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2.2函数的值域与最值(苗真瑜)


2.2 函数的值域与最值
一、知识能力目标
1、理解函数值域的意义 2、掌握常见题型求值域与最值的方法

二、主要知识
1、值域的定义:函数值的集合叫做值域 2、求值域与最值的常见方法 (1)配方法 (2)逆向法 (3)换元法 (4)判别式法 (5)不等式法 (6)数形转换法 (7)单调性法 (8)导数法

三、典型例题
题型一:配方法 例 1 求下列函数的值域 (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ; (2)设 x 、 y ? R ,求 u ? x2 ? xy ? y 2 ? x ? 2 y ? 3

解: (1)? y ? 3 x ? x ? 2 ? 3( x ? ) ?
2 2

1 6

23 23 ? , 12 12

∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 [
2 2 2

23 , ?? ) 12

(2) u ? x ? ( y ?1) x ? y ? 2 y ? 3

? [ x 2 ? ( y ? 1) x ?
? ( x2 ?

( y ? 1)2 ( y ? 1)2 ] ? y2 ? 2 y ? 3 ? 4 4

y ?1 2 3 2 ) ? ( y ? 2 y ? 1) ? 2 2 4 y ? 1 3 ? ( x2 ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ? 2 2 4
当 x ? 0 , y ? 1 时等号成立,所以函数的最小值为 2 随堂练习 1:求 y ? x ? 2 xy ? 3 y ? 4 y ? 6 的值域
2 2

题型二:逆向法

例 2 求下列函数的值域 (1) y ? (3) y ?

2sin x ? 1 2sin x ? 1

(2) y ? (4) y ?

3sin x ? 3 2 cos x ? 10
x ?1 x ? 2x ? 5
2

e x ? e? x e x ? e? x y ?1 2( y ? 1)
1 2

3 ( ?x? 2) 2

解: (1)由题意可得: sin x ?

?sin x ?[?1,1] 且 sin x ?

??1 ?

1 y ?1 ? 1 ,解得: y ? 3 ,或 y ? 3 2( y ? 1)

故所求的函数的值域为: (??, ] ? [3, ??) (2)? 2 cos x ? 10 ? 0 ? 3 sin x ? 2 y cos x ? 10y ? 3

1 3

? 9 ? 4 y 2 sin ? x ? ? ? ? 10 y ? 3 ,其中 tan ? ?
由 sin ?x ? ? ? ?

2y , 3

10y ? 3 9 ? 4y
2

和 sin?x ? ? ? ? 1



10y ? 3 9 ? 4y2

? 1. ? ?10y ? 3? ? 9 ? 4 y 2 ,整理得 8 y 2 ? 5 y ? 0 ,
2

所以 ?

5 ? 5 ? ? y ? 0 ,即原函数的值域为: ?? ,0? 8 ? 8 ?

(3)由已知得: x ?

1 1? y ln ,因为 x ? R 2 1? y

所以

1? y ? 0 ,解得 ?1 ? y ? 1 ,因此函数的值域为: (?1,1) 1? y
x ?1 2 整理得: yx ? (2 y ? 1) x ? 5 y ? 1 ? 0 x ? 2x ? 5
2

(4)由 y ?

当 y ? 0 时,有 x ? 1 不在定义域内,故 y ? 0

2 y ? 1 ? 1 ? 16 y 2 2 y ? 1 ? 1 ? 16 y 2 当 y ? 0 时,有 x1 ? , x2 ? ,两根至少有一个在 2y 2y

? 3 2 y ? 1 ? 1 ? 16 y 2 ? 3 2 y ? 1 ? 1 ? 16 y 2 ?2 ? ? ?2 ? ? 3 [ , 2] 之内,则有: ? 2 或 ?2 2y 2y 2 ? ? 2 2 ?1 ? 16 y ? 0 ?1 ? 16 y ? 0 2 1 ? y? 第一个不等式组无解,第二不等式的解为: 17 5 2 1 因此函数的值域为: [ , ] 17 5
随堂练习 2:求下列函数的值域 (1) y ?

x?2 ( x ? 6) x ?3

(2) y ?

sin x ? 2 cos x ? 2

题型三:换元法 例 3 求下列函数的值域 (1) y ? x ? 4 1 ? x ; (3) f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? x 2 解: (1)设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,
2

(2) y ? x ? 1 ? x 2 ; (4) y ? 2 x ?

x 2 ? 3x ? 2

∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ∴ y ? 5, ∴原函数值域为 (??,5] . (2)∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,
2

2 sin(? ? ) 4 ? ? 5? ] ∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ? ? [ , 4 4 4 ? ? 2 ∴ sin(? ? ) ? [? ,1] ,∴ 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] , 4 4 2 ∴原函数的值域为 [?1, 2] .
(3) f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? x ? 2 x ?
2

则 y ? cos ? ? sin ? ?

?

5 1 ? ( x ? )2 4 2

令x?

? ? 1 5 5 1 ? sin t , t ? [? , ] ,则 x ? sin t ? ,于是 2 2 2 2 2 2
1 5 5 cos t ? 1 ? sin(t ? ? ) ,其中 ? ? arcsin 2 2 5

f ( x) ? g (t ) ? 1 ? 5 sin t ?
因 t ? [?

? ?

, ] ,得 ? ? ? t ? ? ? ? ? ,因 ? 是一个锐角,所以 2 2 2 2

?

?

? 2 7 sin(? ? ) ? sin(t ? ? ) ? 1 ? ? ? sin(t ? ? ) ? 1 ? 1 ? 5 ? g (t ) ? 2 2 5
故函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? x 2 的值域为: [1 ? 5, ] (4)令 u ? 2 x , v ? 将v ?

7 2

x2 ? 3x ? 2 ? 0
u 代入得: 2

x2 ? 3x ? 2 两边平方并将 x ?
v ? 1(v ? 0) 1 4
2

v

(u ? 3) 2 ?

问题转化为点 (u , v ) 在曲线

0

u

(u ? 3) 2 ?

v2 ? 1(v ? 0) 上运动时 1 4

y ? u ? v 的取值范围,不难得到: y ? 3 ?

3 , 或y ? 4 2

所以函数的值域为: (??,3 ?

3 ] ? [4, ??) 2

注:形如 f ( x) ? mx ? n ? ax 2 ? bx ? c (a 2 ? b2 ? 0) 的函数被称为圆锥形无理函数,其值 域的求解皆可运用代数换元或三角换元来完成 (1)当 a ? 0 时为抛物线型,可令 t ? bx ? c (2)当 a ? 0 且 b ? 4ac ? 0 时为椭圆型,可仿照以上例题换元
2

(3)当 a ? 0 时为双曲型,可仿照以上例题换元 随堂练习 3: (1) y ? 3x ? 2 ? 4 x ?1 题型四:判别式法 例 4 求下列函数的值域 (1) y ? (2) y ? x ? 2 ? 1 ? 4 x 2

2 x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1
2

(2) y ?

2 x2 ? x ? 1 1 (x ? ) 2x ?1 2

解: (1)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R .

2 x2 ? x ? 2 得: ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1 ①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
由y?



②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实 根, ∴ ? ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 , ∴ 1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5] . (2)原式可化为: 2x2 ? (2 y ?1) x ? y ? 1 ? 0 ,方程在 ( , ??) 上至少有一个根 令 f ( x) ? 2x2 ? (2 y ?1) x ? y ? 1 则有

1 2

? 1 ? f ( 2) ? 0 ? 1 ? 2 y ?1 1 ? ,亦无解。 (I)恰有一个根时有: f ( ) ? 0 ,整理得: 1 ? 0 ,无解;或 ? 2 2 ? 4 ?? ? 0 ? ? ? 1 ? ? f ( 2) ? 0 ?1 ? 0 ? ? 1 1 ? 2 y ?1 1 ? ? (II) 有二个根时有: , 整理得: 得:y ? + 2 ? ?y ? 2 2 2 ? 4 ? ? ? 0 ? 1 1 ? y ? ? 2, 或y ? + 2 ? ? ? 2 2 ?
所以函数的值域为: [ 2 ?

1 , ??) 2

注:判别式法可以看成是逆向法的一种特殊情况 随堂练习 4:求 y ? 2 x ? 题型五:不等式法 例 5 已知实数 x 、 y 满足条件 1 ? x ? y ? 4 ,求函数 f ( x, y) ? x ? xy ? y 的最值
2 2 2 2

x 2 ? 3x ? 2 的值域

解:因为 xy ?

1 2 (x ? y2 ) 2
2 2

所以 f ( x, y ) ? x ? xy ? y ? 又因为 xy ? ?

3 2 ( x ? y 2 ) ? 6 ,当 x ? y ? 2 时“ ? ”成立 2

1 2 (x ? y2 ) 2
2 2

所以 f ( x, y ) ? x ? xy ? y ?

1 2 1 2 2 ( x ? y 2 ) ? ,当 x ? ,y?? 时“ ? ”成立 2 2 2 2

例 6 x 、 y 、 z 是不全为零的三个实数,求 u ? 解:引入两个正的参数 ? , ? ,则有

xy ? 2 yz 的最大值 x ? y2 ? z2
2

? 2 x 2 ? y 2? 2? x , y ? 2 y 2 ? z 2 ? 2? yz
y2 z2 2 所以 xy ? x ? , 2 yz ? ? y ? 2 2? ?
2

?

xy ? 2 yz ?

?
2

x2 ?

y2 z2 ? 1 z2 ? ? y2 ? ? x ? ( ? ? ) ? 2? ? 2 2? ?



?
2

?

1 1 2 5 ? ? ? ,解得: ? ? 5 , ? ? 2? ? 5

xy ? 2 yz ?

5 2 (x ? y2 ? z2 ) 2

1 2 ?? 2 x ? y ? 5 2? ?2 所以 u ? ,解方程组 ? 可得: x ? 1 , y ? 5 , z ? 2 1 2 2 2 ?? y ? z ? ? ?
此时 u ?

xy ? 2 yz 5 的最大值为 2 2 x ?y ?z 2
2

注: 这种利用待定系数法证明不等式的方法也非常见, 比如求函数:y ? x(a ? 2 x)(b ? 2 x) ,

b , a ? b ) 的最大值也可以使用待定系数法。 2 2 x2 ? x ? 1 1 ( x ? ) 的值域 随堂练习 5:求 y ? 2x ?1 2

( 0? x?

题型六:数形转换法 例 7 求下列函数的值域 (1) y ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x2 ? 4 x ? 6

( 2) y ?

x2 x?2

解: (1) y ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x2 ? 4 x ? 6 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 2

? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2
其几何意义为:点 ( x, 0) 到 (1,1) 与 (2, 2) 点的距离和。即 (1, ?1) 到 (2, 2) 的距离为最小

ymin ? 10 ,所以函数的值域为: [ 10, ??) 。
x2 x2 ? 0 ? x?2 x?2 其几何意义为:点 ( x, x 2 ) 与点 (2, 0) 所确定的直线的斜率的取值范围。 2 设直线的斜率为 k ,则直线的方程为: y ? k ( x ? 2) ,代入 y ? x2 得: x ? kx ? 2k ? 0 由 ? ? 0 ,得: k ? 0, 或k ? 8
(2) y ? 所以函数的值域为: (??,0] ? [8, ??) 随堂练习 6:求 y ? 题型七:单调性法 例 8、求函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 ? x 2 ? 2 x 的最小值 解:先求函数的定义域得: (??,0] ? [2, ??) 因为 2 x ? 3x ? 1 在 (??, 0] 上递减,在 [2, ??) 上递增
2

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 6x ? 13 的值域

所以, 2x2 ? 3x ? 1 在 (??, 0] 上递减,在 [2, ??) 上递增 同理, x2 ? 2x 在 (??, 0] 上递减,在 [2, ??) 上递增 所以 y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 ? x 2 ? 2 x 在 (??, 0] 上递减,在 [2, ??) 上递增 所以函数的最小值为 min{ f (0), f (2)} ? 1 例 9 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之 间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他 因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解: (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n ? 1) x ? m ,即 n ? 所以 y ? f ( x) ? 256n ? (n ? 1)(2 ? (Ⅱ) f '( x) ? ?

m ?1 x

x )x ?

256m ? m x ? 2m ? 256 x

256m x
2

1 3 m 3 2 ? mx ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x
3

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

当 0 ? x ? 64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x ? 64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 跟踪练习 7:a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 的值。

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

1 ,求 a 2

四、随堂练习
1、求下列函数的值域:
(1) y ? 4 ? 3 ? 2x ? x2 ; (2) y ? x ? 1 ? 2 x ;

(3) y ?

x2 ? x ? 1 ; 2 x2 ? 2 x ? 3

(4) y ? x ? 3 ? 5 ? x ;

2. 若函数 y ? f ( x) 的值域为 [ ,3] ,求函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 的值域 f ( x)

3、求函数 y ?

x2 ? 4 ? x2 ? 2 x ? 10 的的最小值

4、求函数 y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | 的值域

5、已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? 1 ? a ln x , a ? 0 x

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;
2 (Ⅱ)设 a ? 3 ,求 f ( x ) 在区间 ? ?1, e ? ? 上值域

五、参考答案
跟踪练习 1 解: y ? x2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? 4 y ? 6 ? x2 ? 2xy ? y 2 ? 2 y 2 ? 4 y ? 6 ? ( x ? y)2 ? 2( y ? 1)2 ? 4 当 x ? 1 , y ? ?1 时有最小值为 4

跟踪练习 2 解: (1)整理可得: x ?

8 3y ? 2 3y ? 2 ? 6 ,解不等式得:1 ? y ? ,由 x ? 6 可得: 3 y ?1 y ?1

函数的值域为: (1, ) (2) y cos x ? 2 y ? sin x ? 2 ,

8 3

sin x ? yc o s x ? ?2 y ? 2 , y 2 ? 1 s i nx ( ? ? ) ? ?2 y ? 2

∴ sin( x ? ? ) ?
?2 y ? 2 y ?1
2

?2 y ? 2 y2 ? 1

,而|sin( x ? ? )| ? 1
?4 ? 7 ?4 ? 7 ? y? 3 3

∴|

|? 1 ,解不等式得:

所以,函数的值域为: [

?4 ? 7 ?4 ? 7 , ] 3 3

跟踪练习 3 解:(1) y ? 3x ? 2 ? 4 x ?1 令t ?

x ?1 ,则 x ? t 2 ? 1 (t ? 0) ,则原函数可化为:

2 y ? 3(t 2 ? 1) ? 2 ? 4t ? 3t 2 ? 4t ? 5 ,其对称轴为 t ? ? ,所以在 [0, ??) 上为增函数 3
所以函数的值域为: [5, ??) (2) y ? x ? 2 ? 1 ? 4 x 2 令x?

1 ? ? sin t t ? [? , ] ,则 1 ? 4 x 2 ? 1 ? sin 2 x ? cos t 2 2 2

因为 t ? [ ?

? ?

, ] ,所以 cos t ? 0 ,所函数可化为: 2 2

? 1 5 5 2 5 , sin ? ? ,0 ?? ? y ? sin t ? cos t ? 2 ? sin(t ? ? ) ? 2 ,其中 cos ? ? 2 2 2 5 5
因为 t ? [ ?

? ?
?
2

, ] ,所以 t ? ? ? [? ? ? , ? ? ] 2 2 2 2
? ? 时取得最小值,此时 sin( ?

?

?

当t ?? ? ?

?
2

? ?) ? ? cos ? ? ?

5 5

t ?? ?

?
2

时,取的最大值,此时 sin

?
2

?1

所以,函数的值域为: [ , 2 ?

3 2

5 ] 2

跟踪练习 4 解:原式可化为: y ? 2 x ?

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,所以: y ? 2 x ? 0 , x ?

y 2

两边平方整理得: 3x2 ? (3 ? 4 y) x ? y 2 ? 2 ? 0 ,方程在 ( ?? ? 令 f ( x) ? 3x ? (3 ? 4 y) x ? y ? 2 则有
2 2

y ] 上至少有一个根 2

? y ? f (2) ? 0 ? y ?4y ? 3 y ? ,得 y ? 4 (1)恰有一个根时有: f ( ) ? 0 ,整理得: y ? 2, 或y ? 4 ;或 ? 2 2 ? 6 ?? ? 0 ? ? ? y ? ? f (2) ? 0 ?2 ? y ? 4 ? ? 3 ?4y ? 3 y ? ? ? ?y ? 3 ? 2 ? y ? 3? (2) 有二个根的时有: ? 2 2 ? 6 ? 3 3 ?? ? 0 ?y ? 3? , 或y ? 3 ? ? ? ? 2 2 ?

综上所述: y ? 3 ?

3 3 , 或y ? 4 ,所以函数的值域外为: (??,3 ? ] ? [4, ??) 2 2

跟踪练习 5

1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 解: y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2 1 1 1 1 1 1 ∵ x ? ,∴ x ? ? 0 ,∴ x ? ? 2 ? 2 ( x ? ) 2 ? 2 ,当且仅当 2 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2 1 1? 2 1 时等号成立. x ? ? 2 时,即 x ? 2 2 x?1 2 1 1 ∴ y ? 2 ? ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) 2 2
跟踪练习 6
2 解:对 x ? 2 x ? 2 ?

( x ? 1) ? ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2

联想到两点的距离公式,它表示点(x,1)到(1,0)的距离

x 2 ? 6 x ? 13 ? ( x ? 3) 2 ? (1 ? 3) 2 表示点(x,1)到点(3,3)的距离
于是 y ? 、 (3,3)的 x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 6x ? 13 表示动点(x,1)到两个定点(1,0)

距离之和,易得 ymin ? 13 ,所以函数的值域为: [ 13, ??)

跟踪练习 7 解:由 a ? 1 ,所以函数 f ( x) ? log a x 在定义域上为增函数 所以区间 [a, 2 a] 上的最大值与最小值之分别为 loga 2a , loga a ? 1

log a 2a ? log a a ? log a 2 ?
随堂练习 1、解: (1)

1 2

∴ log a 2 ?

1 , a ? 4。 2

y ? 4 ? ?( x ? 1)2 ? 4

, ∴ 2 ? 4 ? ?( x ? 1)2 ? 4 ? 4

2 ∵ 0 ? ?( x ? 1) ? 4 ? 4 , ∴ 0 ? ?( x ? 1)2 ? 4 ? 2

∴所给函数的值域为[2,4] (2)令 1 ? 2 x ? t ( t ? 0 ),则 x= ∴ y?

1? t2 . 2

1 1? t2 ? t ? ? (t ? 1)2 ? 1 ,当 t ? 1 时, ymax ? 1 2 2 ∴所给函数的值域为(-∞,1 ] .
(3)由已知得: (2 y ? 1) x2 ? (2 y ? 1) x ? (3 y ? 1) ? 0 ????(*) ①当 2 y ? 1 ? 0 时, y ?

1 1 ,代入(*)式,不成立,∴ y ? . 2 2

②当 2 y ? 1 ? 0 时,则:

1 ? 1 ? ?y ? 2 3 1 ?y ? ? ?? ? ? y? 2 ? 2 ?? ? (2 y ? 1) 2 ? 4(2 y ? 1)(3 y ? 1) ? 0 ? 3 ? y ? 1 10 ? ?10 2 ? 3 1 ∴ 所给函数的值域为 [ , ) . 10 2
(4)由 ?

?x ? 3 ? 0 得3? x ?5 ?5 ? x ? 0

∴函数定义域为[3,5]

又? y 2 ? 2 ? 2 ( x ? 3)(5 ? x) ? 2 ? 2 1 ? ( x ? 4)2
当 x ? 4 时, y 2 max ? 4 ,当 x ? 3或5 时, y 2 min ? 2 ∴ 2 ? y2 ? 4

?y ?0

∴ 2? y?2

∴ 所给 函数的值域为[ 2 , 2] 2、解:令 t ? f ( x) ,由于函数 y ? f ( x) 的值域为 [ ,3] ,即 从而 y ? f ( x) ?

1 2

1 ? t ? 3, 2

1 1 ?t? f ( x) t

1 t 1 当 t ?[1,3] 时, y ? t ? 为关于 t 的增函数; t

当 t ? [ ,1] 时, y ? t ? 为关于 t 的减函数;

1 2

所以当 t ? 1 时, y 有最小值为 2,而又因为当 t ? 3 时, y 有最大值为 所以,函数的值域为 [2, 注:函数 y ? x ?

10 , 3

10 ] 3

a (a ? 0) 在: x
(2)在 [? a ,0) 上为减函数 (4) [ a , ??) 上为减函数

(1)在 (??, ? a ] 上为增函数 (3) (0, a ] 上为减函数

3、解: y ?

x 2 ? 4 ? x 2 ? 2 x ? 10 ? ( x ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2

其几何意义是: ( x, 0) 这个点到点 (0, 2) 与到点 (?1,3) 的距离和 所以,函数的最小值为 (0, ?2) 到 (?1,3) 的距离,经计算得最小值为: 26

4、解: 5、解:(1)由于 f ( x) ? 1 ? 令t ?

2 a ? x2 x
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

1 得y ? 2t 2 ? at ? 1(t ? 0) x
2

①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) ? 0 恒成立.

? f ( x) 在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时
2

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

由 2t ? at ? 1 ? 0 得 t ?
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或t ? 4 4

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或x ?0或x? ?0 ? x ? 4 4
又由 2t ? at ? ? 0 得
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ?t ? ? ?x? 4 4 2 2

综上①当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (??,0)及(0, ??) 上都是增函数. ②当 a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 上是减函数, 2 2

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 在 (??, 0)(0, )及( , ??) 上都是增函数. 2 2
(2)当 a ? 3 时,由(1)知 f ( x ) 在 ?1, 2? 上是减函数.
2 在? ? 2, e ? ? 上是增函数.

又 f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln2 ? 0 f (e ) ? e ?
2 2

2 ?5 ? 0 e2

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2 ? ? 2 2 ? 函数 f ( x) 在 ? ?1, e ? ? 上的值域为 ? 2 ? 3l n 2, e ? e2 ? 5? ? ?

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