1)

ABDDBC
14. (2,4) 15. 8 16. ? ? , ?1?

? 5 ? 4

? ?

17. 解:(1)由已知及正弦定理得: (sin B ? 2sin A) cos C ? sin C cos B ? 0

sin B cos C ? cos B sin C ? 2sin A cos C ,

sin( B ? C ) ? 2sin A cos C ,
∴ sin A ? 2sin A cos C . 又 sin A ? 0 ,得 cos C ? (2) ∵ C ? ……4 分

?
3

1 . 2

又 C ? (0, ? ) ,∴ C ?

?
3

.

……6 分

,c ? 2

∴ S?ABC ?

1 3 ab sin C ? ab ? 3 ,∴ ab ? 4 2 4
2 2 2 2 2

……8 分

由余弦定理 a ? b ? c ? 2ab cos C 得 a ? b ? 8 由上解得 a ? 2, b ? 2 18. 解:(1)∵ bn ?1 ? bn ?

……10 分 ……12 分

2

2an?1 ? 1 2an ? 1

?

2

=?

4an 2 2 2 ? ? ? ? 2 (常数), 1 2 a ? 1 2 a ? 1 2 a ? 1 n n n 2(1 ? ) ?1 4an
……3 分

∴数列{bn}是等差数列. ∵ a1 =1,∴ b1 =2, 由 bn ? 因此 bn =2+(n-1)×2=2n,

2 2an ? 1

得 an ?

n ?1 . 2n

……5 分

(2)由 cn ? ∴ cn cn ? 2 ?

4an 2 n ?1 , an ? 得 cn ? , n n ?1 2n

……6 分

4 1 1 ? 2( ? ) n(n ? 2) n n?2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ???? ? ) ? 2(1 ? ? ? ) ? 3 ……8 分 3 2 4 3 5 n n?2 2 n ?1 n ? 2 m( m ? 1) 1 1 ? ? 3 ……10 分 对于 n ? N 恒成立,只需 ? 3 ,即 4 cm cm?1 cm cm?1
……12 分

∴ Tn ? 2(1 ?

依题意要使 Tn ?

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,又 m 为正整数,所以 m 的最小值为 3. 19. 解: (Ⅰ)证法一:取 AD 中点 O,连结 OP,OC,AC, 依题意可知△PAD,△ACD 均为正三角形, 所以 OC⊥AD,OP⊥AD,又 OC∩OP=O,OC ? 平面 POC,OP ? 平面 POC, 所以 AD⊥平面 POC,又 PC ? 平面 POC, 所以 PC⊥AD. ……6 分 证法二:连结 AC,依题意可知△PAD,△ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM⊥PC,DM⊥PC, 又 AM∩DM=M,AM ? 平面 AMD,DM ? 平面 AMD, 所以 PC⊥平面 AMD, 又 AD ? 平面 AMD,所以 PC⊥AD. ……6 分 (Ⅱ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO⊥AD,又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO ? 平 面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD,即 PO 为三棱锥 P-ACD 的高. 在 Rt△POC 中,PO=OC= 2 3 , PC= 2 6 在△PAC 中,PA=AC=4,PC= 2 6 , 边 PC 上的高 AM= PA2 ? PM 2 ? 10 所以△PAC 的面积 S △ P A C = 又△ACD 的面积 S △ A C D

……8 分

1 1 PC ? AM ? ? 2 6 ? 10 ? 2 15 2 2 1 1 AD ? OC ? ? 4 ? 2 3 ? 4 3 = 2 2

……10 分

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h, 由 VD-PAC=VP-ACD 得 S ?PAC ? h ?

1 3

1 S?ACD ? PO 3

得 h=

4 15 5

所以点 D 到平面 PAM 的距离为

4 15 5

……12 分

20. 解: b ?

2.

? c 3 ? ? 由题意得 ? a 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

又b ?

2 ,∴ a2 ? 3, b2 ? 2 .
y 2 x2 ? ? 1. 3 2
……4 分 ……5 分

∴椭圆 E 的方程为

(2)证明:设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 y-y0=k(x-x0), 整理得 y=kx+y0-k x0, 联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得

? y ? kx ? y0 ? kx0 ? 2 2 消去 y 得 2[kx+(y0-kx0)] +3x -6=0, ……7 分 ? y 2 x2 ? ?1 ? 2 ? 3
整理得(3+2k )x +4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0) -6=0, ∵l0 与椭圆 E 相切, 2 2 2 ∴Δ =[4k(y0-kx0)] -4(3+2k )[2(kx0-y0) -6]=0, 2 2 2 整理得(2-x0)k +2x0y0k-(y0-3)=0, 设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1,k2, y0-3 则 k1k2=- 2. 2-x0 ∵点 P 在圆 O 上,∴x0+y0=5, 5-x0-3 ∴k1k2=- 2 =-1. 2-x0
2 2 2 2 2 2 2

……9 分

∴两条切线斜率之积为 常数-1.
2 x

……12 分

21. 解:(1)当 a=5 时,g(x)=(-x +5x-3)e ,g(1)=e. 2 x 又 g′(x)=(-x +3x+2)e , 故切线的斜率为 g′(1)=4e. 所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即 y=4ex-3e.
x

……4 分

3 3 2 (2) 由 g ( x) ? 2e f ( x) ,可得 2xlnx = - x +ax - 3 ,即 a = x ? 2 ln x ? , 令 h( x ) ? x ? 2 ln x ? , ,则 x x

h '( x) ? 1 ?
因为

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ? ? , x x2 x2
x h’(x) h(x) (

……6 分 [来源:Z_xx_k.Com]

1 ,1) e
0

1

(1,e) + 单调递增

单调递减

极小值

由上表可知,h(x)在 x=1 有极小值,也是最小值,h(1)=4,最大值为 h(

1 ),h(e)中的较大者, e

1 1 3 )= ? 3e ? 2 ,h(e)= ? e ? 2 , e e e 1 2 由 h(e)- h( )= 4 ? 2e ? <0 e e
h( 结合图象可知实数 a 的取值范围为 4 ? a ?

…… 10 分

3 ?e?2 e

…… 12 分

选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分. 22.解析 (1) 延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM ,则 ?BCM ? 90 ,
?

又 BM ? 2BE ? 4 , ?EBC ? 30? ,所以 BC ? 2 3 ,

AB ?


1 1 AC AB ? BC ? 3 3 2 ,可知 .
2

所以根据切割线定理 AF ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,即 AF ? 3 . (2)过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 ?EDH 与 ?ADF 相似,

(5 分)

ED EH 1 ? ? AF 3 ,因此 AD ? 3ED . 从而有 AD
23.解(1) 对于曲线

(10 分)

C1



? x ? cos ? ? ? 3 x x2 ( )2 ? y 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? y2 ? 1 ? y ? sin ? C1 ? 3 ? 3 ,即 的方程为: ;
C2

? 2 ? sin(? ? ) ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 2


对于曲线

4

2

? ? cos ? ? ? sin ? ? 8
(5 分)

? x ? y ? 8 ? 0 ,所以 C2 的方程为 x ? y ? 8 ? 0 .
(2) 显然椭圆

C1

与直线

C2

无公共点,椭圆上点 P( 3 cos ? ,sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为:

| 2sin(? ? ) ? 8 | | 3 cos ? ? sin ? ? 8 | 3 d? ? 2 2 ,
sin(? ?


?

?
3

) ?1

3 1 ( , ) 时, d 取最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 2 2 .

(10 分)

1 ? x?? ? ?2 x ? 2 2 ? 5 1 ? 1 5 ? ?x? 24 解 (1) 证明:由 f ( x) ?| x ? | ? | x ? |? ? 3 2 2 ? 2 2 5 ? x? ? 2x ? 2 2 ?
由图得函数 f ( x) 的最小值为 3,从而 f ( x) ? 3 ? e ,所以 ln f ( x) ? 1 成立. (5 分)

5 5 5 f ( x) ?| x ? | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a ) |?| a ? | 2 2 2 , (2) 由绝对值的性质得
5 5 5 5 | ? a |? a | ?a| a? f ( x ) 4 ,因此 a 的最大值为 4 . (10 分) 所以 最小值为 2 ,从而 2 ,解得


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