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2016高考


第5讲

空间向量及其运算

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b, c,则

对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x, y,z 使得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

解析 a 与 b 共线,a,b 所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量 的意义知,空间任两向量 a,b 都共面,故②错误;三个向量 a,b,c 中任两 个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当 a,b,c 不共 面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知 四个命题中正确的个数为 0,故选 A. 答案 A 2.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3, 0),则直线 AB 与 CD 的位置关系是 A.垂直 C.异面 B.平行 D.相交但不垂直 ( )

解析 由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1), → → → → → → ∴AB=-3CD,∴AB与CD共线,又AB与CD没有公共点. ∴AB∥CD. 答案 B
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→ 3→ 1→ 1→ 3.(2015· 济南月考)O 为空间任意一点,若OP=4OA+8OB+8OC,则 A,B,C, P 四点 A.一定不共面 C.不一定共面 B.一定共面 D.无法判断 ( )

→ 3→ 1→ 1→ 解析 因为OP=4OA+8OB+8OC,
3 1 1 且4+8+8=1.所以 P,A,B,C 四点共面. 答案 B 4.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λb),则实数 λ 的值为( A.-2 14 B.- 3 14 C. 5 D.2 )

解析 由题意知 a· (a-λb)=0,即 a2-λa· b=0, 所以 14-7λ=0,解得 λ=2. 答案 D 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC, AD 的中点,则AE·AF的值为 A.a2 1 B.2a2 1 C.4a2 3 D. 4 a2





(

)

解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60°.







→ 1 → 1 AE=2(a+b),AF=2c,
1 → → 1 ∴AE·AF=2(a+b)· 2c 1 1 1 =4(a· c+b·c)=4(a2cos 60°+a2cos 60°)=4a2. 答案 C 二、填空题 6.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a,b,c 三个 向量共面,则实数 λ 等于________.
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解析 ∵a,b,c 共面,且显然 a,b 不共线, ∴c=xa+yb,

?7=2x-y, ∴?5=-x+4y, ?λ=3x-2y,
33 x = ? ? 7, 65 由①②解得? 代入③得 λ= 7 . 17 ? ?y= 7 , 答案 65 7

① ② ③

7.在四面体 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的 中点,则OE=________(用 a,b,c 表示).









→ → 1→ → 1 1 → → 解析 OE=OA+2AD=OA+2×2(AB+AC) → 1 → → → → =OA+4×(OB-OA+OC-OA)
1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC 2 4 4 1 1 1 =2a+4b+4c. 1 1 1 答案 2a+4b+4c 8.A,B,C,D 是空间不共面四点,且AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0, 则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个). 解析 因为BC·BD=(AC-AB)· (AD-AB) =AC·AD-AC·AB-AB·AD+AB2 =AB2>0,所以∠CBD 为锐角. 同理∠BCD,∠BDC 均为锐角. 答案 锐角









































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三、解答题 9.已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b =AC. (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. → → 解 (1)∵c∥BC,BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2), ∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m), ∴|c|= (-2m)2+(-m)2+(2m)2=3|m|=3, ∴m=± 1. ∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1, 又∵|a|= 12+12+02= 2, |b|= (-1)2+02+22= 5, -1 10 a· b ∴cos〈a,b〉=|a|· |b|= 10=- 10 , 10 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 . 10.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心, (1)试证:A1,G,C 三点共线; (2)试证:A1C⊥平面 BC1D.









→ → → → → → → 证明 (1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,
1→ → 1 → → → 可以证明:CG=3(CB+CD+CC1)=3CA1, ∴CG∥CA1,即 A1,G,C 三点共线. (2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a, 且 a· b=b· c=c· a=0,
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∵CA1=a+b+c,BC1=c-a, ∴CA1·BC1=(a+b+c)· (c-a)=c2-a2=0, 因此CA1⊥BC1,即 CA1⊥BC1,同理 CA1⊥BD, 又 BD 与 BC1 是平面 BC1D 内的两相交直线, 故 A1C⊥平面 BC1D.

→ →









能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11. 若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b, d=λa+μb(λ, μ ∈R, 且 λμ≠0), 则( A.c∥d B.c⊥d C.c 不平行于 d,c 也不垂直于 d D.以上三种情况均有可能 解析 由题意得,c 垂直于由 a,b 确定的平面. ∵d=λa+μb,∴d 与 a,b 共面.∴c⊥d. 答案 B 12.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底, 一向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量 p 在基底{a+b,a -b,c}下的坐标是 A.(4,0,3) C.(1,2,3) B.(3,1,3) D.(2,1,3) ( ) )

解析 设 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 x,y,z.则 p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, 因为 p 在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3) ∴p=4a+2b+3c, ② ①

?x+y=4, ?x=3, 由①②得?x-y=2,∴?y=1, ?z=3, ?z=3,
即 p 在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3). 答案 B
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13.已知 2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a· c=4,|b|=12,则以 b,c 为方向向量的两直线的夹角为________. 解析 由题意得,(2a+b)· c=0+10-20=-10. 即 2a· c+b· c=-10,又∵a· c=4,∴b· c=-18, b· c ∴cos〈b,c〉=|b|· |c|= -18 1 =-2, 12× 1+4+4

∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为 60°. 答案 60° 14.如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长 都等于 1,点 E,F,G 分别是 AB,AD,CD 的中点, 计算: (1)EF·BA;(2)EF·DC; (3)EG 的长; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. 解 设AB=a,AC=b,AD=c. 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° ,















→ 1→ 1 1 → → (1)EF=2BD=2c-2a,BA=-a,DC=b-c,
1 1 1 → → ?1 1 ? EF·BA=?2c-2a?·(-a)=2a2-2a· c=4, ? ?

→ → 1 (2)EF·DC=2(c-a)· (b-c)
1 1 =2(b· c-a· b-c2+a·c)=-4; 1 1 → → → → 1 (3)EG=EB+BC+CG=2a+b-a+2c-2b 1 1 1 =-2a+2b+2c, 1 1 1 1 1 1 1 2 → → |EG|2=4a2+4b2+4c2-2a· b+2b· c-2c· a=2,则|EG|= 2 . 1 → 1 1 → → → (4)AG=2b+2c,CE=CA+AE=-b+2a,
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→ → AG·CE 2 cos〈AG,CE〉= → → =-3, |AG||CE| → →
π? ? 由于异面直线所成角的范围是?0, ?, 2? ? 2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为3.

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