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关于椭圆最值问题的几个补遗


·

4 · 6

中学教研 ( 学) 数

20 0 4年第 1 期

最学研究 .初等效 学研究 · . 初等敷学 研究·韧 等数学研究 · 等敷 学 究 · · · 初 研 韧等 效 研究 · 等效学研 究·初等效学 研究 ' 学 · 初 ' ' 初等 效掌研究 初 等
I

初等教学 研究

b






研 中 学 教


关 于 椭 圆 最 值 问 题 的 几 个 补 遗
●郭 炳坤 ( 湖北武汉市第十六中学 40 1) 30 7

学 教



学 教


韧等敷学 研究 · 等效学 研 ·初等 效学研究 · 等散学研 究· 等致 芋研究一扔等 戥学讲究 · 等效聿研 究一初等赣 学研究 ' · 初 究 · · 扔 · 初 · 扔 ' 初等 效学讲究 ·初等效学 讲究 ·

文 [] 1 用初 等方法讨 论 了与椭 圆有关 的几个 几

( 毕) 证

何 最值 问题 , 后 很受启 发 . 者经 过进 一 步 的探 读 笔
索 , 比, 类 猜想 又发现 了与椭 圆有关 的几个几何 最 值 问题 . 了方 便读 者使 用 , 以定 理 的形式 叙述 如 为 仍
下:

定理 4 设椭 圆 b: 2 +a :1的 切 线 与 c 2

轴 , 轴分别交于A, B两点 , 则三 角形 AO O 为椭 B(
圆的中心) 的面积 的最小值为 . ( : 注 可仿定理 3 证明 , 为节省 篇幅, 此略)
定理 5 以 椭 圆
,

定理 1 椭 圆的所有焦半径 中, 以过 长轴顶点 的
焦半径为最短( 最长 ) 或 .

b +a y :a b 2 2 2 2 的 中

证明 设椭 圆方程 为 b +a =a b ( >b 2 2 2 a
> 0, e= c
,

心 0 与过 椭 圆 一 个 焦 点

/一 = 二 =
~ 0 \
A

a

2 +c 同 ) P为椭 圆上任 意 一 =b 下 .

的一条 弦的两个端点 A,
B 所组成 的三角形 A B O



点 , 为 椭 圆 的 右 焦 点 , 焦 半 径 r l F I a一 F 则 = = P 盯 , 为 一. 因 ≤ ≤ ., 以 , 所 .一c r Ⅱ+C P 点 分 ≤ ≤ .

的面积为 5, 则

别在 ( , ) 一",) , , a 0 和( 0 时 左 右等号才成立( 证毕) .
定 理 2 设 A( , ) 椭 圆 b +a y 0是 2 = 2
.

l' 6 ) 1 , (≤c 1 ,
S一 = ,

图 1

a2 b

的长轴上 的一定点 , z, 是椭圆上的动 点 , M( ) 则

I ,( . 6 ) >
证明 设 焦 点 弦 A 所 在 直 线 方 程 =k B y+C .

一l ,


( ) 当 ≥
,

I I < M4~= 鱼

,

( 中 a为弦 的倾角 , 其 这里 0 <a f是=ct ) <7, oa , 代 入椭 圆方程化简并整理得
(2 +口 ) 十2 c —b =0 b是 kb ,

C

, ( ) " 当 ≤ ,

证 明 由椭 圆 的对 称 性 不 妨 设 ≥ 0 由 I , l MA
z =

妄 ) ( 一 +
, 当

以 += 糌 z 注 所, 一 ,
1 一I 2 一 _ = ' , () 1

意到 ∈ [ 一", , 0 —广 ≤ ", 0 Ⅱ] 当 ≤ ( t ~l - 即 ≤ ≤ 二
I A{ = M ≥ , 即 ≥ 一 ,

将 () 1代入 以下弦长公式并化简可得

i, … = l I证 毕 ) ^ I £ "一 ( . 定 理 3 设椭 圆 b +a =a b 2 2 2:的切 线 与 轴 , 轴 分 别交 于 B 两 点 , 1 Bl "+b A. 则 A ≥

A =~ ( +是)(】 2 一 yy ] Bl / 1 [ Y ) 4 】!


2 (! 1 垒 ± 2
b2 -+ "2 ' k'



证明

设切 线的 斜率 为 是, 则椭 圆 的切线 方程

中心 ( , ) A 的距 离 d: = = , 00到 B C
是'+ 1

为 =足 r±v a 七 +b , 别令 =0 . , . 分 2 , z=0 有 ,
=" 十 , = b :+ a2 , 则I BI j 是 = + A

所 以三 角 形 0B 面积

="

s 船- ' ' = :志 吉
,

十 " 箸,c+ 2 26 ( b , 6 卜 走十 :z b+ " : ) 于是 ≥ 2
l 3 ' + , 且 仅 当 女一 , 一 , 号 成 立 , 当 二 / 时 等

,







i

.
定一十 "一

卜 面来考察 厂 走 = ()

的最 值情况 :

20 0 4年 第 1 期

中学教 研 ( 学) 数

·4 · 7

将 k=ct a 0 7 代 人 f k 的表达式将等 oa, ∈( , ) f ()
价 转 化 为

AN2 的面 积 S= ( a+2 ) ( ) D 2 . =Y n+ 与椭 圆方 r 程联立 消去 Y并整理得
s :


b [n+工 ( ) n+ (n一3 ) ( ) n+ ( ) 3 x]
,

·

.

' <n 1 证 (a (争上 0s≤, gi 在0 ]为 j 易 s) , n
,

:



单调增函数 , 以 o 所 <b l时 即 6 f时 , a= ~ ≤ s n , (ia 有 最大值 gs ) n
一 十

对 上式 利用基本不等式有
6 6., 4 27 2b a 2 s" ~ / ] = 2k 1 6 3a 4
,

, 而 s =a 从 一 b
,

当> }1
.

当 仅 = 且 当 号时

即6 >c时 ,ia 1时 , s a 有 最大值 1 s n g(i ) n

等号成立 , s : 即 一 定 理 8 设 椭 圆
b21 0 2 +n y =n b 2 与

( 毕) 证 ,

互~

1
,

从 而 s =c2证 ) ~ ,毕 b
.

z

定 理 6 椭 圆 b +a Y =1上 有 两 点 A , 2 2 B,

轴 的 垂 线 的 交 点 为 P,

Q, 以 则 4(一a 0 , , ) P,

0 椭 的 心N AB 号,三 形AB 是 圆 中 ,Z O 则 角 O 面 .
积的最小值 为
n'十 扫.

.





Q为顶点 的三角形 P AQ

, 最大值为

.

面的 大 为 Ⅱ. 最 值 掣 6
证 明 设 垂 直 于 z 轴 的 直 线 为 x = h, 则 I Ql , P : ,

+ ¨
图2 6一 Ⅱ

证 明 以椭 圆 的 中 心 0 为 极 点 , 以椭 圆 的 长 轴

为极轴建立极坐标系 , 则椭 圆的极坐标方程为
p ( c 0+a s 2 ) !6 e 2 ~ i 0 :a b , 2n 2

设 (,, p 号 , Ap口B : ) ) (
0' 1一
,

△m Q 面 积 S =

2

,

2 62 n b2 c 2 + a2 i — 一c 0 sn2 0'
x s

( 2 ·

)n (

一 /
P



bs 2 2 i 0十 n c 0' n 2

.x B I pP / z O l2 A
.


e 2

,1

,

s (2 ( = n 一h )n+^) 2

_

.



:: 垒


=

( 一 b )s 0 十4 : . a 2 m- 2 n6 '

注 意 到 0 - 2 ≤ l ≤ s r ,

( n+^ ( ) n+^ ( )口+^ (n一3 ) )3 h.

( 6≤ ≤ "2 十) s 寺 ^, 1 L 6 \△ 4 )

对 上 式 仍 利 用 基 本不 等 式 可 得

器 ≤ ≤ 一, }
当且仅当 = 十{ , 志 =k ( ∈Z 上式左右 zk ) r
等号分别成立 ( 毕) 证 . 定理 7 以椭 圆 bx! : 的长轴 B 2 +a y =Ⅱ b 2 4 为底边作椭 圆的 内接 等腰 梯形 A C) 则 此梯 肜面 B I,
,

s , 学 且 当= 时 : ≤ s ≤ 当 仅 ^号 等
号 成 立 , 以 S =3/ ( 毕 ) 所 一 3 证 , 一
.

定 理 9 设 椭 圆 b. a _ =" b 2 : : 和 轴 , 7 2 2 y 轴 的交 点 分 别 为 A, 在 弧 AB 取 一 点 P, 四边 B, L 则 形 04 B 的面 积 的 最 大 值 为 a . P b 证明 不 妨 设 A, 是 椭 圆 和 -, B 丁 v轴 正 向 的 交

积的最大值为 a. 半 b


点 , 的 坐标 , ) 则 四 边 形 4 1 的 面 杉 P Y , P3 j

证 明 没 , ,3 , , ' r, . .(一 0) I ( 0) (( v) D(一

3 , ", y )则 I 1l a,( ) '且 ) >( . . 3 =2 4 , =2 , , 锑形

s=s『 十S ( 一 矗 c,, , Q △ F }( z'z) 3

·

4 · 8
因为 ( ) !+
B


中学教研 ( 数学)

20 0 4年第 1 期

证明 由题 意知A( ,) C 0 为右焦点 , 一C0 左 C( , )
焦点 , 直线 B 与椭 圆 相 交 于 两 点 PIP , P1 C , 2则 到
,

( 一a =2 b + y) (2
( 2

2

Y ) ab, =2

B两点之和最大 , 到 A, 两点之和最小 . P2 B 若 在 椭 圆上 任 取 一 点 , 知 l A l f t l l A l l Cl lCl + 3 = + P1 + P1 P1 P【 B
=

因此 , 如 一a 当 y=0


/

时 , 边 形 04 B 面 积 四 lP

的最 大 值 为 a 证 b(
毕) .
定 理 1 已 知A ( 0 0 是 椭 圆 b +a Y : ) 2 2
a

l + I o + I CI 4I Cl P0 P B

图 4

≥ I 0 I l 03 , P A + P tI 故 可 知 1 A{ 1 t1 大 . PI + P】 最 3 即 I A + I 1 l PI I 3 P1
=

P o一

f A l l CI j (I P1 + P1 + t7 3
2 ( 口+ , 十c l , )+1 2

2 的 一 个 焦 点 , ( , b t m 3 ) 椭 圆 内部 的 一 个 定 是

一 , 一 / r , 广x
— ~

=

点, P是 椭 圆上 的一 个 动 点 , 1 A l l Bl 最 则 + 的 P P

同理可证 I 2 + I 1I A I 3 为其最 小值 , P P2 且最 小
值 为 2 ("+c + ( 毕 ) n一 7 ) 证 .

大值和最小值分别是
2 +
2 一

图 5









__ I

,

1 李迪 森. 于椭 圆的 十个 最值 问题 . 学通 报 , 关 数
.

20 () 0 24

初 等数学 研究 · 初等数学 研究 ·初等数学研 究·初 等数学研究 ·初等I学研究 ·初等数学 研究 · 等教学研究 · · · · - 初


初等数学 研究 初等数学 研究 · 等教学研究 · 初






涉 及 周 界 中 点 三 角 形 的 两 个 有 趣 的 性 质
●马 占山 ( 宁夏固原市第一中学 760 ) 500





中 学 教



学 教


初等数学 研究 初 等敷学研究 ·初等数学 研究 · 等数学研究 ·初等I学 研究 · 等 学研究 初 等教学研 究·初等数学 研究 · 等数学研究 - · · 初 · 初 教 · 初 初等教学研 究

若 三 角形 一 边 上 的一 点 和 这 边 所 对 的 顶 点 将 三

定 理 1 若 A A F, 1 F, C D, E 3 D △ E △AB 的 C

角形 的周长二等 分, 则称这 一点 为三 角形 的周界 中 点, 并将 以三个周界 中点 为顶点 的三 角形 称为周 界
中 点 三 角形 .

面积分 别为 △ A △B, , , , △c △ 则有

∑ 1≥ 1 △ 2 A △
证明 由文 [ ] 1 证得 的 △A= a( s一6 ( — )s
c 等 可 得 )

本文在文[ 的基础上 , 1 J 进一步研究发现周界中
点 三 角形 又有 如 下 两 个 有 趣 的 性 质 . 引 理 设 D, F分 E, 别 是 △ 的边B C , C, A
一 一

A

.了


_ ,
△ ^



A B上 的 周 界 中 点 , C = B
", A = 6, C AB = c, = s

&[ s一")s— b ( 6( 一 ( ) s—c )


: ) 2 ( = ( 二

∑ (— ) sn " ( 一& ( S ) s—b ( )S— C )
4R _

4 R

( + 6 } ) 贝 E : . 04
图 1
3 1D = s— c, AF = C = D
一 ~

" ( ") 一 ( b ( — C — ) S )

[ ( +

+ a) 一 b

3 &] a ,
而 ac= 4 s ( b Rr, 一" ( — 6 ( )5 ) 一( = r " ) 1 6 ,
+ 十 m = !+ 4R, 一+ , 一
.

b乃 , F=C F=s "∑ 表 环 轮 一 , 示循 和, 遍4

B , d. () C( b.

以 及 ( r t n不 等 式 J rs e ee

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