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导数应用三


xxx 学校 2015-2016 学年度 10 月同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明
评卷人 得分

一、选择题(本题共 22 道小题,每小题 0 分,共 0 分)

1.已知 f(x)为 R 上的可导函数,且对?x∈R,f(x)>f′(x),则有(
A.e B.e C.e D.e
2015



f(﹣2015)<f(0),f(2015)>e f(﹣2015)<f(0),f(2015)<e f(﹣2015)>f(0),f(2015)>e f(﹣2015)>f(0),f(2015)<e

2015

f(0) f(0) f(0) f(0) 的大小关系是( B. )

2015

2015

2015

2015

2015

2015

2.已知函数 f(x)=x2﹣cosx,则
A.

C.

D.

3.如图是函数 f(x)=x2+ax+b 的部分图象,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区
间是( )

A.( 2) 3)



B.(1, C.( ,1) D.(2,

4.如图,是函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象,则下面判断正确的是(

)

A.在区间(﹣2,1)上 f(x)是增函数 (x)是减函数 C.在(4,5)上 f(x)是增函数 极大值

B.在(1,3)上 f

D.当 x=4 时,f(x)取

5.若幂函数 f(x)的图象经过点 A(

),是它在 A 点处的切线方程为(



A. 4x+4y+1=0 B. 4x﹣4y+1=0 C. 2x﹣y=0 D. 2x+y=0

6.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 f′(x)的图象是(

)

A.

B.

C.

D.

7.已知函数 f(x)=2mx3﹣3nx2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点,则 lg2m+lg2n 的最小
值为( ) A. C. D. B.

8.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所
示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值( )

A.2 个 个 C.3 个

B.1 D.4 个

9.设函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为 f′(x),f′(x)在区间(a,b)上的
导函数为 f″(x),若在区间(a,b)上 f″(x)>0,则称函数 f(x)在区间(a,b) 上为“凹函数”,已知 f(x)= 数 m 的取值范围为( ) A.(﹣∞, 5] ∞,5] ) B.[ , x﹣
5

mx ﹣2x 在区间(1,3)上为“凹函数”,则实

4

2

C.(﹣∞,﹣3)

D.(﹣

10.已知函数


的图象如图(其中

是函数 f(x)的导函数),下面四个图象

的图象可能是

11.函数
A. D. B.

在 R 上不是增函数,则实数 b 的取值范围是 C.

12.函数
A. D. B.



内有极小值,则( C.

)

13.已知函数
示,则该函数

的图像是下列四个图像之一,且其导函数 的图像是( )

的图像如右图所

14.函数



的单调递增区间是(



A.

B.

C.

D. 是函数 的导函数,将 ) 和 的图象画在同一个直角坐标

15.设

系中,不可能正确的是(

16.在下面四个图中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数
f ′(x)的图象,则 f(-1)等于( )

A.

B.-

C.

D.-

或 , ) D.不确定

17.已知函数
,且 A.4 在 , B.5

的图象与 轴有三个不同交点 时取得极值,则 C.6 的值为(

18.

函数 内的图像如图所示,则函数

的定义域为开区间 在开区间

,导函数



内有极小值点

( A.1 个 C. 个

) B. 个 D. 个 的一个单调递增区间是( A. C. D. ) B.

19.函数

20.已知函数

是函数

的导函数,则

的图象大致是

(A) (D)

(B)

(C)

21.若函数



内有极小值,则(



A.

B. 在 ( A.5 , -15 ) B.5 , 4

C. 上的最大值与最小值分别

D.

22.函数


C.-4 , -15

D.5 , -16

第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分

二、填空题(本题共 2 道小题,每小题 0 分,共 0 分)

评卷人

得分

三、解答题(本题共 3 道小题,第 1 题 0 分,第 2 题 0 分,第 3 题 0 分,共 0 分)

23.已知函数 f(x)=a(x﹣1)2+lnx,a∈R.

(Ⅰ)当 a=﹣

时,求函数 y=f(x)的单调区间;

(Ⅱ)a= 值;

时,令 h(x)=f(x)﹣3lnx+x﹣

.求 h(x)在[1,e]上的最大值和最小

(Ⅲ)若函数 f(x)≤x﹣1 对? x∈[1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围.

24.已知函数 f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣
(1)若 a=1,求函数 f(x)的极值;

,(a∈R)

(2)设函数 h(x)=f(x)﹣g(x),求函数 h(x)的单调区间.

25.(13 分)已知函数 f(x)=
(1)求函数 f(x)的单调区间;

﹣lnx(a≠0).

(2)当 a=1 时,求 f(x)在[ ,e]上的最大值和最小值(0.69<ln2<0.70);

(3)求证:ln





试卷答案
1.D
考点: 专题: 分析: 断函数的单调性即可得到结论. 解答:
﹣x ﹣x

利用导数研究函数的单调性. 导数的概念及应用. 根据条件,构造函数构造函数 g(x)=e f(x),判
﹣x

解:构造函数 g(x)=e f(x),
﹣x ﹣x

﹣x

则 g′(x)=[e f(x)]′=﹣e f(x)+e f′(x)=e [﹣f(x)+f′(x)]<0 则 g(x)单调递减, 则 g(﹣2015)>g(0),即 e g(2015)<g(0),即 e 故选:D. 点评:
﹣x ﹣2015 2015

f(﹣2015)>f(0),
2015

f(2015)<f(0),即 f(2015)<e

f(0)

本题主要考查函数值的大小比较,根据条件构造函数

g(x)=e f(x),利用导数判断函数的单调性是解决本题的关键.

2.B
考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求函数的导数,判断函数的单调性,利用函数的单调性进行比较即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣cosx 为偶函数, ∴f(﹣0.5)=f(0.5),f′(x)=2x+sinx, 当 0<x< 时,f′(x)=2x+sinx>0,∴函数在(0, )上递增,
2

∴f(0)<f(0.5)<f(0.6), 即 f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6), 故选:B 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,求函数的导数,利用函数的单调性是解决本题的 关键.

3.C
【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由二次函数图象的对称轴确定 a 的范围,据 g(x)的表达式计算 g( )和 g (1)的值的符号,从而确定零点所在的区间. 【解答】解:由函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象得 0<b<1,f(1)=0,即有 a=﹣1﹣b,
2

从而﹣2<a<﹣1, 而 g(x)=lnx+2x+a 在定义域内单调递增, g( )=ln +1+a<0, 由函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,结合抛物线的对称轴得到:
2

0<﹣ <1,解得﹣2<a<0, ∴g(1)=ln1+2+a=2+a>0, ∴函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( ,1); 故选 C. 【点评】本题主要考查了导数的运算,以及函数零点的判断,同时考查了运算求解能力和 识图能力,属于基础题.

4.C
【考点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题. 【分析】由于 f′(x)≥0? 函数 f(x)d 单调递增;f′(x)≤0? 单调 f(x)单调递 减,观察 f′(x)的图象可知,通过观察 f′(x)的符号判定函数的单调性即可 【解答】解:由于 f′(x)≥0? 函数 f(x)d 单调递增;f′(x)≤0? 单调 f(x)单调 递减 观察 f′(x)的图象可知, 当 x∈(﹣2,1)时,函数先递减,后递增,故 A 错误 当 x∈(1,3)时,函数先增后减,故 B 错误 当 x∈(4,5)时函数递增,故 C 正确 由函数的图象可知函数在 4 处取得函数的极小值,故 D 错误 故选:C 【点评】本题主要考查了导数的应用:通过导数的符号判定函数单调性,要注意不能直接 看导函数的单调性,而是通过导函数的正负判定原函数的单调性

5.B
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 先设出幂函数的解析式,然后根据题意求出解析式,根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x= 处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式式 即可.

解答: 解:∵f(x)是幂函数,设 f(x)=x ∴图象经过点 A( ∴ =( ) ∴α = ∴f(x)=
α

α

),

f'(x)= 它在 A 点处的切线方程的斜率为 f'( )=1,又过点 A 所以在 A 点处的切线方程为 4x﹣4y+1=0 故选 B. 点评: 本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方 程等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.

6.A
考点:函数的图象. 专题:常规题型;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析:函数的图象问题一般利用排除法,注意 f(x)与 f′(x)的关系. 解答: ∴f′(x)>0, 故排除 B、C, 又∵函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞), ∴排除 D, 故选 A. 点评:本题考查了导数与原函数的关系,同时考查了学生的识图能力,属于中档题. 解:∵函数 y=f(x)的图象一直在上升,

7.D
考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得函数的极大值或极小值等于 0,求得 m、n 的关系,再取对数得 lgn= + lgm,即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论. 解答: 解:f′(x)=6mx ﹣6nx=6x(mx﹣n),
2

∴由 f′(x)=0 得 x=0 或 x= , ∵f(x)=2mx ﹣3nx +10(m>0)有且仅有两个不同的零点,又 f(0)=10, ∴f( )=0,即 2m? ﹣3n? +10=0,整理得 n =10m ,
3 2 3 2

两边取对数得 3lgn=1+2lgm,∴lgn= + lgm, ∴lg m+lg n=lg m+( + lgm) = (13lg m+4lgm+1)= ∴当 lgm=﹣ 故选 D. 点评:本题考查函数的零点的判断及利用导数研究函数的极值知识,考查学生的等价转化 能力及运算求解能力,属于中档题. 时,lg m+lg n 有最小值为
2 2 2 2 2 2 2

(lgm+

)+

2





8.B
考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:如图所示,由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象和极值的定义可知:函数 f(x) 只有在点 B 处取得极小值. 解答: 解:如图所示,

由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象可知: 函数 f(x)只有在点 B 处取得极小值, ∵在点 B 的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,且 f′(xB)=0. ∴函数 f(x)在点 B 处取得极小值. 故选:B.

点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了数形结合的思想方法,考查了 推理能力,属于基础题.

9.C
考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用.

分析:本题根据二阶导数的定义及函数特征,研究原函数的二阶导数,求出 m 的取值范 围,得到本题结论. 解答: ∴f′(x)= x ﹣ mx ﹣4x, ∴f″(x)=x ﹣mx ﹣4. ∵f(x)= x﹣
5 3 2 4 3

解:∵f(x)=

x﹣

5

mx ﹣2x ,

4

2

mx ﹣2x 在区间(1,3)上为“凹函数”,

4

2

∴f″(x)>0. ∴x ﹣mx ﹣4>0,x∈(1,3).
3 2







在(1,3)上单调递增,



在(1,3)上满足:

>1﹣4=﹣3.

∴m≤﹣3. 故答案为:C. 点评:本题考查了二阶导数和恒成立问题,本题难度不大,属于基础题.

10.B 11.D 12.C.
,令 , 是极小值点, , ,则 或

13.B 因为
,所以 图象越来越陡峭, 在 为增函数,又 时, 为减函数, 所以 时, 为增函数, 所以 图象越来越平缓。

14.A 15.D 16. B
f ′(x)=x +2ax+a -1,其图象开口向上,故图形不是(2),(3);由于 a≠0,故图形 不是(1),∴f ′(x)的图象为(4),∴f ′(0)=0,∴a=1 或-1,由图知 a≠1,∴a=-
2 2

1,∴f(x)=

x -x +1,∴f(-1)=-

3

2

,故选 B.

17.C 18.A 19.A 20.A 21.A 22.A 23.解:(Ⅰ)当 a=﹣ 时,f(x)=﹣ (x﹣1)2+lnx,(x>0)?
f'(x)=﹣ x+ + =﹣ ,?

①当 0<x<2 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; ②当 x>2 时,f'(x)<0,f(x)在(2,+∞)单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).? (Ⅱ)当 a= 时,h(x)=f(x)﹣3lnx+x﹣ = x ﹣2lnx, ∴h′(x)=x﹣ 令 h′(x)=0 解得 x= 当 x∈[1, 故 x= ,? ,e)时,h′(x)>0,
2

]时,h′(x)<0,当 x∈[

是函数 h(x)在[1,e]上唯一的极小值点,? )=1﹣ln2,
2

故 h(x)min=h(

又 h(1)= , h(e)= e ﹣2 所以 h(x)max= e ﹣2.?
2



(Ⅲ)由题意得 a(x﹣1) +lnx≤x﹣1 对 x∈[1,+∞)恒成立,? 设 g(x)=a(x﹣1) +lnx﹣x+1,x∈[1,+∞),则 g(x)max≤0,x∈[1,+∞),
2

2



,?

①当 a≤0 时,若 x>1,则 g′(x)<0,所以 g(x)在[1,+∞)单调递减, ∴g(x)max=g(1)=0≤0 成立,得 a≤0;?

②当

时,

,g(x)在[1,+∞)单调递增,

所以存在 x>1,使 g(x)>g(1)=0,则不成立;? ③当 则存在 ∈[ 时,x= >1,则 f(x)在[1,
2

]上单调递减,[

,+∞)单调递增,

,+∞),有 g( )=a( ﹣1) +ln ﹣ +1=﹣lna+a﹣1>0,

所以不成立,?(13 分) 综上得 a≤0.?(14 分) 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最 小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:(Ⅰ)先求导,根据导数和函数的单调性即可求出单调区间; (Ⅱ)先求导,根据导数和函数的最值的关系即可求出; (Ⅲ)构造函数,转化为设 g(x)=a(x﹣1) +lnx﹣x+1,x∈[1,+∞),则 g(x)
max 2

≤0,x∈[1,+∞),根据导数和函数最值的关系分类讨论即可.
2

解答:解:(Ⅰ)当 a=﹣ 时,f(x)=﹣ (x﹣1) +lnx,(x>0)?

f'(x)=﹣ x+ + =﹣

,?

①当 0<x<2 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; ②当 x>2 时,f'(x)<0,f(x)在(2,+∞)单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).? (Ⅱ)当 a= 时,h(x)=f(x)﹣3lnx+x﹣ = x ﹣2lnx, ∴h′(x)=x﹣ 令 h′(x)=0 解得 x= 当 x∈[1, 故 x= ,? ,e)时,h′(x)>0,
2

]时,h′(x)<0,当 x∈[

是函数 h(x)在[1,e]上唯一的极小值点,? )=1﹣ln2,
2

故 h(x)min=h(

又 h(1)= , h(e)= e ﹣2 所以 h(x)max= e ﹣2.?
2



(Ⅲ)由题意得 a(x﹣1) +lnx≤x﹣1 对 x∈[1,+∞)恒成立,? 设 g(x)=a(x﹣1) +lnx﹣x+1,x∈[1,+∞),则 g(x)max≤0,x∈[1,+∞),
2

2



,?

①当 a≤0 时,若 x>1,则 g′(x)<0,所以 g(x)在[1,+∞)单调递减, ∴g(x)max=g(1)=0≤0 成立,得 a≤0;? ②当 时, ,g(x)在[1,+∞)单调递增,

所以存在 x>1,使 g(x)>g(1)=0,则不成立;? ③当 则存在 ∈[ 时,x= >1,则 f(x)在[1,
2

]上单调递减,[

,+∞)单调递增,

,+∞),有 g( )=a( ﹣1) +ln ﹣ +1=﹣lna+a﹣1>0,

所以不成立,?(13 分) 综上得 a≤0.?(14 分) 点评:本题考查了导数和函数的单调性,极值,最值的关系,以及函数恒成立的问题,培 养学生的转化能力,运算能力,属于难题. 24.考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:(Ⅰ)先求出函数 f(x)的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极小值; (Ⅱ)先求出函数 h(x)的导数,通过讨论 a 的范围,从而得到函数的单调性. 解答:解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),

当 a=1 时,f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ = x f′(x) f(x) (0,1) ﹣ 1 0 极小 (1,+∞) +



∴f(x)在 x=1 处取得极小值 1; (Ⅱ)h(x)=x+ ﹣alnx,

h′(x)=1﹣

﹣ =



①当 a+1>0 时,即 a>﹣1 时,在(0,1+a)上,h′(x)<0, 在(1+a,+∞)上,h′(x)>0, ∴h(x)在(0,1+a)递减,在(1+a,+∞)递增;

②当 1+a≤0,即 a≤﹣1 时,在(0,+∞)上 h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+∞)上递增. 点评:本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,分类讨论思想,是一道中 档题

25.考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:导数的综合应用. 分析:(1)先对 f(x)求导,根据 f'(x)≥0 求出函数单调增区间,f'(x)≤0 求出函 数减区间,注意对 a 的讨论. (2)当 a=1 时,先得出 f(x)的单调区间,指出 f(x)在[ ,e]上单调性求出最值. (3)利用第二问和第一问的单调性证明命题.

解答:

解:f'(x)=

=



a>0 时,f'(x)=0,解得 x= ,因为函数定义域为(0,+∞).列表如下: x (0, ) f'(x) f(x) + ↑ 0 极大值 ( ﹣ ↓ )

∴f(x)在(0, )上增函数,在( ,+∞)为减函数. a<0 时, ,又在(0.+∞)f'(x)<0 成立.则 f(x)的减区间为(0,+∞).

(2)a=1 时,由第一问知 f(x)的单调增区间为(0,1).单调减区间为(1,+∞),所 以 f(x)在[ ,e]上的最大值为 f(1)=0.

f( )=﹣1+ln2.f(e)=

.∵0.69<ln2<0.70,∴﹣0.31<f( )<﹣

0.3.﹣ <﹣0.37.∴f(x)的最小值为﹣ .

(3)证明 ln



.即证 2﹣lnx

,即证,1



令 h(x)=

,h'(x)=

.h'(x)=0.求得 x=1.h'(x)>0,

解得 x>1,即函数的增区间为(1,+∞).减区间为(0,1). 所以 h(x)的最小值为 h(1)=1

所以 h(x)≥1.即 1



即 ln



.证明完毕.

点评:本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值的方法,属中档题型,高考常有涉 及.


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