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第17讲 函数的综合应用


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第 17 讲

函数的综合应用

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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

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考点 函数的综合应用 1.直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解,比较大小等问题. 2.直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、二次不等式和分式方程、 分式不等式的解,比较大小等问题. 3.利用数形结合的思路,借助函数的图象和性质,形象直观地解决有关不等式最大(小) 值、方程的解以及图形的位置关系等问题. 4.利用转化的思想,通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与 x 轴交点的问题. 5.通过几何图形和几何知识建立函数模型,提供设计方案或讨论方案的可行性. 6.建立函数模型后,往往涉及方程、不等式、相似等知识,最后必须检验与实际情况是 否相符合. 7.综合运用函数知识,把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解,涉及 最值问题时,要想到运用二次函数.

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(2010· 河北)如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,顶点 A、C 分别在坐标轴上,顶点 B 的坐标为(4,2).过点 D(0,3)和 E(6,0)的直线分别与 AB、BC 交于点 M、N. (1)求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标; m (2)若反比例函数 y= (x>0)的图象经过点 M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判 x 断点 N 是否在该函数的图象上; m (3)若反比例函数 y= (x>0)的图象与△MNB 有公共点,请直接写出 m 的取值范围. x

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【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用,解决此类题除了明确条件和所求 外,注意用数形结合的思想去分析、解决问题.

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【解答】(1)设直线 DE 的解析式为 y=kx+b, ?3=b, ∵点 D、E 的坐标分别为(0,3)、(6,0),∴ ? ?0=6k+b.

?k=- 1, ? 1 2 解得? 即直线 DE 的解析式为 y=- x+3. 2 ? b=3. ?
∵点 M 在 AB 边上,B(4,2),且四边形 OABC 是矩形,∴点 M 的纵坐标为 2. 1 又∵点 M 在直线 y=- x+3 上, 2 1 ∴2=- x+3,∴x=2,∴M(2,2). 2 m 4 (2)∵y= (x>0)经过点 M(2,2),∴m=4,∴y= . x x 又∵点 N 在 BC 边上,B(4,2),∴点 N 的横坐标为 4. 1 ∵点 N 在直线 y=- x+3 上,∴y=1,∴N(4,1). 2 4 4 ∵当 x=4 时,y= =1,∴点 N 在函数 y= 的图象上. x x (3)4≤m≤8.

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(2010· 荆州)国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产 企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的 生产成本不高于 50 万元, 每套产品的售价不低于 90 万元. 已知这种设备的月产量 x(套)与每 套的售价 y1(万元)之间满足关系式 y1=170-2x, 月产量 x(套)与生产总成本 y2(万元)存在如图 所示的函数关系. (1)直接写出 y2 与 x 之间的函数关系式; .... (2)求月产量 x 的范围; (3)当月产量 x(套)为多少时,这种设备的利润 W(万元)最大?最大利润是多少?

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【点拨】本题考查二次函数与不等式组的综合应用,解决此类题目要搞清已知量和未知 量之间的不等关系,利用函数求极值时,注意自变量的取值是否在题目要求的范围内. 【解答】(1)y2=500+30x ?500+30x≤50x (2)依题意,得 ? ,解得 25≤x≤40. ?170-2x≥90 (3)W=x·1-y2=x(170-2x)-(500+30x) y 2 =-2x +140x-500=-2(x-35) 2+1 950. ∵25<35<40,∴当 x=35 时,W 最大=1 950.故月产量为 35 套时,利润最大,最大利润为 1 950 万元.
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(2010· 襄樊) 为了扶持农民发展农业生产,国家对购买农机的农户给予农机售价 13%的政府补贴.某市农机公司筹集到资金 130 万元,用于一次性购进 A、B 两种型号的收 割机共 30 台. 根据市场需求, 这些收割机可以全部销售, 全部销售后利润不少于 15 万元. 其 中,收割机的进价和售价见下表:

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设公司计划购进 A 型收割机 x 台,收割机全部销售后公司获得的利润为 y 万元. (1)试写出 y 与 x 的函数关系式; (2)市农机公司有哪几种购进收割机的方案? (3)选择哪种购进收割机的方案,农机公司获得最大?最大利润是多少?此种情况下,购 买这 30 台收割机的所有农户获得的政府补贴总额 W 为多少万元?

【点拨】根据表格中的数据,可列出不等式组,取其整数解得到符合题意的生产方案, 然后利用函数的性质解定 x 的取值.

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【解答】(1)y=(6-5.3)x+(4-3.6)(30-x)=0.3x+12. ?5.3x+?30-x?×3.6≤130, (2)依题意,得 ? ?0.3x+12≥15, 16 解得 10≤x≤12 . 17 ∵x 为整数 ∴x=10、11、12 即农机公司有三种购进收割机的方案, 方案一:购 A 型收割机 10 台,购 B 型收割机 20 台; 方案二:购 A 型收割机 11 台,购 B 型收割机 19 台; 方案三:购 A 型收割机 12 台,购 B 型收割机 18 台. (3)∵0.3>0,∴一次函数 y 随 x 的增大而增大. 即 x=12 时,y 有最大值,y 最大=0.3×12+12=15.6(万元). 此时,W=6×13%×12+4×13%×18=18.72(万元).

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1.某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价, 且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 y(件)与销售单价 x(元)符合一次函数 y=kx+b, 且 x=65 时,y=55;x=75 时,y=45. (1)求一次函数 y=kx+b 的表达式; (2)若该商场获得利润为 w 元,试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式,销售单价定 为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围.

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答案: (1)一次函数的表达式为 y=-x+120 (2)w=(x-60)· (-x+120)=-x2+180x-7 200=-(x-90)2+900 销售单价定为 87 元时,最大利润为 891 元 (3)销售单价 x 的范围是 70≤x≤87

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2.某超市经销 A、B 两种商品,A 种商品每件进价 20 元,售价 30 元;B 种商品每件进 价 35 元,售价 48 元. (1)该超市准备用 800 元去购进 A、B 两种商品若干件,怎样购进才能使超市经销这两种 商品所获利润最大(其中 B 种 商品不少于 7 件)? (2) 在 “ 五 · ” 期 间 , 该 商 场 对 A 、 B 两 种 商 品 进 行 如 下 优 惠 促 销 活 动 : 一

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促销活动期间小颖去该超市购买 A 种商品,小华去该超市购买 B 种商品,分别付款 210 元与 268.8 元,促销活动期间小明决定一次性购买小颖和小华购买的同样多的商品,他需付 款多少元?

答案:(1)购进 A 商品 26 件,购进 B 商品 8 件才能使超市经销这两种商品所获利润最大 考 (2)小明付款 382.2 元
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3.某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元,每星期可卖出 80 件,商家决定降价销售,根据市场调查每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多 中 考 少?
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考 点 知 识 精 讲

答案: (1)商家降价前每星期的销售利润为 2 400 元 (2)降价 5 元即销售价定为 125 元时, 可使商品的销售利润最大,最大利润为 2 500 元

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考点训练 17

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函数的综合应用 函数的综合应用 ?训练时间:60分钟 分值:100分 ?训练时间:60分钟 分值:100分?

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考 点 知 识 精 讲

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)

中 考 典 1 例 1. (2009 中考变式题)小敏某次投篮中, 球的运动路线是抛物线 y=- x2+3.5 的一部分(如 5 精 ) 析 图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离 l 是(

举 一 反 三

A.3.5 m C.4.5 m

B.4 m D.4.6 m

1 【解析】由图象可得当 y=3.05 时,- x2+3.5=3.05,解得 x1=1.5,x2=-1.5(舍去), 5 此时他与篮底的距离 l 是 2.5+1.5=4(m).

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【答案】B

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考 点 7 2.(2010· 临沂)已知反比例函数 y=- 图象上三个点的坐标分别是 A(-2,y1)、B(-1, 知 x 识 ) 精 y2)、C(2,y3),能正确反映 y1、y2、y3 的大小关系的是( A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 讲 中 考 典 【解析】先确定三点所在的象限,可知点 A 和点 B 在第二象限,点 C 在第四象限,又 y 例 7 精 =- 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大,所以 y2>y1>0,而点 C 在第四象限,所以 y3<0, x 析

C.y2>y1>y3

D.y2>y3>y1

∴y2>y1>y3.
举 一 反 三

【答案】C

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考 b 点 3.(2011 中考预测题)若 ab<0,则正比例函数 y=ax 与反比例函数 y= 在同一坐标系中 知 x 识 的大致图象可能是( ) 精 讲 中 考 典 例 精 析

举 一 反 三

【解析】排除法.A 图中可得 a>0,b>0,则 ab>0,A 错误;B 图中 a<0,b>0,则 ab<0, B 正确;C 图中 y=ax 的图象没过原点,C 错误;D 图中 a<0,b<0,则 ab>0,D 错误.

【答案】B

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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 4.(2010· 烟台)如图,直线 y1=k1x+a 与 y2=k2x+b 的交点坐标为(1,2),则使 y1 <y2 的 x 例 精 的取值范围为( ) 析

A.x>1 C.x<1

B.x>2 D.x<2

举 一 【解析】观察图象可知,当 x<1 时,直线 y2=k2x+b 的图象在 y1=k1x+a 的上方,即 反 三 y1<y2.

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【答案】C

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考 5.(2009 中考变式题)等腰三角形周长为 4,当底边长 y 是腰长 x 的函数时,此函数的图 点 象是( ) 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

【解析】由题意,得 y=4-2x(1<x<2). 【答案】C

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考 点 6.(2011 中考预测题)烟花厂为扬州 4· 烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼 18 知 5 识 炮, 这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h=- t2+20t+1, 若这种礼炮在点 2 精 讲 火升空到最高点处才引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( ) 中 考 5 5 典 【解析】∵h=- t2+20t+1=- (t-4)2+41,∴当 t=4 s 时,这种礼炮在点火升空达 例 2 2 精 到最高点. 析

A.3 s

B.4 s

C.5 s

D.6 s

举 一 反 三

【答案】B

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考 点 知 识 精 讲 中 考 7.(2010· 荆州)如图,直线 l 是经过点(1,0)且与 y 轴平行的直线.在 Rt△ABC 中,直角 典 k 例 边 AC=4,BC=3,将 BC 边在直线 l 上滑动,使点 A、B 在函数 y= 的图象上,那么 k 的 精 x 析 值是( ) 举 一 反 三

A.3 B.6

C.12 D.

15 4

3 【解析】设点 A 的坐标为(5,y1),B 的坐标为(1,3+y1),由于 k=5y1=3+y1,∴y1= , 4 15 ∴k= . 4

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【答案】D

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8.(2009 中考变式题)如下图的四个图形中,阴影部分面积为 1 的是(

)

1 3 1 3 3 1 【解析】 图中 S 阴影= ×(1+2)×1= , 图中 S 阴影= ×1× = ; 图中 S 阴影= ×1×1 A B C 2 2 2 2 4 2 1 1 = ;D 图中 S 阴影= ×2×1=1. 2 2

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【答案】D

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考 点 9. (2009 中考变式题)某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 知 识 1 y= x2(x>0),若该车某次的刹车距离为 5 m,则开始刹车时的速度为( ) 精 20 讲

A.40 m/s B.20 m/s

C.10 m/s D.5 m/s

中 考 典 例 精 析

【解析】由 y=

1 2 x 知,当 y=5 时,x=± 10,所以刹车速度为 10 m/s. 20

【答案】C

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考 点 知 识 精 讲

10.(2011 中考预测题)如图,点 C 是线段 AB 上的一个动

中 点,AB=1,分别以 AC 和 CB 为一边作正方形,用 S 表示这两个正方形的面积之和, 考 典 下列判断正确的是( ) 例 A.当 C 是 AB 的中点时,S 最小 精 B.当 C 是 AB 的中点时,S 最大 析

举 一 反 三

C.当 C 为 AB 的三等分点时,S 最小 D.当 C 为 AB 的三等分点时,S 最大

1 1 【解析】设 AC=x,则 BC=1-x,∴S=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(x- )2+ ,∴当 2 2 1 x= 时,S 有最小值,此时 C 为 AB 的中点. 2

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【答案】A

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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

1 11.(2010· 潍坊)已知函数 y1=x2 与函数 y2=- x+3 的图象大致如图.若 y1<y2,则自变 2 量 x 的取值范围是________.

举 一 反 三

1 3 【解析】x2=- x+3,解得 x1=-2,x2= .所以两函数图象的交点的横坐标分别是 x1 2 2 3 3 =-2,x2= ,要使 y1<y2,只要 y1 的图象在 y2 的图象的下方即可,即-2<x< . 2 2

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【答案】-2<x<

3 2

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k 考 12.(2009 中考变式题)已知反比例函数 y= 与一次函数 y=2x+k 的图象的一个交点的 点 x 知 横坐标是-4,则 k 的值是________. 识 精 讲 k 32
中 考 典 例 精 析

【解析】当 x=-4 时,- =2×(-4)+k,∴k= . 4 5 【答案】 32 5

13.(2010· 毕节)函数 y=
举 ________. 一 反 三

1-k 的图象与直线 y=x 没有交点,那么 k 的取值范围是 x

【解析】∵y=

1-k 的图象与 y=x 没有交点,∴1-k<0,∴k>1. x

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【答案】k>1

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考 三、解答题(共 42 分) 点 知 k 识 14.(14 分)(2010· 成都)如图,已知反比例函数 y= 与一次函数 y=x+b 的图象在第一象 x 精 讲 限相交于点 A(1,-k+4). 中 (2)求出这两个函数图象的另一个交点 B 的坐标, 并根据图象写出使反比例函数的值大于 考 典 一次函数的值的 x 的取值范围. 例 精 析

(1)试确定这两个函数的表达式;

举 一 反 三

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考 点 k 解:(1)因为反比例函数 y= 与一次函数 y=x+b 的图象在第一象限相交于点 A(1,-k 知 x 识 精 +4), 讲 ?-k+4=k, ?k=2, 中 考 典 例 精 析

所以? 解得 ? ?-k+4=1+b. ?b=1.

2 则这两个函数的表达式分别是 y= ,y=x+1. x ?y=2, ? x ?x1=1, ?x2=-2, (2)由题意? 解得 ? ? y1=2, ?y2=-1. ? ?y=x+1, ?

∴交点 B 的坐标为(-2,-1). 举 一 观察图象知,反比例函数的图象在一次函数图象上方时,反比例函数的值大于一次函数 反 的值,此时对应的 x 的取值范围为 x<-2 或 0<x<1. 三
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考 15.(14 分)(2009 中考变式题)某商场购进一批单价为 50 元的商品,规定销售时单价不低 点 于进价,每件的利润不超过 40%,其中销售量 y(件)与所售单价 x(元)的关系可以近似的看作 知 识 如图所表示的一次函数. 精 讲 中 考 典 例 精 析

(1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出 x 的取值范围; (2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为 W 元,求 W 与 x 之间的函数 举 关系式,当销售单价为何值时,所获利润最大?最大利润是多少?
一 反 三

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解:(1)设 y=kx+b,把(60,400)和(70,300)代入得 ?60k+b=400, ?k=-10, ? ? ? 解得? ∴y=-10x+1 000. ? ? ?70k+b=300, ?b=1 000. ∵50<x≤50(1+40%),即 50<x≤70,∴y=-10x+1 000(50<x≤70). (2)W=y(x-50)=(-10x+1 000)(x-50)=-10x2 +1 500x-50 000=-10(x-75)2 + 6 250. ∵50<x≤70,∴当 x=70 时,所获利润最大为 2 W=-10(70-75) +6 250=6 000(元) 即 W 与 x 之间的函数关系式为 W=-10(x-75)2 +6 250,当销售单价为 70 元时,所获 利润最大,最大利润为 6 000 元.

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考 16.(14 分)(2010· 潍坊)学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面 ABCD,已知矩 点 形广场地面的长为 100 米,宽为 80 米.图案设计如图所示:广场的四角为小正方形,阴影部 知 识 分为四个矩形,四个矩形的宽都为小正方形的边长,阴影部分铺绿色地面砖,其余部分铺白 精 色地面砖. 讲 (1)要使铺白色地面砖的面积为 5 200 平方米,那么矩形广场四角的小正方形的边长为多 中 (2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米 30 元,铺绿色地面砖的费用为每平方米 20 元, 考 典 当广场四角小正方形的边长为多少米时,铺广场地面的总费用最少?最少费用是多少? 例 精 析

少米?

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解:(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为 x 米,根据题意,得 4x2+(100-2x)(80-2x)=5 200, 整理,得 x2-45x+350=0, 解得 x1=35,x2=10. 经检验,x1=35,x2=10 均符合题意. 所以,要使铺白色地面砖的面积为 5 200 平方米,则矩形广场四角的小正方形的边长为 35 米或 10 米. (2)设铺矩形广场地面的总费用为 y 元, 广场四角的小正方形的边长为 x 米, y=30×[4x2 则 +(100-2x)(80-2x)]+20×[2x(100-2x)+2x(80-2x)], 即 y=80x2-3 600x+240 000, 配方,得 y=80(x-22.5) 2+199 500. 当 x=22.5 时,y 的值最小,最小值为 199 500 元. 所以,当矩形广场四角的小正方形的边长为 22.5 米时,所铺广场地面的总费用最少,最 少费用为 199 500 元.

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