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导数 练习题


导数的概念、几何意义——基础达标

?限时20分钟?

1.一物体运动的方程是 s=2t2,则从 2 s 到(2+d) s 这段时间内位移的增量 为 A.8 C.8d+2d A.2 C.6+6d+2d2
2 3

1 7.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的方程为 s= t2,则 t 8 =2 时,此木块水平方向的瞬时速度为( ( ). A.2 1 C. 2 ( ). A.(-1,-8) C.(1,12)或(-1,8)
2

). B.1 1 D. 4 ). B.(1,12) D.(1,7)或(-1,-1)

B.8+2d D.4d+2d B.4 D.6
2

2.已知曲线 y=2x 上一点 A(1,2),则 A 处的切线斜率等于

8.如果曲线 y=x3+x+10 的一条切线与直线 y=4x+3 平行,则切点坐标为(

3? 1 3.已知曲线 y= x2-2 上的一点 P? ?1,-2?,则过点 P 的切线的倾斜角 2 为 A.30° C.135° (1)t=2 到 t=2.1; (2)t=2 到 t=2.01; (3)t=2 到 t=2.001. 则三个时间段内的平均速度分别为________,________,________,估计该物体在 t=2 时 的瞬时速度为________. 5.若曲线 y=x2+1 在曲线上某点处的斜率为 2,则曲线上该切点的坐标为________. 6.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时,需在 2 s 内完成刹车,其位移(单位:m)关于 时间(单位:s)的函数为:s(t)=-3t3+t2+20,求: (1)开始刹车后 1 s 内的平均速度; (2)刹车 1 s 到 2 s 之间的平均速度; (3)刹车 1 s 时的瞬时速度. B.45° D.165° ( ).

9.已知抛物线 f(x)=x +1, 则过(0,0)点的曲线的切线的斜率为________. f?x0+Δx?-f?x0? f?x0-Δx?-f?x0? 10.已知 a 是 当 Δx 趋于 0 时的极限,b 是 当 Δx 趋于 0 时的 Δx Δx f?x0+2Δx?-f?x0? f?x0+Δx?-f?x0-Δx? 极限,c 是 当 Δx 趋于 0 时的极限,d 是 当 Δx 趋于 0 时的极 Δx 3Δx f?x?-f?x0? 限,e 是 当 x 趋于 x0 时的极限,则 a,b,c,d,e 有相等关系的是________. x-x0 11.若曲线 y=x3 存在与 y=x 平行的切线,试求出该切线方程与切点坐标.

4.已知某个物体走过的路程 s(单位:m)是时间 t(单位:s)的函数:s=-t2+1.

12.(创新拓展)求函数 y=x2+x-2 图象上的点到直线 l:y=x-4 的距离的最小值及相应点 的坐标.

基础达标 综合提高 ?限时25分钟?

?限时20分钟? ( ).

1.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线
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A.不存在 C.与 x 轴垂直

B.与 x 轴平行或重合 D.与 x 轴斜交 ( ).

→0 7.若 f(x)在 x=x0 处的导数存在,则hlim A.2f′(x0)

f?x0+h?-f?x0-h? 等于 2h

(

).

2.已知函数 y=f(x)的图象如图,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是 A.f′(xA)>f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) D.不能确定

1 B. f′(x0) 2 D.4f′(x0) ( ). B.f(x)=x
3

C.f′(x0) A.f(x)=3x C.f(x)=x +x
2

8.若 f(x)在 x=1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式不可以是 D.f(x)=2(x-1)2

9.设函数 f(x)=ax+5,若 f′(1)=2,则 a=________. 10.对于函数 y=x2 来说,其导数值等于原来的函数值的点是________. 3.已知曲线 y=2x2 上一点 A(2,8),则在点 A 处的切线斜率为 A.4 C.8 B.16 D.2 11.曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,求斜率最小的切线方程. ( ).

4 . 抛 物 线 y = x2 + x + 2 上 点 (1,4) 处 的 切 线 的 斜 率 是 ________ , 该 切 线 方 程 为 ________________. 5. 若曲线 y=x2-1 的一条切线平行于直线 y=4x-3, 则这条切线方程为________________. 12. (创新拓展)在单位时间内通过导体在某一横截面的电量称为电流强度. 若在规定时间段 内,通过该截面的电量 q=f(t). 6.求垂直于直线 2x-6y+1=0 并且与曲线 y=x3+3x2-5 相切的直线方程. (1)试给出在 t0 时刻通过该截面的瞬时电流强度的定义; (2)若 f(t)=t2+3t,试求在 t0 时刻通过该截面的瞬时电流强度.

综合提高 ?限时25分钟?
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导数的计算——基础达标 ?限时20分钟?

1 1.若 f(x)= ,则 f′(-2)等于 x 1 A. 4 1 C.- 2 为 A.(1,1) C.(1,1)或(-1,-1) A.c C.ex
4

( B.0 1 D.- 4 ( B.(-1,-1) D.(2,8) (

).

C.cos x

D.-cos x

1 9.已知 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b=____________. 2 1 10.若函数 f(x)= x3-f′(-1)· x2+x+5,则 f′(1)=________. 3 11.求下列函数的导数: (1)f(x)=ln 5;

2.已知函数 y=x3 上一点 P 处的切线 l 的方程为 y=3x-2,那么点 P 的坐标 ).

x x (2)f(x)=cos2 -sin2 ; 2 2 (3)f(x)=lg x; (4)f(x)=cos xtan x; x x 1 tan -cot ?. (5)f(x)= ? 2? 2? 2 12.求过点(1,1)且和曲线 y=x3 相切的直线方程.

3.不恒为零的函数 f(x)满足 f′(x)=f(x),则 f(x)可能是 B.x
e

).

D.ln x

4.曲线 y=x 在点 P(2,16)处的切线方程是____________. 1 5.曲线 y= 和 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是________. x 4 6.已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离等于 17,求直线 l 的方程. x

基础达标

?限时20分钟? ( ).

π? π 1.f(x)=sin x-cos x,则 f′? ?3?和[f(3)]′分别为 A. 综合提高 ?限时25分钟? 1 7.若 f(x)=logax,且 f′(2)= ,则 a 等于 2ln 3 A.2 C.4 B.3 D.6 ( A.sin x B.-sin x ). ( ). C. 3+1 ,0 2 3+1 3+1 , 2 2 B. D. 3+1 3-1 , 2 2 3+1 ,1 2

2.下列求导运算正确的是 1 1 x+ ?′=1+ 2 A.? x ? ? x
2 C.(x cos x)′=-2xsin x

( B.(log2x)′= 1 xln 2

).

8.若 f0(x)=cos x,f1(x)=f′(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则 f2011(x)等于

D.(3x)′=3xlog3e ( ).

π? 3.设 f(x)=xcos x+3x2,则 f′(0)+f′? ?2?等于
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5π A.1+ 2 7π C.1+ 2

B.3π-1 D.3π+1

4.若 f(x)=(2x+a)2,且 f′(2)=20,则 a=________. 5.设 f(x)=x2(x-1),当 x=x0 时 f′(x0)=f(x0),则 x0=________. 6.在曲线 y=x +x-1 上求一点 P,使过点 P 的切线与直线 4x-y=0 平行.
3

x+9 12.(创新拓展)求经过原点且与曲线 y= 相切的切线方程. x+5

综合提高 ?限时25分钟? 2 7.一点 P 在曲线 y=x3-x+ 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 α,则 α 的范围为 3 ( π? A.? ?0,2? 3π ? C.? ? 4 ,π? 8.函数 y=x3cosx 的导数为 A.3x cos x+x sin x C.3x cos x
2 2 3

).

π? ?3π ? B.? ?0,2?∪? 4 ,π? π 3π? D.? ?2, 4 ? ( B.3x cos x-x sin x D.-x3sin x 函数的单调性与导数——基础达标 ?限时20分钟?
2 3

).

2x 9.曲线 y= 2 在点 P(1,1)处的切线方程为________. x +1 10.(2011· 山东高考)曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标为________. 11.求下列函数的导数: x-1 (1)y= ; x+1 x x (3)y=sin4 +cos4 ; 4 4 3x -x x+5 x-9 (2)y= ; x 1+ x 1- x (4)y= + . 1- x 1+ x
2 3

1.已知 f(x)的定义域为[0,1],且当 x∈[0,1]时 f′(x)>0,则下列关系式一定成立的是 ( A.f(0)<0 C.f(1)>f(0) 2.函数 f(x)=xln x 的单调减区间为 1 ? A.? ?e,+∞? 1? C.? ? 0, e ? ). B.f(1)>0 D.f(1)<f(0) ( ). 1? B.? ?-∞,e? D.(e,+∞)

第 4 页 共 4 页

3.设 f′(x)是 f(x)的导函数,y=f′(x)图象如图,则 y=f(x)图象可能 是 ( ).

ax2-1 10.函数 f(x)= 在(0,+∞)上递增,则 a 的范围为________. x 2 11.已知函数 f(x)=x2+ +aln x(x>0),若 f(x)在[1,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围. x

4.函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________,增区间为________. 5 . 函 数 f′(x) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f(x) 的 减 区 间 为 ________ , 增 区 间 为

________. 6.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-x; (2)f(x)=ex-x+1. 12.(创新拓展)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

函数的极值与导数——基础达标 综合提高 ?限时25分钟? 7.下列各选项中的函数,在定义域上为减函数的是 A.f(x)=x3+x C.f(x)=sin x-x A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1)
3 2 2

?限时20分钟?

1.对于函数 y=1+3x-x3 来说,有 ( ). A.极小值-1,极大值 1 C.极小值为-2,极大值 2

(

).

B.极小值-2,极大值 3 D.极小值为-1,极大值 3

1 B.f(x)= x D.f(x)=-x2x ( ). B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

8.对于 R 上的可导函数 f(x)来说,若(x-1)f′(x)>0,则必有

2.若 f(x)的定义域为(a,b),f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 f(x)在(a,b)内极小值的 个数为 A.1 个 C .3 个
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( B.2 个 D.4 个

).

9.若函数 f(x)=x -px +2m -m+1 在区间(-2,0)上单调递减,且在区间(-∞,-2)及(0, +∞)内单调递增,则实数 p=________.

3.已知函数 f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d 过点(0,3),且函数在 x=1 处有极值,则 c,d 的值分别为 A.0,2 C.1,2 B.0,3 D.1,3 ( ).

9.函数 f(x)=x+2cos x(-π<x<π)的单调递减区间是________;单调递增区间________;极 小值点是________;极大值点是________. 10.若函数 f(x)=x4+ax3+2x2+b 仅在 x=0 处存在极值,则 a 的取值范围为________.

x2+a 4.已知函数 f(x)= 在 x=1 处取得极值,则 a=________. x+1 5.若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的范围为________. e ,其中 a 为正实数. 1+ax2
x

11.(2011· 全国卷)已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). (1)证明:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2); (2)若 f(x)在 x=x0 处取得极小值,x0∈(1,3),求 a 的取值范围.

6.(2011· 安徽高考)设 f(x)=

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点. 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

12.(创新拓展)已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx-2 的图象与 x 轴交点处的切线方程是 y=5x- 10. (1)求函数 f(x)的解析式; 1 (2)设函数 g(x)=f(x)+ mx,若 g(x)的极值存在,求实数 m 的取值范围,以及函数 g(x)取得 3 极值时对应的自变量 x 的值. 函数的最值与导数——基础达标 综合提高 ?限时25分钟? 7.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下列图 象不可能为 y=f(x)的图象是( ). ?限时20分钟? ).

1. 三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图, 则它的导函数 f′(x)的图象最可能是(

3 5 - , ?时,函数 f(x)的最小值为 2.已知函数 f(x)=x3-3x+3,当 x∈? ? 2 2? 8.(2011· 福建高考)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 A.2 C.6 B.3 D.9
第 6 页 共 6 页
3 2

(

).

33 A. 8 C .1

B.-5 89 D. 8 ( ).

(

).

3.函数 f(x)=ax3-2x 在[2,8]上是减函数,则

1 A.a= 3 1 C.a≤ 96

B.a=0 D.a<0 11.已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

4.f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m=________.

5.若函数 f(x)=x +ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围为________. 1 6.设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若 y=f′(x)的图象关于直线 x=- 对称,且 2 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

3

(2)当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间.

1 1 12.(创新拓展)设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 综合提高 ?限时25分钟? 7.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小 值是 A.-37 C.-5
3 2

2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ( ). 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

B.-29 D.以上都不对 ( ). 4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 D.极大值为 0,极小值为- 27

8.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 C.极大值为- ,极小值为 0 27

9.函数 f(x)=x3-mx2+m-2 的单调递减区间是(0,3),则 m=________. 10.如图为函数 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 的图象, f′(x) 为函数 f(x) 的导函数,则不等式 x· f′(x)<0 的解集为________.
第 7 页 共 7 页

优化问题——基础达标

?限时20分钟?

综合提高 ?限时25分钟? 7.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元, x ? ?-900+400x,0≤x≤390, 若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 则当总利润最大时, ? ?90 090,x>390, 每年生产产品的单位数是 A.150 C.250 ( ). B.200 D.300 ( ).
3

1 1.已知某生产厂家的年利润 y(万元)与年产量 x(万件)的函数关式为 y=- +81x-234,则 3 使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A.13 万件 C.9 万件 为 R 3R A. 和 2 2 4R 7R C. 和 5 5 5R 4 5R B. 和 5 5 4R 4 5R D. 和 5 5 B.11 万件 D.7 万件 ( ).

2.已知一矩形内接于半径为 R 的半圆,则矩形周长最大时的边长

8.如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起, 做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的容积最大时底面边长为 ( ).

1 A. 3

2 B. 3

C .1

4 D. 3

9.建造一个总体积一定的圆柱形锅炉,若两个底面的材料每单位面积的造价为 a 元,侧面 的材料每单位面积的造价为 b 元,当造价最低时,锅炉的直径与高的比值为________. 3.制作一个母线长为 20 cm 的圆锥形漏斗,要使其体积最大,则其高应 为 20 3 A. cm 3 C.20 cm B.100 cm 20 D. cm 3 ( ). 10.将边长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形, ?梯形的周长?2 记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积

4.将正数 a 分解为两个正数的和,使这两个正数的立方和为最小,则这两个正数分别为 ________和________. 5.设气球以每秒 36π cm3 的常速注入气体,假设气体压力不变,那么在 8 秒末气球半径的 增加速度为________. 11.请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影 6.用总长 14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边 长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中 的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角 形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面 边长的比值.
第 8 页 共 8 页

12.(创新拓展)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间 80π 为圆柱形,左右两端均为半球形按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设该容器的 3 建造费用仅与其表面积有关, 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半圆形部分每平方米 建造费用为 c(c>3)千元.该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

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