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2016届高考数学一轮复习 10.4 二项式定理及其应用练习 理


第四节
题号 答案 1 2 3

二项式定理及其应用
4 5 6 7 8

5 ? 2 2? 1.(2013·江西卷)?x - 3? 展开式中的常数项为( x? ? A.80 B.-80 C.40 D.-40 解析:Tr+1=C5(x )
r 2 5-r

)

?- 2

3? =(-2)rCrx10-5r,令 10- 5r=0 得 r=2. ? x? 5 ? ?
2 2

r

所以有常数项为 T3=C5(-2) =40. 答案:C 5 ? 2 1? 2.在?2x - ? 的二项展开式中,x 的系数为( x? ? A.10 B.-10 C.40 D.-40 解析:因为 Tk+1=C5(2x )
3 3 2 k 2 5-k

)

?-1? =(-1)kCk25-kx10-3k,令 10-3k=1,即 k=3,此时 x ? x? 5 ? ?

k

的系数为(-1) C52 =-40.故选 D. 答案:D 3.(2013·北海质检)设(x+2)(2x+3) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +…+a11(x+2) , 则 a0+a1+a2 +…+a11 的值为( A.0 B.1 C.6 D.15 解析:令 x=-1,则 1=a0+a1+a2+…+a11,故选 B. 答案:B n ? 2 2? 4.如果?3x - 3? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( x? ? A.3 B.5 C.6 D.10 n-r r r 2 ? 2? r r n-r 2n-5r 解析:由展开式通项有 Tr+1=Cn(3x ) ·?- 3? =Cn·3 ·(-2) ·x . ? x? 5 由题意得 2n-5r=0? n= r(r=0,1,2,…,n-1), 故当 r=2 时, 正整数 n 的最小 2 值为 5.故选 B. 答案:B 5.令 an 为(1+x)
n+1 10 2 11

)

)

的展开式中含 x

n-1

?1? 项的系数,则数列? ?的前 n 项和为( ?an?

)

1

A. C.

n(n+3) n(n+1) B. 2 2 n 2n D. n+1 n+1
n-1

解析:含 x

的项为 Cn+1x

n-1 n-1

n(n+1) n-1 2 ,an=Cn+1=Cn+1= , 2

1 ? 1 2 ?1 = =2? - ? an n(n+1) ?n n+1? 1 1 1 1 1 n 2n ?1 + - +…+ - ? Sn=2? - =2 = .故选 D. ? 1 2? n+1 n+1 ?n n+1 n-1 n 答案:D 6.若(1-2x) =a0+a1x+a2x +…+anx ,则 a2 的值是( A.84 B.-84 C.280 D.-280 a2 2 2 解析:a2=Cn(-2) ? =n(n-1), 2 84 四个选项中只有 =42=7×6 满足. 2 答案:A 7.(2013·琼海模拟)已知(1+x) =a0+a1(1-x)+a2(1-x) +…+a10(1-x) ,则 a8 =( ) A.180 B.90 C.-5 D.5 解析:(1+x) =[2-(1-x)] 其通项公式为:Tr+1=C102 时,第 9 项的系数.所以 a8=C 102 (-1) =180.故选 A. 答案:A 8 .(2013·汕头二模)关于二项式(x-1)
2 013 8 2 8 10 10 r 10-r 10 2 10 n 2 n

)

(-1) (1-x) ,a8 是 r=8

r

r

有下列命题:

(1)该二项展开式中非常数项的系数和是 1; (2)该二项展开式中第六项为 C2 013 x
6 2 007



(3)该二项展开式中系数最大的项是第 1 007 项; (4)当 x=2 014 时,(x-1) 其中正确命题有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个
2 013

除以 2 014 的余数是 2 013.

解析:此二项展开式各项系数的和为 0,其常数项为-1,故(1 )正确; 其第六项 T6=C2 013x
5 2 013-5

·(-1) =-C2 013x

5

5

2 008

,故(2)错;

该二项展开式共有 2 014 项,奇数项系数为正、偶数项系数为负, 由二项式系数的性质知第 1 007 项与 1 008 项系数的绝对值最大,故(3)正确; (x-1)
2 013

=(x

2 013

-C2 013x

1

2 012

+C2 013x

2

2 011

-…+C2 013x)-1=(x

2 012

2 012

-C2 011x

1

2 011

+C2 013x

2

2 010

2

-…+C2 013-1)x+x-1.当 x=2 014 时,被 2 014 除的余数为 2 014-1=2 013.故(4)正 确. 其中正确命题有 3 个.故选 C. 答案:C 9.(2013·四川卷)二项式(x+y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是 ________(用数字 作答). 解析:Tr+1=C5x
r 5- r r 5 2 3

2 012

?5-r=2, ? y (r=0,1,2,3,4,5),由题意知? ?r=3 ?

5×4×3 2 3 3 所以含 x y 的系数为 C5= =10. 3×2×1 答案:10 5 ? 2 a? 10.在二项式?x - ? 的展开式中,含 x 项的系数是-80,则实数 a 的值为________. x? ? 5 a r r ? 2 a? r 10-2r? - ? 解析:二项式?x - ? 展开式的通项公式为 Tr+1=C5x ? ? =C5·(-a)rx10-3r,令 10 x? ? ? x? -3r=1,所以 r=3,所以 C5·(-a) =-80,解得 a=2. 答案:2 11.已知函数 f(x)=-x +3f′(2)x,令 n=f′(2),则二项式?x+
3 3 3

? ?

2 ?n x?

? 展开式中常数

项是第________项. 解析:由 f(x)=-x +3f′(2)x 得 f ′(x)=-3x +3f′(2),所以 f′(2)=-3×2 +3f′(2), 解得 f′(2)=6, 则?x+
3 2 2

? ?

2 ?6

2 ?r r 6-r? r r 2 x6 ? 的展开式的通项公式为 Tr+1=C6x ? ? =C6· x? ? x?

3 3 - r,令 6- r=0,得 r=4,所以展开式中常数项是第 r+1=5 项. 2 2 答案:5 10 ? 1? 4 12.?x- ? 的展开式中 x 的系数为________. ? x? 3 ? 1? 3 7 4 4 解析:因为 C10·x ·?- ? =-120x ,所 以展开式的 x 的系数为-120. ? x? 答案:-120 13.(2013·深圳一 模)若(1+2x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x ,则 a3=________. 解析:二项式展开式的通项公式为 Tr+1=C5·(2x) ,故 x 的系数 a3=C5·2 =80. 答案:80
r r 3 3 3 5 2 3 4 5

3

6 ? 1? 14.?x- ? 的二项展开式中常数项为________(用数字作答). ? x? 6 r ? 1? r 6-r r?1? r r 6-2r 解析: 因为?x- ? 的二项展开式的通项公式为 Tr+1=C6x · (-1) ? ? =(-1) C6x , x x ? ? ? ? 6 ? 1? 3 3 令 6-2r=0,解得 r=3,所以?x- ? 的二项展开式中常数项为(-1) C6=-20. ? x? 答案:-20 15.(1)已知 n ∈N ,求证:1+2+2 +2 +…+2 (2)求 0.998 的近似值,使误差小于 0.00 1. 解析:(1)证明:1+2+2 +2 +…+2 1-2 5n n = =2 -1=32 -1. 1-2 =(31+1) -1 =31 +Cn·31 =31(31
n-1 n 1 n-1 n 5n 2 3 5n-1 6 * 2 3 5n-1

能被 31 整除;

+Cn·31
n-2

2

n-2

+…+Cn ·31+1-1
n-1

n-1

+Cn·31

1

+…+Cn )

显然括号内的数为正整数, 故原式能被 31 整除. (2)解析:∵0.998 =(1-0.002)
1 2 2 3 6 6

=1-C6(0.002)+C6(0.002) -C6(0.002) +… 第三项 T3=15×(0.002) =0.000 06<0.001,以后个项更小,∴0.998 ≈1-0.012= 0.988.
2 6

3

4


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