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2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(1)集合及其运算


课时作业(一)

第1讲

集合及其运算

时间:45 分钟

分值:100 分

基础热身 1.2011·课标全国卷 已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2.已知集合 A={x|x=a+b 3,a,b∈Z},x1,x2∈A,则下列结论不正确的是( A.x1+x2∈A B.x1-x2∈A C.x1x2∈A ( D.当 x2≠0 时, ∈A )

)

x1 x2

3.2011·嘉和一中模拟 已知集合 A={y|y=lgx,x>1},B={x|0<|x|≤2,x∈Z},则下列结论正确的是 ) A.A∩B={-2,-1} B.A∪B={x|x<0} C.A∪B={x|x≥0} D.A∩B={1,2} 4.对于平面上的点集 Ω ,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω ,则称 Ω 为平面上的凸集,给出 平面上 4 个点集的图形如图 K1-1(阴影区域及其边界),其中为凸集的是( )

图 K1-1 A.①③ B.②③ C.③④ D.①④ 能力提升 5.2011·合肥模拟 已知集合 M={-4,-3,-2,-1,0,1,4},N={-3,-2,-1,0,1,2,3},且 M, N 都是全集 I 的子集,则图 K1-2 中阴影部分表示的集合为( )

图 K1-2 A.{-1,-2,-3} B.{0,1,2,3} C.{2,3} D.{0,-1,-2,-3} 6.2011·江西卷 若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( ) A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 7.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠?,若 A∪B=A,则 m 的取值范围是( ) A.-3≤m≤4 B.-3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 8.设全集 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点 P(2,3) ∈A∩(?UB)的充要条件是( ) A.m>-1 且 n<5 B.m<-1 且 n<5 C.m>-1 且 n>5 D.m<-1 且 n>5 9.设集合 A={x|y=ln(x-3)},B=?x?y= A.? B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞)

? ? ? ?

1 -4+5x-x
2

? ?,则 A∩B=( ?

)

10.若全集 U={0,1,2,4,16},集合 A={0,2,a},?UA={1,a },则 a 的值为________. 11.已知集合 A={x|1≤log2x≤2},B=a,b,若 A? B,则实数 a-b 的取值范围是________. 已知 x∈R,y>0,集合 A={x +x+1,-x,-x-1},集合 B=-y,- ,y+1,若 2 A=B,则 x2+y2 的值为________. ? ? ? 3? 1 13.设数集 M=?x?m≤x≤m+ ? ,N=?x?n- ≤x≤n? ,且 M、N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果 4? 3 ? ? ? ? ? 12.2011·洛阳模拟 把 b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度” ,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是________. 2 2 14. 分)2012·安徽名校联考 已知集合 A={x||x-1|<2}, ={x|x +ax-6<0}, ={x|x -2x-15<0}. (10 B C (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; (2)是否存在 a 的值使得 A∪B=B∩C?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.
2

2

y

15.(13 分)设函数 f(x)=lg?

2

?x+1

-1?的定义域为集合 A,函数 g(x)= 1-a2-2ax-x2的定义域为集合 B.

?

(1)求证:函数 f(x)的图像关于原点成中心对称; (2)a≥2 是 A∩B=?的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)? 并证明你的结论.

难点突破 16.(12 分)集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若 B? A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (3)当 x∈R 时,若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围.

作业手册 课时作业(一) 【基础热身】 1.B 解析 因为 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},所以 P=M∩N={1,3}, 所以集合 P 的子集共有?,{1},{3},{1,3}4 个. 2.D 解析 由于 x1,x2∈A,故设 x1=a1+b1 3,x2=a2+b2 3,a1,a2,b1,b2∈Z,则 x1±x2=(a1±a2)+ (b1±b2) 3,由于 a1,a2,b1,b2∈Z,故 a1±a2,b1±b2∈Z,所以 x1+x2∈A,x1-x2∈A;x1x2=(a1a2+3b1b2)+(a1b2 x1 a1+b1 3 a1a2-3b1b2 +a2b1) 3,由于 a1,a2,b1,b2∈Z,故 a1a2+3b1b2,a1b2+a2b1∈Z,所以 x1x2∈A;由于 = = 2 x2 a2+b2 3 a2-3b2 2 +

a2b1-a1b2 a1a2-3b1b2 a2b1-a1b2 x1 1+ 3 3,但这里 2 , 2 都不一定是整数,如设 x1=1+ 3,x2=3- 3,则 = = a2-3b2 a2-3b2 a2-3b2 x2 3- 3 2 2 2 2

6+4 3 2 3 x1 = =1+ ?A,故当 x2≠0 时, 不一定是集合 A 中的元素. 9-3 3 x2 (3+ 3)(3- 3) 3.D 解析 A={y|y>0},B={-1,-2,1,2},故 A∩B={1,2}. 4.B 解析 只有②③两个图形内任意两点所连线段仍在图形内. 【能力提升】 5.C 解析 根据补集和交集的运算,把 N 中属于 M 的元素去掉即可. 6.D 解析 方法一:∵M∪N={1,2,3,4}, ∴(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6}.故选 D. 方法二:∵?UM={1,4,5,6},?UN={2,3,5,6}, ∴(?UM)∩(?UN)={5,6}.故选 D. 7.D 解析 ∵A∪B=A,∴B? A,又 B≠?, (1+ 3)(3+ 3)

?m+1≥-2, ? ∴?2m-1≤7, ?m+1<2m-1, ?

解得 2<m≤4.

8.A 解析 ∵P∈A,∴m>-1,又?UB={(x,y)|x+y-n>0},∵P∈(?UB),∴n<5,故选 A. 9.B 解析 集合 A,B 均是函数的定义域,求出定义域后计算即可. 2 2 集合 A=(3,+∞),集合 B 中的 x 满足-4+5x-x >0,即 x -5x+4<0,即得 1<x<4,即集合 B=(1,4), 故 A∩B=(3,4).故选 B. 10.4 解析 a 只可能等于 4. 11.(-∞,-2 解析 集合 A 是不等式 1≤log2x≤2 的解集,求出这个集合,根据集合之间的关系得 a,b 满足的条件,即可求出 a-b 的取值范围.由题意,集合 A=2,4,因为 A? B,故 a≤2,b≥4,故 a-b≤2-4 =-2,即 a-b 的取值范围是(-∞,-2. 12.5 解析 由 x∈R,y>0,则 x +x+1>0,-y<0,- <0,y+1>0,且-x-1<-x,-y<- .因为 A=B, 2 2
2

y

y

?-x-1=-y, ? 所以? y ? ?-x=-2,

x2+x+1=y+1,
解得?
? ?x=1, ? ?y=2.

所以 A={3,-1,-2},B={-2,-1,3},符合条件, 2 2 2 2 故 x +y =1 +2 =5. 1 3 1 13. 解析 由题意,知集合 M 的“长度”是 ,集合 N 的“长度”是 ,由集合 M、N 是{x|0≤x≤1}的子 12 4 3 3 1 1 集,知当且仅当 M∪N={x|0≤x≤1}时,集合 M∩N 的“长度”最小,最小值是 + -1= . 4 3 12 14.解答 A={x|-1<x<3},C={x|-3<x<5}.

? ?f(-1)=(-1) -a-6≤0, (1)由 A∪B=B 知,A? B,令 f(x)=x +ax-6,则? 2 ? ?f(3)=3 +3a-6≤0,
2

2

解得-5≤a≤-1,即 a 的取值范围是-5,-1. (2)假设存在 a 的值使得 A∪B=B∩C,由 A∪B=B∩C? B 知 A? B, 由 A∪B=B∩C? C 知 B? C,于是 A? B? C, 由(1)知若 A? B,则 a∈-5,-1, 2 当 B? C 时,由 Δ =a +24>0,知 B 不可能是空集,

?f(-3)=(-3) -3a-6≥0, ?f(5)=5 +5a-6≥0, 于是? a ?-3<-2<5, ?
2

2

解得 a∈?-

?

19 ,1?, 5 ?

19 综合 a∈-5,-1 知存在 a∈?- ,-1?满足条件. ? 5 ? 15.解答 (1)证明:A=?x? 由 2
? ?

2 -1>0 ? ?x+1 ?

? ? ?, ? ?

x+1

-1>0?

x-1 <0?(x+1)(x-1)<0, x+1

∴-1<x<1, ∴A=(-1,1),故 f(x)的定义域关于原点对称. 1-x?-1 1-x 1+x 1-x 又 f(x)=lg ,则 f(-x)=lg =lg? =-lg =-f(x), x+1 -x+1 x+1 ?x+1? ∴f(x)是奇函数. 即函数 f(x)的图像关于原点成中心对称. 2 2 (2)B={x|x +2ax-1+a ≤0},得-1-a≤x≤1-a,即 B=-1-a,1-a. 若 A∩B=?,则只需要-1-a≥1,或者 1-a≤-1, 解得 a≤-2 或者 a≥2,故 A∩B=?等价于 a≤-2 或者 a≥2,而{a|a≥2}?{a|a≤-2 或 a≥2}, 所以,a≥2 是 A∩B=?的充分不必要条件. 【难点突破】 16.解答 (1)①当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?满足 B? A. ②当 m+1≤2m-1,即 m≥2 时,要使 B? A 成立,
?m+1≥-2, ? 需? ? ?2m-1≤5,

可得 2≤m≤3.

综上,m 的取值范围是 m≤3. (2)当 x∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 8 所以 A 的非空真子集个数为 2 -2=254. (3)因为 x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又 A∩B=?, 则①若 B=?,即 m+1>2m-1,得 m<2,满足条件. ②若 B≠?,则要满足的条件是
?m+1≤2m-1, ? ? ? ?m+1>5

或?

?m+1≤2m-1, ? ? ?2m-1<-2,

解得 m>4. 综上,m 的取值范围是 m<2 或 m>4.


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