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宁夏银川一中2017届高三上学期第四次月考数学(理)试题


银川一中 2017 届高三年级第四次月考
A. {x|x ? 1} C. {x|0<x ? 1} 2.若复数 A. 2 B. {x|1 ? x ? 2} D. {x|x ? 1} 是纯虚数,则实数 a 的值为( C. ?2 )

班级

姓名
)

若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 , 则 A.

1.设全集 U=R, A ? {x |2x (x -2) <1},B={x|y=ln(1-x)}, 则右图中阴影 部分表示的集合为 ( ..

1 4 ? 的最小值为( m n 9 4
D .9

)

3 2

B.
?

5 3

C.

A U

B

11.已知 ???C ? 90 , ?? ? 平面 ?? C ,若 ?? ? ?? ? ?C ? 1 ,则四面体 ??? C 的外接球(顶 点都在球面上)的表面积为( A. ? B. 3? ) C. 2? D. 3?

?a

2

? 3a ? 2 ? ? ? a ? 1? i
B. 1

D. 1 或 2

12. 设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2 π 的偶函数, f '( x)是f ( x) 的导函数, 当 x ? ?0, π? 时, 0 ? f ( x) ? 1 ;当 x ? (0, π) 且 x ? 上的根的个数为( ) A.2

3.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m? 平面 ? ,则“ ? ∥ ? ”是“l ⊥m”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

π π 时, ( x ? ) f '( x) ? 0 ,则方程 f ( x) ? cos x 在 ? ?2π,2π? 2 2
C.5 . D.8

4.已知角 ? 的顶点在 坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2 x ? y ? 0 上,

B.4 ,则 f [ f (

3π ? ? ) ? cos( π-? ) 2 则 ? ( π sin( ? ? ) ? sin(π-? ) 2 sin(

)

A.0

B.-2

C.2

2 D. 3
)

13.已知函数 f ( x) ? ?

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

1 )] ? 16

5.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为( A.15
15 B. 3 2

14.在 ?ABC 中,不等式 1 ? 1 + 1 ≥ 9 成立;在凸四边形 ABCD 中,不等式 1 ? 1 + 1 + 1 ≥ 16 成 A B C ? A B C D 2? 立;在凸五边形 ABCDE 中,不等式

C.30 3

D.15 3

1 1 1 1 1 25 ? + + + ≥ 成立,…,依此类推,在凸 n 边形 A B C D E 3?
___成立. .

?x ? 2 y ? 0 ? 6.设 z ? x ? y, 其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12 ,则 z 的最小值为( ?0 ? y ? k ?
A. ? 3 B. ? 6 C. 3 D. 6 )

A1 A2 ? An 中,不等式 1 ? 1 + ? ? 1 ≥ __
A1 A2 An

)

15.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 对任意的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒成立,则 x ? 16.已知 an ?

?

n

0

(2 x ? 1) dx ,数列{

1 }的前 n 项和为 an

Sn,数列{bn}的通项公式为 bn =n-8,则 bn Sn 的

7.已知向量 a , b 满足| a |=1, a ⊥ b ,则 a -2 b 在 a 方向上的投影为( A.1 B.

最小值为_____. 17.设数列 {an } 满足 an ? 3an ?1 ? 2 n ? 2, n ? N * ,且 a1 ? 2, bn ? log 3 (an ? 1) . (1)求数列 an 的通项公式; (2)求数列 ?an bn ? 的前 n 项和 S n .

7 7

C.-1

D.

2 7 7

?

?

8.如图所示为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? 那么 f (?1) ? ( ) A.1 B. 3

π ) 的部分图像,其中 A,B 两点之间的距离为 5, 2
D.-1 )

C. ? 3

9.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( A. 2 5 B. 4 2 C.

29

D. 13

10.已知各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,

18.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C ,另 一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲 沿 AC 匀速步行,速度为 50m / min 。在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后, 再从匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量,

20.若 f ( x) ? sin(2? x ?

?
6

) 的图象关于直线 x ?

?
3

对称,其中 ? ? (? , ). (1)求 f ( x) 的解析 式;

1 5 2 2

(2) 将 y ? f ( x) 的图象向左平移

? 个单位, 再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍 (纵坐标不变) 3

12 3 cos A ? , cos C ? .(1)求索道 AB 的长; 13 5
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? B

A

? 后得到 y ? g ( x) 的图象;若函数 y ? g( x ), x ? ( ,3? ) 的图象与 y ? a 的图象有三个交点且交点的横坐 2
标成等比数列,求 a 的值.

C

21.设函数 f ( x) = ln x - px + 1 19.已知 f ( x) ? x ? e (a ? 0) . (1)曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线恰与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (2)若 a=2,x∈[a,2a],求 f(x)的最大值. (3)证明:
x a

(1)研究函数 f ( x) 的极值点;

(2)当 p>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围;

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N , n ? 2). 2(n ? 1) 22 32 n2

? x ? 2 cos ? 22. 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y = 8,圆 C 的参数方程是 ? (φ 为参数) 。以 O ? y ? 2 ? 2sin ?

An ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? ?? ? n ? 3n
设 3 An ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 3
2 3 n ?1

……………………8 分

为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (2) 射线 OM: θ=α (其中 0 ? a ?

?
2

) 与圆 C 交于 O、 P 两点, 与直线 l 交于点 M, 射线 ON: ? ?? ?

?
2

1 3 ??2 An ? 3 ? 32 ? ?? ? 3n ? n ? 3n ?1 ? ( ? n)3n ?1 ? 2 2
n 1 3 ? An ? ( ? )3n ?1 ? 2 4 4
……………………10 分

| OP | | OQ | 与圆 C 交于 O、Q 两点,与直线 l 交于点 N,求 的最大值. ? | OM | | ON |

? S n ? An ?

n(n ? 1) n 1 n2 n 3 ? ( ? )3n ?1 ? ? ? 2 2 4 2 2 4

……………………12 分

18.解: (1)∵ cos A ?

? 5 4 12 3 (0, ) , cos C ? ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? ……………2 分 13 5 2 13 5
63 …………4 分 65

? ? sin(A ? C) (A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ?? ?
23.已知|x1﹣2|<1,|x2﹣2|<1. (1)求证:2<x1+x2<6,|x1﹣x2|<2; (2)若 f(x)=x2﹣x+1,求证:|x1﹣x2|<| f(x1)﹣f(x2)|<5|x1﹣x2|. 根据正弦定理

AB AC AC ? sinC ? 1040 m ………………6 分 得 AB ? sinC sinB sinB 12 ………………8 分 13

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则根据余弦定理

d 2 ? (130 t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ? 130t ? (100 ? 50t ) ?
∴ d 2 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) ∵ 0 ? t ?

银川一中 2017 届高三第四次月考数学(理科)参考答案
一.选择题 1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 A 11 D 12 B ∴t ?

1040 即 0 ? t ? 8 ………………10 分 130

35 35 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最 短。………………12 分 37 37
A N D C
2

法二:解: (1)如图作 BD⊥CA 于点 D,设 BD=20k,…………2 分 则 DC=25k,AD=48k,AB=52k,由 AC=63k=1260m,…………4 分 知:AB=52k=1040m.…………6 分 (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M,此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2),…………8 分
2 2 2

M B

二、填空题:13.

1 2 n2 14、 15. ( ?2, ) 16、-4 ( n ? 2)? 9 3

3 an ?1 ? 1) 17、解: (1)? an ? 3an ?1 ? 2 n ? 2, n ? N * ,? an +1 ? ( , a1 ? 2, ? an +1 ? 0
所以数列 {an ? 1} 为等比数列;……………………………………………………3 分 所以数列 an 的通项公式为: an ? 3n ? 1 …………5 分 (2)由(1)知 an ? 3n ? 1 , bn ? log 3 (an ? 1) ? n ,? an bn ? n(3n ? 1) ? n ? 3n ? n ……………6 分

?

?

由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM· ANcosA=7400 x -14000 x+10000,……10 分 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.……12 分 37 19、 (1)解:由 则 ,…………3 分 ,得: 所以 1 ? ,…………2 分

1 1 ? ?2, 得 a ? 。…………4 分 a 3

1 (2)a=2, f ( x) ? x ? e 2 , x ? [2,4], f ' ( x) ? 1 ? e 2 ? 0 2 1 2 x e ? 1, e 2 ? 2, ? ln 2, x ? 2 ln 2 2 2
x x

x

x

(6 分) (7 分) (8 分) (10 分)

(Ⅱ)当 p>0 时在 x= 处取得极大值 f ( ) = ln

1 p

1 p

1 ,…6 分 p

1 1 此极大值也是最大值,要使 f(x) ? 0 恒成立,只需 f ( ) ? ln ? 0 ,…8 分 p p

f(x)在 ( ? ?,2 ln 2) 上单调递增,在 ( 2 ln 2,? ?) 上单调递减 又 2ln2<2
? f (2) ? 2 ? e max

∴ p ? 1 ,即 p 的取值范围为[1,+∞ )

…………………10 分

(9 分)

? f ( x ) 在[2,4]上单调递减

(Ⅲ)令 p=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x ? 1 ? 0,? ln x ? x ? 1 , ? n ? N, n ? 2 ∴ ln n ? n ? 1 ,∴
2 2

(12 分)

ln n2 n2 ? 1 1 ? 2 ?1? 2 n2 n n

…………11 分 …10 分

20、



ln 22 ln32 ln n2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 22 32 n2 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? ??? ) ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n n ?1 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)

? (n ? 1) ? (

1 1 2n2 ? n ? 1 ,∴结论成立 ? (n ? 1) ? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)

…………………12 分

22、解: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程分别是 ? sin ? ? 8 .…………1 分 圆 C 的普通方程分别是 x ? ( y ? 2) ? 4 错误!未找到引用源。 ,………3 分
2 2

. 所以圆 C 错误! 未找到引用源。 的极坐标方程分别是 ? ? 4 sin ? 错误! 未找到引用源。 分 (Ⅱ)依题意得,点 P, M 的极坐标分别为 ? 所以 | OP |? 4 sin ? , | OM |?

· · · · · · · · · · · · · · 5

? ? ? 4 sin ? , ? ? sin ? ? 8, 错误!未找到引用源。和 ? ?? ? ? , ?? ? ? .
从而

21、解: (I)? f ( x) ? ln x ? px ? 1,? f ( x)的定义域为 (0,??) ,…1 分

8 ,………6 分 sin ?

f ?( x) ?

1 1 ? px ?p? x x

…………2 分

| OP | 4sin ? sin 2 ? .……7 分 ? ? 8 | OM | 2 sin ?

当 p ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,??) 上无极值点 …………2 分

?x ? 当 p>0 时,令 f ?( x) ? 0,

1 ? (0, ??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p

? ? sin 2 (? ? ) sin 2 (? ? ) 2 | OQ | | OP | | OQ | sin ? sin 2 (2? ) 2 2 ? ? 同理, ……8 分 所以 …9 分 ? ? ? | ON | 2 | OM | | ON | 2 2 16
故当 ? ?

?
4

时,

x

1 (0, ) p
+ ↗

1 p
0 极大值

1 ( ,+ ? ) p
- ↘ ………………4 分

| OP | | OQ | 1 的值最大,该最大值是 . · · · · · · · · · · · · · · · …10 分 ? | OM | | ON | 16
同理 1<x2<3,

23.证明: (I)∵|x1﹣2|<1,∴﹣1<x1﹣1<1,即 1<x1<3,…(2 分) ∴2<x1+x2<6, (4 分) ∴|x1﹣x2|<2;

f '( x) f ( x)

∵|x1﹣x2|=|(x1﹣2)﹣(x2﹣2)|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|,
2 2

…(5 分)

(II)|f(x1)﹣f(x2)|=|x1 -x2 ﹣x1+x2|=|x1﹣x2||x1+x2﹣1|,…(8 分) ∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2﹣1<5,∴|x1﹣x2|<|f(x1)﹣f(x2)|<5|x1﹣x2|…(10 分)

从上表可以看出:当 p>0 时, f

( x) 有唯一的极大值点 x ? 1 p


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