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2013年高考文科数学辽宁卷word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 文史类(辽宁卷)
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.(2013 辽宁,文 1)已知集合 A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则 A∩B=( ). A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 答案:B 解析:∵|x|<2,∴x∈(-2,2),即 B={x|-2<x<2}.∴A∩B={0,1},故选 B. 2.(2013 辽宁,文 2)复数 z = A.

1 的模为( i ?1
C. 2

). D.2

1 2

B.

2 2

答案:B 解析: z ? ∴|z|= ? ?

1 ?i ? 1 1 1 ? ? ? ? i, i ? 1 (i ? 1)(?i ? 1) 2 2
2 2

2 ? 1? ? 1? ,故选 B. ? ??? ? ? 2 ? 2? ? 2?

3.(2013 辽宁,文 3)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为(

??? ?

).

?3 4? ? ?5 5? ? 3 4? C. ? ? , ? ? 5 5?
A. ? , ? 答案:A

? 4 3? ,? ? ?5 5? ? 4 3? D. ? ? , ? ? 5 5?
B. ?

??? ? ??? ? ?3, ?4? AB ?3 4? ? ? , ? ? ,故选 A. 解析:与向量 AB 同方向的单位向量为 ??? = ? AB 32 ? ??4 ?2 ? 5 5 ?
4.(2013 辽宁,文 4)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列 ?

? an ? ? 是递增数列; ?n?

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ). A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 答案:D

an 解析:如数列-2,-1,0,1,2,…,则 1× a1=2× a2,排除 p2,如数列 1,2,3,…,则 n =1,排除 p3,
故选 D. 5. (2013 辽宁, 5)某班的全体学生参加英语测试, 文 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为: [20,40), [40,60),[60,80),[80,100].若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是( ).

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辽宁文科数学

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A.45 答案:B

B.50

C.55

D.60

15 解析: 根据频率分布直方图, 低于 60 分的人所占频率为: (0.005+0.01)× 20=0.3, 故该班的学生数为 0.3
=50,故选 B. 6.(2013 辽宁,文 6)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 asin Bcos C+csin Bcos A= 且 a>b,则∠B=( A. ).

1 b, 2

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6
1 1 b 等价于 sin Acos C+sin Ccos A= , 2 2

答案:A 解析:根据正弦定理 asin Bcos C+csin Bcos A= 即 sin(A+C)=

1 . 2 5π π ,所以 B ? .故选 A. 6 6

又 a>b,所以 A+C=

7.(2013 辽宁,文 7)已知函数 f(x)= ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 ,则 f (lg 2) ? f ? lg A.-1 答案:D B.0 C.1 D.2

? ?

1? ? =( 2?

).

解析:∵f(x)= ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 , ∴f(-x)= ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 , ∴f(x)+f(-x)=ln 1+1+1=2,

1 =-lg 2, 2 ? 1? ∴ f (lg 2) ? f ? lg ? =2,故选 D. ? 2?
又 lg 8.(2013 辽宁,文 8)执行如图所示的程序框图,若输入 n=8,则输出 S= ( ). A.

4 9

B.

6 7

C.

8 9

D.

10 11

答案:A 解析:当 n=8 时,输出的 S ? 0 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ?1 4 ?1 6 ?1 8 ?1
2

?

1 1 1 1 ? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9
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1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 3 5 5 7 7 9 ? 4 ? , 9
故选 A. 9.(2013 辽宁,文 9)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB 为直角三角形,则必有( A.b=a3 ).

1 a 1? ? C. (b ? a3 ) ? b ? a3 ? ? ? 0 a? ? 1 D. b ? a 3 ? b ? a 3 ? ? 0 a
B. b ? a ?
3

答案:C

解析:若∠OBA 为直角,则 OB ? AB ? 0 , 即 a2+(a3-b)·3=0, a

??? ??? ? ?

1 ; a ??? ??? ? ? 若∠OAB 为直角时, OA ? AB ? 0 ,即 b(a3-b)=0,得 b=a3; 1 若∠AOB 为直角,则不可能.所以 b-a3- =0 或 b-a3=0,故选 C. a
又 a≠0,故 b ? a ?
3

10.(2013 辽宁,文 10)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4, AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( ).

3 17 2 13 C. 2
A.

B. 2 10 D. 3 10

答案:C 解析:过 C,B 分别作 AB,AC 的平行线交于点 D,过 C1,B1 分别作 A1B1,A1C1 的平行线交于 D1,连 接 DD1,则 ABCD-A1B1C1D1 恰为该球的内接长方体,故该球的半径 r= C.

32 ? 42 ? 122 13 ? ,故选 2 2

x2 y 2 11.(2013 辽宁,文 11)已知椭圆 C: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B a b 4 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( ). 5 3 5 4 6 A. B. C. D. 5 7 5 7
答案:B 解析:如图所示, 根据余弦定理,|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|BF||AB|cos∠ABF, 即|AF|=6,又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB||BF|cos∠ABF,即|OF|=5.又根据 椭圆的对称性,|AF|+|BF|=2a=14,∴a=7,|OF|=5=c,所以离心率为

5 ,故选 B. 7
12.(2013 辽宁,文 12)已知函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设 H1(x)=max{f(x), g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p,q 中的较小值).记 H1(x)
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的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B=( A.a2-2a-16 B.a2+2a-16 C.-16 D.16 答案:C 解析:∵f(x)-g(x)=2x2-4ax+2a2-8 =2[x-(a-2)][x-(a+2)],

).

? f ( x), x ? (??, a ? 2], ? ∴ H1 ? x ?= ? g ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? f ( x), x ? (a ? 2, ??], ? ? g ( x), x ? (??, a ? 2], ? H 2 ? x ?= ? f ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? g ( x), x ? (a ? 2, ??], ?
可求得 H1(x)的最小值 A=f(a+2)=-4a-4,H2(x)的最大值 B=g(a-2)=-4a+12, ∴A-B=-16.故选 C. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答。 22 题~ 第 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.(2013 辽宁,文 13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是__________.

答案:16π-16 解析:由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为 2 的 正四棱柱,故体积为 π·22· 4-2×2×4=16π-16. 14.(2013 辽宁,文 14)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4 =0 的两个根,则 S6=__________. 答案:63 解析:x2-5x+4=0 的两根为 1 和 4,又数列递增, 所以 a1=1,a3=4,q=2.

1? ?1 ? 26 ? 所以 S6= =63. 1? 2
15.(2013 辽宁,文 15)已知 F 为双曲线 C:

x2 y 2 ? =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚 9 16

轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为__________. 答案:44 解析:如图所示,设双曲线右焦点为 F1,则 F1 与 A 重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|
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+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,∴△PQF 周长为 28+4b=44.

16.(2013 辽宁,文 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班 级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本 数据中的最大值为__________. 答案:10 解析:设 5 个班级的人数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ?7, 5

? x1 ? 7 ?2 ? ? x2 ? 7?2 ? ? x3 ? 7?2 ? ? x4 ? 7?2 ? ? x5 ? 7?2 5
=4, 即 5 个整数平方和为 20,最大的数比 7 大不能超过 3,否则方差超过 4,故最大值为 10,最小值为 4. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(2013 辽宁,文 17)(本小题满分 12 分)设向量 a=( 3 sin x ,sin x),b=(cos x,sin x),x∈ ?0, ? . 2 (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解:(1)由|a|2=

? π? ? ?

?

3 sin x +sin2x=4sin2x,

?

2

|b|2=cos2x+sin2x=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1.

? π? ? ? π 所以 x ? . 6
?

又 x∈ ?0, ? ,从而 sin x= . 2 2

1

(2)f(x)=a· b= 3 sin x · x+sin2x cos

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 π? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 6? 2 ? π ? π? π? ? 当 x ? ? ? 0, ? 时, sin ? 2 x ? ? 取最大值 1. 3 ? 2? 6? ? 3 所以 f(x)的最大值为 . 2
18.(2013 辽宁,文 18)(本小题满分 12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点.

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(1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. 证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC 平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA 平面 PAC,AC 平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. (2)连 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM,QO,由 G 为△AOC 的 重心,得 M 为 AC 中点. 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM 平面 QMO, MO 平面 QMO,BC∩PC=C, BC 平面 PBC,PC 平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO, 所以 QG∥平面 PBC. 19.(2013 辽宁,文 19)(本小题满分 12 分)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 解:(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题,基本事件为:{1,2}, {1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}, 共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, 共 6 个,所以 P(A)=

6 2 ? . 15 5
8 . 15

(2)基本事件同(1), B 表示“不是同一类题”这一事件,则 B 包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5}, 用 {2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共 8 个,所以 P(B)=

20.(2013 辽宁,文 20)(本小题满分 12 分)如图,抛物线 C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点 M(x0,y0) 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当 x0= 1 ? 2 时,切 线 MA 的斜率为 ?

1 . 2

(1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时, 中点为 O). 解:(1)因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y ' =

x ,且切 2

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线 MA 的斜率为 ?

1 1 1 ? 1? ,所以 A 点坐标为 ? ?1, ? ,故切线 MA 的方程为 y ? ? ( x ? 1) ? . 2 2 4 4? ?

因为点 M( 1 ? 2 ,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上, 于是 y0 ? ?

1 1 3?2 2 ,① (2 ? 2) ? ? ? 2 4 4 (1 ? 2)2 3? 2 2 .② y0 ? ? ?? 2p 2p
? ?

由①②得 p=2. (2)设 N(x,y),A ? x1 ,

? x2 2 ? x12 ? x1 ? x2 ? ,B ? x2 , ? ,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点知 x ? 2 ,③ 4 ? 4 ? ?

y?

x ? x2 .④ 8
2 1 2

切线 MA,MB 的方程为

x1 x2 ( x ? x1 ) ? 1 ,⑤ 2 4 x x2 y ? 2 ( x ? x2 ) ? 2 ⑥ 2 4 y?
由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为

x0 ?

x1 ? x2 xx , y0 ? 1 2 . 2 4

因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0 2 =-4y0, 所以 x1 x2 ? ? 由③④⑦得

x12 ? x2 2 .⑦ 6

x2 ?

4 y ,x≠0. 3
2

当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x ? 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x ?
2

4 y. 3

4 y. 3

21.(2013 辽宁,文 21)(本小题满分 12 分) (1)证明:当 x∈[0,1]时, (2)若不等式 ax+x2+

2 x sin x≤x; 2

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 2 2 x ,则 F′(x)= cos x ? (1)证明:记 F(x)= sin x ? . 2 2 ? π? ? π? 当 x ? ? 0, ? 时,F′(x)>0,F(x)在 ?0, ? 上是增函数; ? 4? ? 4? ?π ? ?π ? 当 x ? ? ,1? 时,F′(x)<0,F(x)在 ? ,1? 上是减函数. ?4 ? ?4 ? 2 又 F(0)=0,F(1)>0,所以当 x∈[0,1]时,F(x)≥0,即 sin x≥ x. 2
记 H(x)=sin x-x,则当 x∈(0,1)时,H′(x)=cos x-1<0,所以,H(x)在[0,1]上是减函数,则 H(x)≤H(0)
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=0,即 sin x≤x. 综上,

2 x ≤sin x≤x,x∈[0,1]. 2

(2)解法一:因为当 x∈[0,1]时,

x3 ax+x + +2(x+2)cos x-4 2 x3 x ? 4( x ? 2)sin 2 =(a+2)x+x2+ 2 2
2

? 2 ? x3 ≤(a+2)x+x + ? 4( x ? 2) ? ? 4 x? ? 2 ? ?
2

2

=(a+2)x. 所以,当 a≤-2 时, 不等式 ax+x2+

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立. 2 x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2

下面证明,当 a>-2 时, 不等式 ax+x2+

因为当 x∈[0,1]时,

x3 +2(x+2)cos x-4 2 x3 x ? 4( x ? 2)sin 2 =(a+2)x+x2+ 2 2
ax+x2+

x3 ? x? ≥(a+2)x+x + ? 4( x ? 2) ? ? 2 ?2? 3 x =(a+2)x-x2- 2 3 2 ≥(a+2)x- x 2 3 ? 2 ? ? ? x ? x ? (a ? 2) ? . 2 ? 3 ? x3 a?2 1 2 所以存在 x0∈(0,1)(例如 x0 取 和 中的较小值)满足 ax0 ? x0 ? 0 +2(x0+2)cos x0-4>0, 3 2 2
2

2

即当 a>-2 时,

x3 不等式 ax+x + +2(x+2)cos x-4≤0 对 x∈[0,1]不恒成立. 2
2

综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. 解法二:记 f(x)=ax+x2+

x3 3x 2 +2(x+2)cos x-4,则 f′(x)=a+2x+ +2cos x-2(x+2)sin x. 2 2

记 G(x)=f′(x),则 G′(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x. 当 x∈(0,1)时,cos x> G′(x)<2+3x-4·

1 ,因此 2

2 x-(x+2) 2
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= (2 ? 2 2)x ? 0 . 于是 f′(x)在[0,1]上是减函数,因此,当 x∈(0,1)时,f′(x)<f′(0)=a+2,故当 a≤-2 时,f′(x)<0,从而 f(x)在[0,1]上是减函数,所以 f(x)≤f(0)=0,即当 a≤-2 时,不等式 ax+x2+ ∈[0,1]恒成立. 下面证明,当 a>-2 时,

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x 2

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2 7 由于 f′(x)在[0,1]上是减函数,且 f′(0)=a+2>0,f′(1)=a+ +2cos 1-6sin 1. 2 7 当 a≥6sin 1-2cos 1- 时,f′(1)≥0,所以当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,因此 f(x)在[0,1]上是增函数,故 f(1) 2
不等式 ax+x2+ >f(0)=0; 当-2<a<6sin 1-2cos 1-

7 时,f′(1)<0,又 f′(0)>0,故存在 x0∈(0,1)使 f′(x0)=0,则当 0<x<x0 2

时,f′(x)>f′(x0)=0.所以 f(x)在[0,x0]上是增函数,所以当 x∈(0,x0)时,f(x)>f(0)=0. 所以,当 a>-2 时, 不等式 ax+x2+

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2

综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22.(2013 辽宁,文 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为 O 直径,直线 CD 与 O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC. 证明:(1)由直线 CD 与 O 相切,得∠CEB=∠EAB. 由 AB 为 O 的直径,得 AE⊥EB, 从而∠EAB+∠EBF=

π ; 2

又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=

π , 2

从而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF2=AF· BF, 所以 EF2=AD· BC. 23.(2013 辽宁,文 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程 分别为 ρ=4sin θ, ? cos ? ? ?

? ?

π? ? =2 2 . 4?

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

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? x ? t 3 ? a, ? (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 (t∈R ? y ? t ?1 ? 2
为参数),求 a,b 的值. 解:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.

? x1 ? 0, ? x2 ? 2, ? ? y1 ? 4, ? y2 ? 2. ?x ? y ? 4 ? 0 π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? 4, ? , ? 2 2, ? . 4? ? 2? ?
解?

? x 2 ? ? y ? 2?2 ? 4,

得?

注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 y ?

b ab x? ? 1. 2 2

?b ? 2 ? 1, ? 所以 ? ? ? ab ? 1 ? 2, ? 2 ?
解得 a=-1,b=2. 24.(2013 辽宁,文 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.

? ?2 x ? 6, x ? 2, ? 解:(1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|= ? 2, 2 ? x ? 4, ? 2 x ? 6, x ? 4. ?
当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),

??2a, x ? 0, ? 则 h( x ) ? ? 4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ?2a, x ? a. ?
由|h(x)|≤2,解得

a ?1 a ?1 ?x? . 2 2

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

? a ?1 ? 2 ? 1, ? 所以 ? 于是 a=3. ? a ? 1 ? 2. ? 2 ?

2013

辽宁文科数学

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