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安徽省安庆市2013届高三第二次模拟考试(数学理)(详解) 扫描版


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2013 年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
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一、选择题 题号 选项 1.解析: 1 B 2 D 3 B 4 D 5 A 6 B 7

C 8 D 9 B 10 C

1? i 1? i ? ? ?1 ? i ,故选 B。 i3 ?i

考点:复数的基本运算 2.解析:∵A ? {x | y ?

1 ? ln x} ? {x | x ? 0且x ? 1} , x ?1

B ? {y | y ? 1 ? x ? 2} ? {y | y ? 1}
∴ A ? B ? (0,1) ,故选 D。 考点:集合的含义与运算。 3.解析: 2a6 ? a8 ? 6 ? a1 ? 3d ? 6 ? a4 ? 6 ,∴ S 7 ? 考点:等差数的通项与求和。 4.解析:∵PF ? PF2 ? 0 ,∴ PF ? PF2 ,∴ | PF ? PF2 |? 2 | PO |?| F1 F2 |? 2 10 , 1 1 1 故选 D。 考点:向量的运算与双曲线的性质。 5.解析:由题意得: g ( x) ? sin[ 2( x ? ? ) ? 则 2? ?

(a1 ? a7 ) ? 7 ? 7a 4 ? 42 ,故选 B。 2

?
3

] ? sin( 2 x ? 2? ?

?
3

)

?
3

? k? ?

?
2

, k ? Z ,可得 ? 的最小正值为

? ,故选 A。 12

6. 解析:∵ A 、 B 、 C 三点共线, 若 ∴ AB ? ? AC 即 xa ? b ? ? (a ? yb) ? ? 考点:向量共线的充要条件与轨迹 7.解析:由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥, 如右图所示。则外接球球心为 AD 的中点,故 r ? ∴外接球的体积是

?x ? ? ? xy ? 1 ,故选 B。 ?1 ? ?y

A O D B C

2,

8 2 ? 。故选 C。 3

考点:三视图与几何体体积的计算。 8.解析:∵ 方程 x ? ax ? b ? 2 ? 0(a, b ? R) 的两根分别在区间 (??,?2] 和 [2,??) 上,
2

∴?

?2 ? 2a ? b ? 0 2 2 ,由线性规划知识得: a ? b 的最小值为 4。故选 D。 ?2 ? 2a ? b ? 0
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考点:二次方程的根的分布和简单的线性规划。 9.解析:将极坐标方程 ? cos? ? ? sin ? ? 2 2 和 ? ? 1 化为直角坐标系下的方程得:

x ? y ? 2 2 和 x 2 ? y 2 ? 1 ,由数形结合易得:这两条切线的夹角的最大值为
故选 B

?
3



10.解析:设 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在区间 (1,2) 上的三个零点为 x1 、 x2 、 x3 , 则 f ( x) ? ( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 ) , ∴ f (1) ? f (2) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 )(1 ? x3 )(2 ? x1 )(2 ? x2 )(2 ? x3 )

? ?[(x1 ? 1)(2 ? x1 )][(x2 ? 1)(2 ? x2 )][(x3 ? 1)(2 ? x3 )]
1 ? x ? 1 ? 2 ? x1 ? ? x 2 ? 1 ? 2 ? x 2 ? ? x3 ? 1 ? 2 ? x3 ? ? ?? 1 ? ?? ? ? ? ? 2 2 2 64 ? ? ? ? ? ?
2 2 2

∵x1 、 x2 、 x3 为三个零点,∴ x1 、 x2 、 x3 互不相等,∴上式“=”不成立。 ∴ f (1) ? f (2) ? ? 二、填空题 11.-16; 12.4; 13.6.2; 14. (1,2) 15.② ④ ; ③
5

1 ,故选 C. 64

1 4 11.解析:由 (2 x ? 1)(x ? 2) ? (2x ? 1)[x 5 ? C5 x 4 ? (?2) ? ? ? C5 x ? (?2) 4 ? (?2) 5 ]

∴ a0 ? a1 ? (?2) 5 ? 2 ? (?2) 5 ? 5 ? (?2) 4 ? ?16 考点:二项式定理.
1 3 11 12.解析:由框图知 S ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ,由 S ? 100 得:k=4.

考点: 程序框图

? 13.解析: ∵ 回归直线方程为 y ? 1.5 x ? 0.5 , x ? 3 ,∴样本中心点为(3,5)
又由于除去 (2.2,2.9) 和 (3.8,7.1) 这两个数据点后, x, y 的值没有改变,所以中心点也没有改变,设新

? 的回归直线 l 为 y ? 1.2 x ? b ,将样本中心点(3,5)代入解得: b ? 1.4 ,
当 x ? 4 时, y 的估计值为 6.2. 14.解析: 设 T ? x ? ax ,得 y ? log a T
2

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当 0 ? a ? 1 时,得 y ? log a T 在区间[2,3]上是减函数且 T ? 0 . 所以 T ? x ? ax 在区间[2,3]上也是减函数,那么
2

a ? 3 且 32 ? 3a ? 0 ,此种情况无解. 2

当 a ? 1 时,得 y ? log a T 在区间[2,3]上是增函数且 T ? 0 . 所以 T ? x ? ax 在区间[2,3]上也是增函数,那么
2

a ? 2 且 22 ? 2a ? 0 ,解得1 ? a ? 2 . 2

所以实数 a 的取值范围是(1,2). 15.解析: ① P 点的坐标为 P( x0 , y0 ) ,则: 设

k PB1 k PB2 ?

2 y0 ? b y0 ? b y0 ? b 2 b2 ? ? ? ? 2 ,∴①错误; 2 x0 x0 x0 a
2 0 2 0 2
Q

y
B2 M P

②PB1 ? PB 2 ? ( ? x 0 ,?b ? y 0 )( ? x 0 , b ? y 0 ) ? x ? y ? b ? 0 , (∵P( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? b 2 外)∴② 正确 ③ 易知当点 P 在长轴的顶点上时, ?B1 PB2 最小,且 ?B1 PB2 为锐角, ∴设 ?PB1 B2 的外接圆半径为 r ,由正弦定理得:

x
F1 O B1 F2

A

2r ?

2b 2b 2b ? ? ? sin ?B1 PB2 sin ?B1 AB2 sin 2?OAB2

2b a2 ? b2 ? , 2ab a a2 ? b2

∴r ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ,∴ ?PB1 B2 的外接圆半径的最大值为 ,∴③ 正确。 2a 2a

④ 直线 PB1 的方程为: y ? b ? ∵

y0 ? b x ……(1) x0

直线 QB2 的方程为: y ? b ?

y0 ? b x ……(2) ? x0

2 y0 ? b 2 2 y2 x2 (1) ? (2)得 y ? b ? x ? 2 ? 2 ? 1 ,∴点 M 的轨迹为双曲线。 2 b a ? x0 2 2

∴④ 正确。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 解:? A ? (

? ?

? ? 3? ? ? 2 , ),? A ? ? ( , ),? cos( A ? ) ? ? 1 ? sin 2 ( A ? ) ? ? 4 2 4 2 4 4 4 10

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? ? ? ? ? ? 4 ? sin A ? sin[( A ? ) ? ] ? sin( A ? ) cos ? cos( A ? ) sin ? 4 4 4 4 4 4 5 3 ? cos A ? ………4 分 5 1 2 3 2 (Ⅰ f ( x) ? cos 2 x ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 2 sin x ? ?2(sin x ? ) ? ) ………5 分 2 2 3 ∵x ? R ,∴ f ( x ) ? [ ?3, ] ………………6 分 2 1 (Ⅱ )由(Ⅰ )知当 sin x ? 时, f ( x ) 取得最大值, 2 ? 5? 1 ∴sin B ? , ?B ? 或 B ? (舍去) 6 6 2
由正弦定理知:

BC ? sin A

5 sin

?
6

? BC ? 8

………9 分

又 sin C ? sin(? ?

?
6

? A) ? sin(

5? 3? 4 3 ? A) ? 6 10

………11 分

∴S ?ABC ?

1 1 3? 4 3 AC ? BC ? sin C ? ? 5 ? 8 ? ? 6?8 3 2 2 10
D

……………12 分

17. (1)证明:在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 的中点

O

C

? ?AOD 、 ?BOC 为等腰直角三角形 ? ?AOB ? 90o …………2 分
H 为 AO 的中点 ? OH ? DH ?
A B

2 2 2 2 5 ) ? 2 2
A

D

? BH 2 ? BO2 ? OH 2 ? ( 2 ) 2 ? (

O H

C

? BH 2 ? DH 2 ?

5 2 ? ( ) 2 ? 3 ? BD2 ? BH ? DH 2 2

………… 4 分

B

又 DH ? OA , DH ∩ BH ? H ? DH ? 平面 ABCO,而 DH ? 平面 AOD

?平面 AOD ? 平面 ABCO

………… 6 分

OB O (2) 分别以直线 OA 、 为 x 轴和 y 轴, 为坐标原点, 解: 建立空间直角坐标系, 如图所示.则 O (0,0,0) 、
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D

z

O

C

H(

2 2 2 ,0,0) 、 D ( ,0 , )、 2 2 2

B (0, 2 ,0) .………… 8 分
设平面 BHD 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z) ,

?? ??? ? 由 n1 ? HB ? x ? 2 y ? ?? ???? ? ? ?? ? 由n1 ? HD ? z ? 0 ? ? n 1 ? (2,1, 0) , ? 令y ?1 ? ?
类似可求得平面 BOD 的一个法向量

n2 ? (1,0,-1)
? cos? n1 , n2 ? ? 2 5? 2 ? 10 5
10 5
2

………… 10 分

所以二面角 O—DB—H 的余弦值为

………… 12 分

18.解: (Ⅰ)该选手恰好答题 4 道而通过的概率 P ? C 3 ( ) (Ⅱ)由题意可知, ? 可取的值是 3,4,5 ……4 分

2 3

3

1 8 ? ……3 分 3 27

1 2 1 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 3 3 3 1 8 2 2 P(? ? 5) ? C 4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27

1 8 10 P(? ? 4) ? 1 ? ? ? 3 27 27

? 的分布列为

?
P

3

4

5

1 3

10 27

8 27

……10 分 ……12 分

所以 ? 的数学期望为 E? ? 3 ?
2

1 10 8 107 ? 4? ? 5? ? . 3 27 27 27
2

19.解: (1)由 an ? 2S n an ? 1 ? 0 ? (S n ? S n?1 ) ? 2S n (S n ? S n?1 ) ? 1 ? 0
2 2 2 ? S n ? S n?1 ? 1 ( n ? 2) ,∴ {S n } 为等差数列

……3 分

∵S1 ? 2S1 S1 ? 1 ? 0 ? S1 ? ?1 ,
2

又∵{an } 为正项数列,∴ S1 ? 1
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……5 分

2 ∴ S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? S n ?

n
? 2( n ? 1 ? n )

……6 分 ……9 分

(2)

1 1 2 ? ? ? Sn n 2 n

2 n ?1 ? n



1 1 1 ? ??? ? 2( 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 1 ? n ) ? 2( n ? 1 ? 1) ? 2( S n?1 ? 1) S1 S 2 Sn


1 1 1 ? ??? ? 2( S n?1 ? 1) 。 S1 S 2 Sn

……12 分

注:第(2)小题也可用数学归纳法或用数列单调性加以证明,请酌情给分。 20.证明: (1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 由 OA ? OB ? ?1 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? ?1 ? x1 x2 ? ∴ x1 x2 ? ?2 ∵ 的方程为: y ? y1 ? AB
2 2 x1 x2 ? ?1 , 4

……3 分

x ? x2 xx y 2 ? y1 x? 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? 1 2 2 x2 ? x1 x1 ? x 2 x ?1 , 2
……6 分

∵x1 x2 ? ?2 ,∴AB 的方程为 y ? ∴直线 AB 恒过定点(0,1) (2)不妨设 x 2 ? x1

则 AB 与抛物线围成的封闭区域的面积 S ?

?

x2

x1

x1 ? x 2 x2 ( x ? 1 ? )dx 2 2
A

……8 分
y

x ? x2 2 1 3 ? 1 ( x2 ? x12 ) ? ( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? x13 ) 4 6 ? x2 ? x1 2 [3( x1 ? x 2 ) 2 ? 2( x12 ? x2 ? x1 x2 ) ? 12] 12

B x
O

M

x ? x1 2 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ? 4 x1 x 2 ? 12) 12

x ? x1 2 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ? 4 x1 x 2 ? 6 x1 x 2 ) 12
……10 分

( x2 ? x1 ) 3 ? 12

∵x 2 ? x1 , x2 ? 0 ? x1 ∴ x2 ? x1 ? x2 ? (?x1 ) ? 2 ? x1 x2 ? 2 2
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( x2 ? x1 ) 3 (2 2 ) 3 4 2 ∴S ? ,“=”当且仅当 x1 ? ? x2 时成立。 ? ? 12 12 3
∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为

4 2 。 3

……13分

另解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,AB 的方程为: y ? kx ? b 联立 ?

? y ? kx ? b ?x ? 2 y
2

消去 y 得: x ? 2kx ? 2b ? 0
2

∴x1 ? x2 ? 2k , x1 x2 ? ?2b 由 OA ? OB ? ?1 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? ?1 ? x1 x2 ?

……3 分
2 2 x1 x2 ? ?1 ? x1 x2 ? ?2 4

∴b ? 1 ,∴ 直线 AB 恒过定点 Q(0,1) 。……6 分 (2)由(1)知 AB 的方程为: y ? kx ? 1 不妨设 x 2 ? x1 ,则 AB 与抛物线围成的封闭区域的面积 S ?

?

x2

x1

x2 (k x ? 1 ? )dx ……8 分 2

?

x ? x1 k 2 1 3 2 ( x 2 ? x12 ) ? ( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? x13 ) ? 2 [3k ( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? x2 ? x1 x2 ) ? 6] 2 6 6 x2 ? x1 [6k 2 ? (4k 2 ? 2) ? 6] 6
? 1 ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 (k 2 ? 2) 3
……11 分

?

?

2 k 2 ? 2 (k 2 ? 2) 3

?

2 4 2 ,“=”当且仅当 k ? 0 时成立。 ( k 2 ? 2)3 ? 3 3
∴ 直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为

4 2 . 3

……13分

21.证明: (1)∵g ( x) ? ln(?x ? 1 ? ? ) ? ? ln x, ? ? (0,1) ∴g ' ( x ) ?

? ?x ? 1 ? ?

?

?
x

?

? (1 ? ? )(x ? 1) x ( ?x ? 1 ? ? )

……2 分

∵x ? 1, ? ? [0,1) ,∴g ' ( x) ? 0 ∴g (x) 在 [1,??) 上为增函数,∴g ( x) ? g (1) ? 0 ,

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∴ x ? [1,??) 时, g ( x) ? 0 恒成立. 当

……4 分

(2) f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ln(?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 ln x1 ? ?2 ln x2

?

ln(?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 ln x1 ? (1 ? ?1 ) ln x2 ? 0

?

ln(?1

x1 x ? 1 ? ?1 ) ? ?1 ln 1 ? 0 x2 x2

……6 分 ∵x1 ? x2 ? 0 ,记

x1 ? x ,则 x ? [1,??) x2

设 h( x) ? ln(?1 x ? 1 ? ?1 ) ? ?1 ln x( x ? 1) ? ln(?1 x ? 1 ? ?1 ) ? ?1 ln x , ∵ 正数 ?1 , ?2 满足: ?1 ? ?2 ? 1,∴?1 ? (0,1) 由(1)知: h( x) ? ln(?1 x ? 1 ? ?1 ) ? ?1 ln x ? 0 在 [1,??) 上恒成立。 ∴ f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ……9 分 另证: ∵ f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ln(?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 ln x1 ? ?2 ln x2 ? 0 设 h( x) ? ln(?1 x ? ?2 x2 ) ? ?1 ln x ? ?2 ln x2 , x ? [ x2 ,??) 求导得: h '( x) ? ……6 分

?1 ? ? x ? ?1 (?1 x ? ?2 x2 ) ?1?2 ( x ? x 2 ) ? 1 ? 1 ? ?1 x ? ?2 x2 x (?1 x ? ?2 x2 ) x (?1 x ? ?2 x 2 ) x

∵x ? [ x2 ,??) ,∴h' ( x) ?

?1?2 ( x ? x2 ) ? 0 ,∴h(x) 在 [ x2 ,??) 上为增函数, (?1 x ? ?2 x2 ) x

∴h( x) ? h( x2 ) ? ln(?1 x2 ? ?2 x2 ) ? ?1 ln x2 ? ?2 ln x2 ? 0 ∴ f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) (3)结论:“对于任意的正数 ?1 , ?2 , ?3 满足: ?1 ? ?2 ? ?3 ? 1, 都有 f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ?3 f ( x3 ) ”。 证明如下:∵ f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 ) ? f [(?1 ? ?2 )( ……11 分 ……9 分

?1 ? ?2

?1

x1 ?

?1 ? ?2

?2

x2 ) ? ?3 x3 ]

由于 (?1 ? ?2 ) ? ?3 ? 1 ,

?1 ? ?2

?1

?

?1 ? ?2

?2

? 1 ,利用(2)的结论可得:

第 12 页(共 13 页)

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 ) ? f [(?1 ? ?2 )( ? (?1 ? ?2 ) f [( ? (?1 ? ?2 )[

?1 ? ?2

?1

x1 ?

?1 ? ?2

?2

x2 ) ? ?3 x3 ]

?1 ? ?2
?1

?1

x1 ?

?1 ? ?2
?2

?2

x2 )] ? ?3 f ( x3 ) f ( x2 )] ? ?3 f ( x3 )

?1 ? ?2

f ( x1 ) ?

?1 ? ?2

? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ?3 f ( x3 ) 。
∴ f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ?3 f ( x3 ) 成立。 ……14 分

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