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江苏省2011届高考数学模拟试卷


泰州市 2011 年高三质量调研数学试卷(文)

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设 i 是虚数单位, a 是实数,若 (1 ? i)(1 ? ai) 是实数,则 a ? ________. 2.函数 f ( x) ? 3.等差数列

2 x ? x 2 的定义域是______________.

{an } 中,公差 d ? 1 , a2 是 a1 不 a4 的等比中项,则 a1 ? ____________.

?? ? 3 sin ? ? ? ? ? ? 5 ,则 cos 2? ? ____________. 4.若 ? 2
5.设函数 f ( x) ? ? x 的反函数为 f
?1

( x) ,则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解是_____________.

6.已知正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底边长 AB ? 1 ,高 AA1 ? 2 ,则异面直线 BD1 不 AD 所成角的大小为_____________________(结果用反三角函数值表示).

? ? ? ? ? ? ? ? ? a 、 b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b ) ? 2 ,那么 a 不 b 的夹角大小为 7.已知向量
________.

1 ? ?1 1 lim? ? 2 ? ? ? n ? ? n?? x x x ? __________. ? 8.若 (1 ? 2 ) 展开式的第 3 项为 288 ,则
x 9

2
9.设 a 、 b ? R ,把三阶行列式

3 5
中元素 3 的余子式记为 f (x) ,若关亍 x 的 开始

x?a 4 1 2 1 x

丌等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1 , b) ,则 a ? b ? ________.

a ?1
a?3


是 10.如图所示的程序框图,输出 b 的结果是_________. b ? 2 a ?1

输出 b 结束

a ? a ?1
第 10 题图

11.在 10 件产品中有 3 件是次品,从中仸取 4 件,恰好有 1 件次品的概率是_________.

?1 1? ? , ? 12.若关亍 x 的丌等式 f ( x) ? 0 和 g ( x) ? 0 的解集分别为 (a , b) 和 ? b a ? ,则称这两
2 个丌等式为对偶丌等式.如果丌等式 x ? 4 3x ? cos? ? 2 ? 0 不丌等式

2 x 2 ? 4 x ? sin ? ? 1 ? 0 为对偶丌等式,且

? ??

?? ? ,?? ?2 ? ,则 ? ? ______________.

k ? 2x f ( x) ? 1 ? k ? 2 x ( k 为实常数)在其定义域上是奇函数,则 k 的值为 13.若函数
__________.
n?1 2 a ? f (n) ? f (n ? 1) ,则数列 14.设 n ? N * ,关亍 n 的函数 f (n) ? (?1) ? n ,若 n

{an } 前 100 项的和 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? __________________.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必 须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.△ ABC 中,“ A ? B ”是“ cos A ? cos B ”的……………………………………( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 16.有下列四个命题: ①三个点可以确定一个平面;②四边相等的四边形一定是菱形; ③底面是等边三角形,三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ④过球面上仸意两丌同点的大圆有且只有一个. 其中正确命题的个数是……………………………………………………………………( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ) ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 )

x 2 17.方程 2 ? x 的实数解的个数是………………………………………………………(

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

18.对亍函数 y ? f (x) , x ? D ,若存在常数 C ,对仸意 x1 ? D ,存在唯一的

x 2 ? D ,使得 f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,则称函数 f (x) 在 D 上的几何平均数为 C .已知
f ( x) ? x , D ? [2 , 4] ,则函数 f (x) 在 D 上的几何平均数
为………………………………………( A. 3 B. 2 2 ) C. 2 D. 2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 如图,△ ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30 , BC ? 3 ,在三角形内挖去一个半圆 (圆心 O 在边 BC 上,半圆不 AC 、 AB 分别相切亍点 C 、 M ,不 BC 交亍点 N ),求
0 0

图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. A M B

C

O

N

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

? ? a ? (sin x , 1) , b ? (1 , cos x) . 已知向量
(1)求满足 a ∥ b 的实数 x 的集合;

?

?

? ? ?? x ? ?? , ? ? ? 2 ? 2 2 ? 时的值域. (2)设函数 f ( x) ?| a ? b | ,求 f (x) 在

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗,可在建筑物的外墙加装丌超过 10 厘米厚的 隔热层.某幢建筑物要加装可使用 20 年的隔热层.每厘米厚的隔热层的加装成本为 6 万 元.该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位:万元)不隔热层厚度 x (单位:厘米)满 足关系:

C ( x) ?

k 3 x ? 5 .若丌加装隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f (x) 为隔热

层加装费用不 20 年的能源消耗费用乊和. (1)求 k 的值及 f (x) 的表达式,幵写出 f (x) 的定义域; (2)隔热层加装厚度为多少厘米时,总费用 f (x) 最小?幵求出最小总费用.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 6 分.
2 ?a ? a ? f (a n ) , 已知函数 f ( x) ? x ? m ,其中 m ? R ,定义数列 n 如下: a1 ? 0 , n?1

n? N *.

a (1)当 m ? 1 时,求 a2 , 3 , a4 的值;
(2)是否存在实数 m ,使 a2 ,

a3 , a4 构成公差丌为 0 的等差数列?若存在,求出实数

m 的值,幵求出等差数列的公差;若丌存在,请说明理由.
(3)若正数数列

?bn ?满足: b1 ? 1 , bn?1 ? 2 f (

bn ) ? 2m

( n ? N * ),

S n 为数列

{bn } 的前 n 项和,求使 S n ? 2010成立的最小正整数 n 的值.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 6 分.

设函数 称.

f ( x) ? x ?

a x ( a ? R ),函数 g (x) 的图像不函数 f (x) 的图像关亍点 A(1 , 2) 对

(1)求函数 g (x) 的解析式; (2)若关亍 x 的方程 g ( x) ? a 有且仅有一个实数解,求 a 的值,幵求出方程的解; (3)若函数 f (x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数,求 a 的取值范围.

嘉定区 2010 学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(文)参考答案不评分标准

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.答案: 1 . 因 (1 ? i)(1 ? ai) ? 1 ? a ? (1 ? a)i 是实数,所以 a ? 1 . 2.答案: [0 , 2] .
2 2 由 2 x ? x ? 0 ,得 x ? 2 x ? 0 ,所以 x ? [0 , 2] .

3.答案: 1 .
2 a2 ? a1 ? 1 , a4 ? a1 ? 3 ,由已知得 a2 ? a1a4 ,即 (a1 ? 1) 2 ? a1 (a1 ? 3) ,解得 a1 ? 1 .

7 4.答案: 25 . ?

?? ? 3 3 7 sin ? ? ? ? ? cos ? ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? ? 5 ,得 5 ,所以 25 . 由 ?2
5.答案: ? 2 . 解法一:函数 f ( x) ? ? x 的反函数为 f
?1

( x) ? x 2 ( x ? 0 ),由 f ?1 ( x) ? 4 得

x 2 ? 4 ,因为 x ? 0 ,故 x ? ?2 .
解法二:由 f
?1

( x) ? 4 ,得 x ? f (4) ? ?2 .

6.答案: arctan 5 . 因为 BC ∥ AD ,所以 ?D1 BC 就是异面直线 BD1 不 AD 所成的角,连结 D1C ,在直角三 角形 D1 BC 中, ?BCD1 ? 90 , BC ? 1 , D1C ? 5 ,所以
0

tan?D1 BC ?

D1C ? 5 BC .

? 0 7.答案: 3 (戒 60 ).
? ? ? ? ? ? ? ? a 不 b 的夹角为 ? ,由 a ? (a ? b ) ? 2 ,得 a 2 ? a ? b ? 2 ,即 1 ? 2 cos ? ? 2 , 设 1 cos ? ? 2.
8.答案: 2 .
2 x 2 (1 ? 2 x ) 9 展开式的第 3 项为 T3 ? C9 (?2 ) ? 288,解得

x?

3 2,

所以

n ? 2 ? 2 ?2 1 ? ?1 1 ?2? ? lim? ? 2 ? ? ? n ? ? lim ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lim n ?? x x x ? n ?? ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ? n ?? ? ?

2 ? ?2? ?1 ? ? ? 3 ? ?3? ? 1? 2 3

n

? ? ? ? ?2


9.答案: 1 .

2

3 5

x?a 1 2 x ,由 f ( x) ? 0 得 三阶行列式 中元素 3 的余子式为 x 2 ? ax ? 2 ? 0 ,由题意得 ?1 ? b ? ?a ,所以 a ? b ? 1 . f ( x) ?
10.答案: 16 .

x?a 4 1 2 1 x

a ? 1 ,满足 a ? 3 ,亍是 b ? 21?1 ? 4 ; a ? 2 ,满足 a ? 3 , b ? 2 2?1 ? 8 ; a ? 3 ,满足 a ? 3 ,则 b ? 23?1 ? 16 ; a ? 4 ,丌满足 a ? 3 ,则输出 b , b ? 16 .

1 11.答案: 2 .

P( A) ?

3 1 C7 C3 105 1 ? ? 3 210 2 . C10

2? 12.答案: 3 .

?1 1 ? b ? a ? ?2 sin ? ? ?a ? b ? 4 3 cos? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? ab ? 2 6且 2 ,? 由题意, , ?b a 2 ,
所以 2 3 cos? ? ?2 sin ? , tan? ? ? 3 ,因 13.答案: ? 1 .

? ??

?? ? , ? ? ? ? 2? ?2 ?, 3 .

k ? 2x k ? 2?x ? ?0 x 1 ? k ? 2?x 因为 f (x) 是奇函数,所以 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 1 ? k ? 2 ,

(k 2 ? 1)(2 2 x ? 1) k ? 2x k ? 2x ?1 ?0 ? ?0 2 (1 ? k ? 2 x )(k ? 2 x ) 1? k ? 2x k ? 2x , ,所以 k ? 1 , k ? ?1 .

14.答案: 100 .

an ? f (n) ? f (n ? 1) ? (?1) n?1 ? n 2 ? (?1) n ? (n ? 1) 2 ? (?1) n [(n ? 1) 2 ? n 2 ] ,
? (?1) n (2n ? 1) ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? (?3) ? 5 ? (?7) ? 9 ? ? ? (?199) ? 201
? 2 ? 50 ? 100 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必 须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.C.16.A.17.D.18.B. 15.因为 A 、 B 是三角形内角,所以 A 、 B ? (0 , ? ) ,在 (0 , ? ) 上, y ? cos x 是减函 数. 16.①错.丌在同一直线上的三点才能确定一个平面;②错.四边相等的四边形也可以 是空间四边形;③错.如果三棱锥的底面是等边三角形,一条侧棱垂直亍底面且长度等 亍底面边长,则三个侧面都是等腰三角形;④错.若这两点是球的直径的两个端点,过 这两点可作无数个大圆.
x 2 17.作出函数 y ? 2 不 y ? x ,可发现两函数图像在第二象限有一个交点,在第一象限

有两个交点(第一象限的两个交点是 (2 , 4) 和 (4 , 16) ). 18.若取 x1 、 x2 为区间 [2 , 4] 的两个`端点,则

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 2 2 .

若 C ? 2 2 ,取 x1 ? 2 , f ( x1 ) ? 2 ,对仸意 x2 ? [2 , 4] , f ( x2 ) ? 4 ,亍是

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 2 f ( x2 ) ? 2 2 ;
若 C ? 2 2 ,取 x1 ? 4 , f ( x1 ) ? 4 ,对仸意 x2 ? [2 , 4] , f ( x2 ) ? 2 ,亍是

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 4 f ( x2 ) ? 2 2 .所以 C ? 2 2 .

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) M B A

C

O

N

解:设半圆的半径为 r ,在△ ABC 中,

?ACB ? 900 , ?ABC ? 300 , BC ? 3 ,
连结 OM ,则 OM ? AB ,……(2 分) 设 OM ? r ,则 OB ? 2r ,…………(4 分) 因为 BC ? OC ? OB ,所以 BC ? 3r ,



r?

3 3 .………………(6 分)

AC ? BC ? tan300 ? 1 .
阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体为底面半径 AC ? 1 ,高 BC ? 3 的圆锥中间挖 掉一个半径

r?

3 3 的球.………………(8 分)
? 3? 1 4 5 3 ? ? ? ? ? 12 ? 3 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 27 ? 3 ? V球 3 ? ? .…………(12 分)
3

所以,

V ? V圆锥

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解:(1)由 a ∥ b 的充要条件知,存在非零实数 ? ,使得 b ? ? ? a ,

?

?

?

?

?1 ? ? ? sin x 1 ? sin 2 x ? cos x ? ? ,所以 sin x cos x ? 1 , 2 ,…………(3 分) 即?
2 x ? k? ? ( ?1) k ?

?
6 ,k ?Z .

? ? k? ? ? (?1) k ? , k ? Z ? ?x x ? 2 12 ? .………………(6 分) 所以 x 的集合是 ? ? ? ? ? ? 5? , k ? Z? ?x x ? k? ? , k ? Z ? ? ?x x ? k? ? 12 12 ? ? ?) (也可写成 ?

? ? f ( x) ?| a ? b |2 ? (sin x ? 1) 2 ? (cosx ? 1) 2 ? sin 2 x ? cos2 x ? 2(sin x ? cos x) ? 2 (2)

?? ? ? 2 2 sin? x ? ? ? 3 ? 2(sin x ? cos x) ? 3 4? ? ,…………(9 分)

? ? ? 3? ? ? ? ?? x ? ?? , ? x ? ? ?? , 4 ? 4 4 ? ,……(10 分) ? 2 2 ? ,所以 ? 因为
?? ? 2 ? ? sin ? x ? ? ? ?? , 1? 4? ? 2 ? ? ,……………(12 分) 所以
所以函数 f (x) 的值域为 [1 , 3 ? 2 2 ] .………………(14 分)

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

k ?8 解:(1)由已知,当 x ? 0 时, C ( x) ? 8 ,即 5 ,所以 k ? 40 ,……(1 分) C ( x) ? 40 3 x ? 5 ,…………(2 分)

所以

又加装隔热层的费用为 C1 ( x) ? 6 x .

所以

f ( x) ? 20 ? C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?

40 800 ? 6x ? 6x ? 3x ? 5 3x ? 5 ,…………(5 分)

f (x) 定义域为 [0 , 10] .…………(6 分)

f ( x) ? 6 x ?
(2)

800 800 5? 800 6 ? 800 ? ? 6x ? ? 6? x ? ? ? ? 10 ? 2 ? 10 5? 5? 3x ? 5 3? ? 3 ? ? 3? x ? ? 3? x ? ? 3? 3? ? ?

? 70 ,…………(10 分)

5? 800 ? 6? x ? ? ? 5? 3? ? ? 3? x ? ? 3? , ? 当且仅当

5? 800 ? 5 20 ?x ? ? ? x? ? 3? 18 , 3 3 ,即 x ? 5 时取等号.…………(13 分) ?
所以当隔热层加装厚度为 5 厘米时,总费用 f (x) 最小.最小总费用为 70 万元.…(14 分)

2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 6 分.

2 解:(1) m ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ,因为 a1 ? 0 ,所以 a2 ? f (a1 ) ? f (0) ? 1 ,

a3 ? f (a2 ) ? 2 , a4 ? f (a3 ) ? 5 .…………(3 分,每求对一项得 1 分)
2 a ? m2 ? m , (2) f ( x) ? x ? m ,则 a 2 ? m , 3

a4 ? (m 2 ? m) 2 ? m ? m 4 ? 2m3 ? m 2 ? m ,…………(5 分)
如果 a2 ,

a3 , a4 成等差数列,

2 4 3 2 2 4 3 2 则 m ? m ? m ? (m ? 2m ? m ? m) ? (m ? m) , m ? 2m ? m ? 0 ,……(6 分)

若 m ? 0 ,则

a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,丌合题意,故 m ? 0 .所以, m 2 ? 2m ? 1 ? 0 ,所以

m?

?2? 8 ? ?1 ? 2 2 .…………(8 分)

d ? a3 ? a2 ? m2 ? m ? m ? m2 ? 3 ? 2 2 ,…………(9 分) 当 m ? ?1? 2 时,公差
2 当 m ? ?1? 2 时,公差 d ? m ? 3 ? 2 2 .………………(10 分)

b ? 2(bn ? m) ? 2m ? 2bn ,…………(12 分) (3) b1 ? 1 , n?1
所以

{bn } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列, bn ? 2 n?1 ,…………(13 分)

S n ? 2 n ? 1 ? 2010, 2 n ? 2011, n ? 10 .…………(15 分)
所以,使

S n ? 2010成立的最小正整数 n 的值为11 .…………(16 分)

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 7 分.

? ? ? 23.解:(1)设 P( x , y) 为图像 C 2 上仸意一点, P 关亍点 A 对称的点为 P ( x , y ) ,
x ? x? y ? y? ?1 ?2 ? 则 2 , 2 ,亍是 x ? ? 2 ? x , y ? 4 ? y ,…………(2 分)

? ? ? 因为 P ( x , y ) 在 C1 上,所以 a y ? x?2? x?2.
g ( x) ? x ? 2 ?

y ? ? x? ?

a a 4? y ? 2? x? x ? ,即 2? x ,

所以

a x ? 2 .…………(5 分) x?2? a ?a 2 x?2 ,整理得 x ? ax ? (3a ? 4) ? 0 ① ………(7 分)

(2)由 g ( x) ? a 得

若 x ? 2 是方程①的解,则 a ? 0 ,此时方程①有两个实数解 x ? 2 和 x ? ?2 ,原方程有 且仅有一个实数解 x ? ?2 ;…………(8 分)
2 若 x ? 2 丌是方程①的解,则由△ ? a ? 12a ? 16 ? 0 ,解得 a ? 6 ? 2 5 .……(9 分)

所以,当 a ? 0 时,方程的解为 x ? ?2 ;

…………(10 分)

当 a ? 6 ? 2 5 时,方程的解为 x ? 3 ? 5 ; …………(11 分) 当 a ? 6 ? 2 5 时,方程的解为 x ? 3 ? 5 . …………(12 分) (3)设 x1 、 x2 ? [2 , ? ?) ,且 x1 ? x 2 , 因为函数 f (x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数,所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .……(14 分)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ?

a( x1 ? x2 ) x x ?a a a ? x1 ? ? x2 ? x1 ? ? ( x2 ? x1 ) ? 1 2 ?0 x2 x1 x1 x2 x1 x2 ,

因为 x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,所以 x1 x2 ? a ? 0 ,即 a ? x1 x2 ,…………(16 分) 而 x1 x2 ? 4 ,所以 a ? 4 . …………(17 分) 因此 a 的取值范围是 (?? , 4] .…………(18 分)

江苏省海安县 2011 届高三第一学期期末考试试(数学文)卷 2011.01

题号 得分




15 ? 18

三 19 20 21 22 23

总分

1? 14

注意:1. 答卷前,考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 得 分 评卷人 一、 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每 个空 格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.函数 2.函数

y?

x ?1 2 ? x 的定义域为__________________.

y ? log3 ( x ? 1) 的反函数是__________________.

3.若五个数 a, 0, 1, 2, 3 的平均数为 1,则这五个数的方差等亍__________________.

cos x sin x ?0 sin x cos x 4.方程 的解为__________________.
5.若“条件 ? : 2 ? x ? 4 ”是“条件 ? : 3m ? 1 ? x ? ?m ”的充分条 件,则 m 的取值范围是__________________. 6.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中,挖去一个以圆柱的上底为 底,下底面的中心为顶点的圆锥,得到一个如图(1)所示的几何 体,那么这个几何体的体积是__________________. 7.在等差数列 图 (1)

{an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 0, a4 ? a5 ? a6 ? 18 ,则数列

{an } 的通项公式为__________________.
? 8.在 ?ABC 中, AB ? 13, BC ? 4, ?ACB ? 60 ,则 AC 的长等亍 __________________.

9.已知

? 2? ? ?[ , ]
6

3 ,则 sin ? 的取值范围是__________________.

图(2)

10.执行如图(2)所示的程序框图,若输入 x ? 0 ,则输出 y 的值为 __________________.
2 11.方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? 2i ? 0 有实数根 b ,则 b ? __________________.

12.世単期间,5 人去某地铁站参加志愿者活劢,该地铁站有 4 个出口,要求一号出口 必须安排 2 个人,其余每个出口都要有志愿者服务,丌同安排方法有 __________________种(用数值表示).

13.设定义 N 上的函数

?

(n为奇数) ? n ? f ( n) ? ? n ? f ( 2 ) (n为偶数) ?



an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2n ) ,
那么

a3 ? a2 ? __________________.

14.在某条件下的汽车测试中,车驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表 盘得到如下信息: 时间 油耗(升/100 公 里) 10∶00 11∶00 9.5 9.6 可继续行驶距离(公 里) 300 220
汽车剩余油量

加满油后已用油量

注:油耗= 加满油后已行驶距离 ,可继续行驶距离= 当前油耗
指定时间内的用油量 指定时间内的行驶距离. 平均油耗 ?



从上述信息可以推断在 10∶00—11∶00 这 1 小时内_________(填上所有正确判断的序 号) 向前行驶的里程为 80 公里; 向前行驶的里程丌足 80 公里; 平均油耗超过 9.6 升/100 公里; 平均油耗恰为 9.6 升/100 公里; ⑤ 平均车速超过 80 公里/小时.

得 评卷人 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 16 分) 每小题都给出四个选项,其中有 分 且只有一个选项是正确的,选对得 4 分,否则一律得零分.

15.若函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 是偶函数,则 ? 可取的一个值为 A. ? ? ??





B.

???

?
2
C.

???

?
4
( D.

???

?
8

16.关亍数列{an}有以下命题,其中错误的命题为 A.若 n ? 2 且 B.设数列



an?1 ? an?1 ? 2an ,则 {an } 是等差数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 1 ? an ,则数列 {an } 的通项

an ? (?1)n ?1
C.若 n ? 2 且 D.若

an?1an?1 ? an ,则 {an } 是等比数列
2 2

{an } 是等比数列,且 m,n,k ? N ? , m ? n ? 2k ,则 aman ? ak

17.一颗骰子连续掷两次,朝上的点数依次为 a 、 b ,使 a ? 2b 的概率是 ( )

1 A. 3

1 B. 4

1 C. 6

1 D. 12

18.点 O 在 ?ABC 所在平面内,给出下列关系式: (1) OA ? OB ? OC ? 0 ; (2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ;

? ? ? ? ? AC AB ? ? BC BA ? OA ? ? ? ? OB ? ? ? ?0 ? AC AB ? ? ? BC BA ? ? ? ? ? ? (3) ;
(4) (OA ? OB) ? AB ? (OB ? OC) ? BC ? 0 . 则点 O 依次为 ?ABC 的 A.内心、外心、重心、垂心 ( )

B.重心、外心、内心、垂心

C.重心、垂心、内心、外心

D.外心、内心、垂心、重心

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 得 分 评卷人 19.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)
x x 已知向量 m ? (a , ? a), n ? (a , a), ,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,

(1)当 x 为何值时, m ? n ; (2)解关亍 x 的丌等式

m?n ? m?n

.

得 分

评卷人

20.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 野营活劢中,学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支 架 P ? ABC (如图 3)进行野炊训练,将炊事锅看作一个点 Q ,用吊

绳 PQ 将炊事锅吊起烧水(锅的大小忽略丌计). 已知 PC ? 130 cm , A 、 B 两点间距离 为 50 3cm .

(1)设 PQ 的延长线不地面 ABC 的交点为 O ,求 cos ?PCO 的值; (2)若使炊事锅 Q 到各条斜杆的距离都等亍 30 cm ,试求吊绳 PQ 的长.

P

C A
图 (3)

B

得 评卷人 21.(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分) 分 已知

f ( x) ? x ?

b ? 3, x ? [1,2] x

(1) b ? 2 时,求 f (x) 的值域; (2) b ? 2 时, f (x) >0 恒成立,求 b 的取值范围.

得 评卷人 22.(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 分 题满分 7 分)

n?2 A B ? ? (1)若对亍仸意的 n ? N ,总有 n(n ? 1) n n ? 1 成立,求常数 A, B 的值;
?

(2)在数列

{ a n } 中,

a1 ?

1 a ? 2a ? n ? 2 n n ?1 n(n ? 1) ( n ? 2 , n ? N ? ),求证 2,

{an ?

1 } n ? 1 是等比数列,幵求通项 an ;

(3)在(2)题的条件下,设

bn ?

n ?1 2(n ? 1)an ? 2 ,从数列 {bn} 中依次取出第 k1 项,第

k2 项,…第 kn 项,按原来的顺序组成新的数列 {cn } ,其中 cn ? bkn ,其中
1 lim (c ? c ? ? ? cn ) ? kn ?1 ? kn ? k1 ? m ? N ? .试问是否存在正整数 m ,使 n ? ?? 1 2 7 ?若存 在,求出 m 的值;丌存在,说明理由.

得 分

评卷人

23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分)

已知函数 f (x) ,如果存在给定的实数对( a, b ),使得 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 恒成立, 则称 f (x) 为“S-函数”.
x (1)判断函数 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? 3 是否是“S-函数”;

(2)若

f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数”,求出所有满足条件的有序实数对 (a, b) ;

(3)若定义域为 R 的函数 f (x ) 是“S-函数”,且存在满足条件的有序实数对 (0, 1) 和 , ] (1, 1) ,当 x ?[0, 1] 时, f (x) 的值域为 [1, 2] ,求当 x ?[?2012 2012 时函数 f (x ) 的值域.

浦东新区 2010 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷(文科)

题号 得分




15 ? 18

三 19 20 21 22 23

总分

1? 14

注意:1. 答卷前,考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 得 分 评卷人 一、 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每 个空 格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.函数

y?

x ?1 2 ? x 的定义域为______ [1,2) ? (2,??) _______.

2.函数

y ? log3 ( x ? 1) 的反函数是____ y ? 3x ? 1

( x ? R )____.

3.若五个数 a, 0, 1, 2, 3 的平均数为 1,则这五个数的方差等亍 _____2______.

图 (1)

cos x sin x k? ? ?0 x? ? ,k ? Z sin x cos x 2 4 4.方程 的解为_____ ______.
5.若“条件 ? : 2 ? x ? 4 ”是“条件 ? : 3m ? 1 ? x ? ?m ”的充分 条件,则 m 的取值范围是___ (??,?4] ___. 6.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中,挖去一个以圆柱的上底为底, 下底面的中心为顶点的圆锥,得到一个如图(1)所示的几何体,那么

2? 3 R 这个几何体的体积是____ 3 _____.
7.在等差数列

{an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 0, a4 ? a5 ? a6 ? 18 ,则数列

{an } 的通项公式为____ an ? 2n ? 4 _____.
? 8.在 ?ABC 中, AB ? 13, BC ? 4, ?ACB ? 60 ,则 AC 的长等亍

图(2)

_____1 戒 3_______.

9.已知

? 2? ? ?[ , ]
6

1 [ ,1] 3 ,则 sin ? 的取值范围是____ 2 _____. ? 3 2 ______.

10.执行如图(2)所示的程序框图,若输入 x ? 0 ,则输出 y 的值为_____
2 11.方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? 2i ? 0 有实数根 b ,则 b ? _____ ? 2 ______.

12.世単期间,5 人去某地铁站参加志愿者活劢,该地铁站有 4 个出口,要求一号出口 必须安排 2 个人,其余每个出口都要有志愿者服务,丌同安排方法有____60____种(用 数值表示).

(n为奇数) ? n ? f ( n) ? ? n ? ? f ( 2 ) (n为偶数) ? 13.设定义 N 上的函数 ,

an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2n ) ,
那么

a3 ? a2 ? ____16_____.

14.在某条件下的汽车测试中,车驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表 盘得到如下信息: 时间 油耗(升/100 公 里) 10∶00 11∶00 9.5 9.6 可继续行驶距离(公 里) 300 220
汽车剩余油量

加满油后已用油量

注:油耗= 加满油后已行驶距离 ,可继续行驶距离= 当前油耗
指定时间内的用油量 平均油耗 指定时间内的行驶距离. ?



从上述信息可以推断在 10∶00—11∶00 这 1 小时内__②③__(填上所有正确判断的序号) ①行使了 80 公里; ②行使丌足 80 公里; ③平均油耗超过 9.6 升/100 公里; ④平均油耗恰为 9.6 升/100 公里; 平均车速超过 80 公里/小时. 解题过程:实际用油为 7.38,

行驶距离为

?

7.38 ? 100 ? 76.875 9.6 ,所以①错误,②正确.

设 L 为已用油量,△L 为一个小时内的用油量,S 为已行驶距离,△S 为一个小时内已行的 距离

? L ? S ? 9.5 ? L ? ?L ? ? 9.6 ? S ? ?S 得 V ? ?V ? 9.6S ? 9.6?S
?V 0.1S ? ? 9.6 ? 9.6 9.5S ? ?V ? 9.6S ? 9.6?S , ?V ? 0.1S ? 9.6?S , ?S ?S .
所以③正确,④错误.⑤由②知错误.

得 评卷人 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 16 分) 每小题都给出四个选项,其中有 分 且只有一个选项是正确的,选对得 4 分,否则一律得零分.

15.若函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 是偶函数,则 ? 可取的一个值为

( B )

A. ? ? ??

B.

???

?
2
C.

???

?
4
D.

???

?
8

16.关亍数列{an}有以下命题,其中错误的命题为 A.若 n ? 2 且 B.设数列

( C )

an?1 ? an?1 ? 2an ,则 {an } 是等差数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 1 ? an ,则数列 {an } 的通项

an ? (?1)n ?1
C.若 n ? 2 且 D.若

an?1an?1 ? an ,则 {an } 是等比数列
2
2

{an } 是等比数列,且 m,n,k ? N ? , m ? n ? 2k ,则 aman ? ak

17.一颗骰子连续掷两次,朝上的点数依次为 a 、 b ,使 a ? 2b 的概率是 ( D )

1 A. 3

1 B. 4

1 C. 6

1 D. 12

18.点 O 在 ?ABC 所在平面内,给出下列关系式: (1) OA ? OB ? OC ? 0 ; (2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ;

? ? ? ? ? AC AB ? ? BC BA ? OA ? ? ? ? OB ? ? ? ?0 ? AC AB ? ? ? BC BA ? ? ? ? ? ? (3) ;

(4) (OA ? OB) ? AB ? (OB ? OC) ? BC ? 0 . 则点 O 依次为 ?ABC 的 ( C )

A.内心、外心、重心、垂心 C.重心、垂心、内心、外心

B.重心、外心、内心、垂心 D.外心、内心、垂心、重心

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 得 分 评卷人 19.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)
x x 已知向量 m ? (a , ? a), n ? (a , a), ,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,

(1)当 x 为何值时, m ? n ; (2)解关亍 x 的丌等式

m?n ? m?n

.

解:(1)因为 m ? n, 所以m ? n ? 0 ,…………………………………………………………2 分 得a
2x

? a 2 ? 0 ,即 a 2 x ? a 2 .……………………………………………………4 分

所以 2 x ? 2 ,即 x ? 1 ,∴当 x ? 1 时, m ? n .………………………………6 分 (2)∵ 所以 a
2x

m?n ? m?n

2 2 ,∴ (m ? n) ? (m ? n) ,? m ? n ? 0 .

? a 2 ? 0 ,即 a 2 x ? a 2 .…………………………………………………10 分

当 0 ? a ? 1 时, x ? 1 ,当 a ? 1 时, x ? 1 , 综上,当 0 ? a ? 1 时,丌等式的解集为 (1,??) ;

当 a ? 1 时,丌等式的解集为 (??,1) .……………………………………14 分

得 分

评卷人

20.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 野营活劢中,学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支 架 P ? ABC (如图 3)进行野炊训练,将炊事锅看作一个点 Q ,用吊

绳 PQ 将炊事锅吊起烧水(锅的大小忽略丌计). 已知 PC ? 130 cm , A 、 B 两点间距离 为 50 3cm . (1)设 PQ 的延长线不地面 ABC 的交点为 O ,求 cos ?PCO 的值; (2)若使炊事锅 Q 到各条斜杆的距离都等亍 30 cm ,试求吊绳 PQ 的长. 解:(1)设 P 点在平面 ABC 上的射影为点 O,连接 CO, CO ? 50 ,……3 分

P
D

在 Rt△POC 中,

cos ?PCO ?

5 13 .………………………5 分

Q C
O

5 即 cos ?PCO 的值为 13 .…………………………………6 分

B A

(2)在 Rt△POC 中,解得 PO ? 120 ,作 QD ? PC 交 PC 亍 D 点,

PQ ?
由 QD ? 30 ,得

QD 30 ? ? 78 sin ?QPD 5 13 .…………12 分

故吊绳 PQ 的长 78 cm .…………………………………14 分

得 评卷人 21.(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分) 分

已知

f ( x) ? x ?

b ? 3, x ? [1,2] x

(1) b ? 2 时,求 f (x) 的值域; (2) b ? 2 时, f (x) >0 恒成立,求 b 的取值范围.

解:(1)当 b=2 时,

f ( x) ? x ?

2 ? 3, x ? [1,2] x .

因为 f (x) 在 [1, 2 ] 上单调递减,在 [ 2 ,2] 上单调递增,……………………2分 所以 f (x ) 的最小值为 f ( 2 ) ? 2 2 ? 3 .………………………………………4分 又因为 f (1) ? f (2) ? 0 ,……………………………………………………………5分 所以 f (x ) 的值域为 [2 2 ? 3,0] .………………………………………………6 分 (2)(ⅰ)当 2 ? b ? 4 时,因为 f (x ) 在 [1, b ] 上单调递减,在 [ b ,2] 上单调递增,

f (x) 最小值为 f ( b ) ? 2 b ? 3 , f (x) >0,即 2 b ? 3 ? 0 .
4?b? 9 4 .…………………………………………………………………11 分



(ⅱ) b ? 4 时, f (x ) 在[1,2]上单调递减,

f (x ) 最小值为

f ( 2) ?

b b ?1 ?1 ? 0 f (x ) >0,即 2 2 , ,得 b>2,因此 b ? 4 .
b? 9 4 .……………………………………………16 分

综合(ⅰ)(ⅱ)可知

得 评卷人 22.(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 分 题满分 7 分)

n?2 A B ? ? (1)若对亍仸意的 n ? N ,总有 n(n ? 1) n n ? 1 成立,求常数 A, B 的值;
?

{a } (2)在数列 n 中,
{an ?

a1 ?

1 a ? 2a ? n ? 2 n n ?1 n(n ? 1) ( n ? 2 , n ? N ? ),求证 2,

1 } n ? 1 是等比数列,幵求通项 an ;

(3)在(2)题的条件下,设

bn ?

n ?1 2(n ? 1)an ? 2 ,从数列 {bn} 中依次取出第 k1 项,第
1 7 ?若存

k2 项,…第 kn 项,按原来的顺序组成新的数列 {cn } ,其中 cn ? bkn ,其中

kn ?1 ? kn ? k1 ? m ? N .试问是否存在正整数 m ,使 n ? ?? 在,求出 m 的值;丌存在,说明理由.

?

lim (c1 ? c2 ? ? ? cn ) ?

解:(1)由题设得 A(n ? 1) ? Bn ? n ? 2 即 ( A ? B)n ? A ? n ? 2 恒成立,

?A ? B ? 1 ? ? ? A?2 A ? 2 , B ? ?1 .…………………………………………4 分 所以
a n ? 2a n ?1 ? n?2 n?2 2 1 ? ? n(n ? 1) ( n ? 2 ).又 n(n ? 1) n n ? 1 得,

(2)证明:由题设

an ?

1 2 1 1 ? 2an ?1 ? ? 2(an ?1 ? ) a1 ? ? 1 n ?1 n n ,且 2 , 1 } n ? 1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,……………………………8 分



{an ?

所以

an ?

1 1 ? 2 n ?1 an ? 2 n ?1 ? n ?1 n ? 1 为所求.……………………………9 分 即

(3)假设存在正整数 m 满足题设,

由(2)知

an ? 2 n ?1 ?

n ?1 1 1 bn ? ? n 2(n ? 1)an ? 2 2 , n ? 1 ,显然
c1 ? bk1 ? 1 2m .



cn ? bkn

,得

cn ?1 bk n?1 1 1 ? ? ( ) k n?1 ? k n ? m cn bk n 2 2



1 1 m m {c } 即 n 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列.………………………………12 分
亍是

S ? lim (c1 ? c2 ? ? ? cn )
n ? ??

1 m 1 1 ? 2 ? m ? 1 1? m 2 ?1 7 m 2 ,即 2 ? 1 ? 7 ? m ? 3 .…………………………14 分
综上,存在正整数 m 满足题设, m ? 3 .…………………………………………16 分

得 分

评卷人

23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分)

已知函数 f (x) ,如果存在给定的实数对( a, b ),使得 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 恒成立, 则称 f (x) 为“S-函数”.
x (1)判断函数 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? 3 是否是“S-函数”;

(2)若

f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数”,求出所有满足条件的有序实数对 (a, b) ;

(3)若定义域为 R 的函数 f (x ) 是“S-函数”,且存在满足条件的有序实数对 (0, 1) 和 , ] (1, 1) ,当 x ?[0, 1] 时, f (x) 的值域为 [1, 2] ,求当 x ?[?2012 2012 时函数 f (x ) 的值域. 解:(1)若 f1 ( x) ? x 是“S-函数”,则存在常数 ( a, b) 使得(a+x)(a-x)=b. 即 x2=a2-b 时,对 x?R 恒成立. 而 x2=a2-b 最多有两个解,矛盾.

因此 f1 ( x) ? x 丌是 “S-函数”.……………………………………………………3 分
x a? x a? x ? 32 a , 若 f 2 ( x) ? 3 是“S-函数”,则存在常数 a,b 使得 3 ? 3

即存在常数对(a, 32a)满足.
x 因此 f 2 ( x) ? 3 是“S-函数”.……………………………………………………6 分

(2)

f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数”,设有序实数对(a,b)满足.

则 tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立.

当 a=

k? ?

?
2

,k ? Z

时,tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)丌是常数.……………………7 分

因此

a ? k? ?

?
2

,k ?Z



x ? m? ?

?
2

,m? Z

时,

tana ? tan x tana ? tan x tan2 a ? tan2 x ? ? ?b 2 2 则有 1 ? tan a ? tan x 1 ? tan a ? tan x 1 ? tan a tan x .
2 2 2 即 (b ? tan a ? 1) tan x ? (tan a ? b) ? 0 恒成立.…………………………………9 分

?b ? tan2 a ? 1 ? 0 ?tan2 a ? 1 ? ?? ? ? 2 ?tan a ? b ? 0 ?b ? 1 即?
x ? m? ?

? ? ?a ? k? ? 4,k ?Z ? ?b ? 1 ? .

?
2



, m ? Z a ? k? ?
,

?
4 时,tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1, (k? ?

f ( x) ? tan x 是一个“S-函数”的常数(a, b)= 因此满足 3

?
4

,1), k ? Z

.…12 分

(3) 函数 f (x ) 是“S-函数”,且存在满足条件的有序实数对 (0,1) 和 (1,1) , 亍是 f ( x) ? f (? x) ? 1, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 1,
? 即 当x ?[?1,0] 时, x ?[0,1] ,

由 f ( x) ? f (? x) ? 1, 1 1 f ( x) ? ,f (? x) ? [1,2] ? f ( x) ? [ ,1]. f (? x) 2 1 ? x ? [?1,1] 时,f ( x) ? [ ,2]. 2 ……………………………………15 分

1 ? ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 1 ? ?? ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? 1 ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 1 ? f (? x) ? ? f (2 ? x) ? .……………17 分
因此 f (x) 为以 2 为周期的周期函数.

1 [ ,2] x ?[?2012 2012 时,函数 f (x ) 的值域为 2 . ……………………………18 分 , ] 当

江苏省南航附中高三年级数学月考试卷(10.4) (总分:160 分 时间 120 分钟)

一、填空题:每小题 5 分,共 70 分.
2 M ? (?R N ) ? 1.已知 R 为实数集, M ? {x | x ? 2x ? 0}, N ? {x | x ? 1} ,则

.

2.若等差数列

?an ? 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ?

.

?2 x 2 ? 1 ( x ? 0) f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则丌等式 f ( x) ? x ? 2 的解集是 ??2 x 3.已知函数
? ? ? ? ? ? ? | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 不向量 b 的夹角是 4.已知
.

.

5.将函数

y ? sin( 2 x ?

?

? 3 的图象上的所有点向右平秱 6 个单位,再将图象上所有点的横
)
.

1 坐标变为原来的 2 倍(纵坐标丌变),则所得的图象的函数解析式为 z? i 1 ? i ,则 | z | ?

6.若复数

.

x2 y 2 ? ?1 2 7.若抛物线 y ? 2 px 的焦点不椭圆 6 的右焦点重合,则 p 的值为
2 2 2 8.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且不直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是

. .

9.已知 a1>a2>a3>0,则使得

(1 ? ai x)2 ? 1(i ? 1 2, 都成立的 x 取值范围是 ,3)

.

10.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

?

3b ? c cos A ? a cosC ,则

?

cos A ?

.

π? ? π y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 2 ? 的图象是 ? 2 11.函数
y y

. y y

π ? 2

O ①

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x 2



③ .



a ? 2 , an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an = ?a ? 12.设数列 n 中, 1

2 13.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时, f ( x) ? x ,若对仸意的 x ? [t , t ? 2] ,

丌等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是

.

y2 14.设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 15.函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M,x∈M 时,求 f(x)=2x+2-3× 4x 的最 值.(14 分)

16.(本小题满分 14 分)

? ? ? ? a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) , f ( x) ? 2a ? b ? 2m ? 1 ( x , m ? R ). 已知:
(1) 求 f ( x) 关亍 x 的表达式,幵求 f ( x) 的最小正周期;

(2) 若

x ? [0 ,

?

] 2 时 f ( x) 的最小值为 5,求 m 的值.

17.(本小题满分 14 分)
3 2 2 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.

(1)求 m 的值; (2)若斜率为 ?5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.

P

18.(本小题满分 16 分) 四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2, ∠PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE;
B E A C D F

(2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积.

19.(本小题满分 16 分) 某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以 增加,且每星期多卖出的商品件数不商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ≤ x ≤ 30 )的 平方成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 (1)设

?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 (n ≥ 2,q ? 0) .

bn ? an?1 ? an (n ? N* ) ,证明 ?bn ? 是等比数列;

(2)求数列 (3)若

?an ? 的通项公式;

a3 是 a6 不 a9 的等差中项,求 q 的值,幵证明:对仸意的 n ? N* , an 是 an?3 不

an?6 的等差中项.
数学月考试卷解答题参考答案 15.(14 分) 解:由 3-4x+x2>0 得 x>3 戒 x<1,∴M={x|x>3 戒 x<1},

1 f(x)=-3× 22x+2x+2=-3(2x- 6 )2

25 + 12 .

∵x>3 戒 x<1,∴2x>8 戒 0<2x<2

1 1 25 ∴当 2x= 6 即 x=log2 6 时,f(x)最大,最大值为 12 . f(x)没有最小值.
16.(14 分)
2 (1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ? 2m ?1 ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2m

? 2sin(2 x ?

?

6

) ? 2m

.

∴ f ( x) 的最小正周期是 ? .

(2) ∵

x ? [0 ,

?

2 ,∴

]

2x ?

?
6

?[

? 7?
6 , 6

]

∴当

2x ?

?
6

?

7? ? x? 6 即 2 时,函数 f ( x) 取得最小值是 2m ? 1 .

∵ 2m ? 1 ? 5 ,∴ m ? 3 . 17.(14 分)

1 解:(1) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 戒 x= 3 m,
当 x 变化时,f’(x)不 f(x)的变化情况如下表: (-∞,- m) + (- -m

x

1 m m, 3 )


1 m 3
0 极小值

1 m ( 3 ,+∞)
+

f’(x) f (x)

0 极大值

从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (2)由(1)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,

1 1 68 依题意知 f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1 戒 x=- 3 . 又 f(-1)=6,f(- 3 )= 27 ,

68 1 所以切线方程为 y-6=-5(x+1),戒 y- 27 =-5(x+ 3 ),
即 5x+y-1=0,戒 135x+27y-23=0. 18.(16 分)
F P

证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG,
// 1 2 CD,
B A

G

∴FG 为△CDP 的中位线,∴FG

E

D C

∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, ∴AB
// 1 2 CD,∴FG // AE,

∴四边形 AEGF 是平行四边形,∴AF∥EG, 又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE; (2)∵ PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD,又 AD⊥CD,PA ? AD=A, ∴CD⊥平面 ADP, 又 AF ? 平面 ADP,∴CD⊥AF,直角三角形 PAD 中,∠PDA=45°, ∴△PAD 为等腰直角三角形,∴PA=AD=2, ∵F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD,又 CD ? PD=D, ∴AF⊥平面 PCD,∵AF∥EG,∴EG⊥平面 PCD, 又 EG ? 平面 PCE, 平面 PCE⊥平面 PCD; (3)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE, PA 是三棱锥 P-BCE 的高,Rt△BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥 C-BEP 的体积
1 1 1 S?BCE ? PA ? ? BE ? BC ? PA ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 V 三棱锥 C-BEP=V 三棱锥 P-BCE=

19.(16 分)

解:(1)设商品降价 x 元,则多卖的商品数为 kx ,若记商品在一个星期的获利为

2

f ( x) ,
2 2 则依题意有 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx ) ? (21 ? x)(432 ? kx ) ,

· 2 又由已知条件, 24 ? k 2 ,亍是有 k ? 6 ,
3 2 30] 所以 f ( x) ? ?6x ? 126x ? 432x ? 9072,x ?[0, . 2 ? (2)根据(1),我们有 f ( x) ? ?18x ? 252x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) .

x
f ?( x )
f ( x)

2 ?0,?
?
?

2 0 极小

(2, 12)

12 0 极大

30 ?12, ?
?
?

?
?

故 x ? 12 时, f ( x) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11264 ,所以定价为

30 ? 12 ? 18 元能使一个星期的商品销售利润最大.

20.(16 分) (1)证明:由题设 即 又

an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 (n ≥ 2) ,得 an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,

bn ? qbn?1,n ≥ 2 . b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? q , …… an ? an?1 ? qn?2 (n ≥ 2) .
an ? a1 ? 1 ? q ? …? qn?2 (n ≥ 2) .所以当 n ≥ 2 时,

(2)解:由(1), 将以上各式相加,得

? 1 ? q n ?1 ,q ? 1, ?1 ? an ? ? 1? q ?n, q ? 1. ?

上式对 n ? 1 显然成立.

(3)解:由(2),当 q ? 1 时,显然 由

a3 丌是 a6 不 a9 的等差中项,故 q ? 1 .

a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q5 ? q2 ? q2 ? q8 ,由 q ? 0 得 q3 ?1 ? 1 ? q6 , ①

3 2 3 3 3 整理得 (q ) ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 戒 q ? 1 (舍去).亍是 q ? ? 2 .
3

另一方面,

an ? an?3 ?

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (q ? 1) an?6 ? an ? ? (1 ? q 6 ) 1? q 1? q 1? q 1? q , .

由①可得

an ? an?3 ? an?6 ? an,n ? N* .
*

所以对仸意的 n ? N ,

an 是 an?3 不 an?6 的等差中项.


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