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两角和与差及二倍角的三角函数公式


第 5 讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式

1.公式体系 cosαcosβ - sinαsinβ ; cos(α + β) = ______________________ cosαcosβ +sinαsinβ cos(α - β) =_______________________ ;

sinαcosβ + cosαsinβ ; sin(α + β) =_______________________ sinαcosβ -cosαsinβ sin(α - β) = _______________________ ;
tanα+tanβ tanα-tanβ 1-tanαtanβ ;tan(α-β)=___________ 1+tanαtanβ tan(α+β)=_____________ .

(2)二倍角的三角函数(5 个):

cos2α=_________________________________ cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α ; sin2α=______________ ; 2sinαcosα
2tanα 1-tan2α tan2α=____________.
(3)降次公式(2 个): 1+cos2α 2 cos α=___________ ; 2

1-cos2α 2 sin2α=____________ .

2.公式的应用

(1)正用:从左到右使用公式;
(2)反用:从右到左使用公式; (3) 变用:公式的变形使用,例如 tanα±tanβ =tan(α±β) (1 ? tanαtanβ)等. 3.三个统一 三角函数式的各种变形中,问题的切入点是要从三个“统 一”入手,首先是角的统一,其次是函数名称的统一与次数的 统一.

1.在△ABC 中,sinA· sinB<cosA· cosB,则这个三角形的形 状是 ( B ) A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形

? 3?π 1 ? ? 2.若 sinα=5 2<α<π ,tanβ=2,则 tan(α-β)的值是( B ) ? ?

A.2

B.-2

2 C.11

1 D.5

3 θ 1 θ 3.若 cos2=2,sin2=- 2 ,则角 θ 的终边所在的象限是 第三象限 . ___________

4.已知角 α 的终边过点(3m,-4m)(m≠0),则 cos2α= 7 -25 . ________
-2cosx . 5.若 cosx<0.化简 2?1+cos2x?=____________

考点 1 三角公式的使用
例 1:已知向量 数 f(x)=m· n-1. (1)求函数 f(x)的值域;
? ? ? x ? x m=?2cos2,1?,n=?sin2,1?(x∈R),设函 ? ? ? ?

(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A、B、C, 5 3 若 f(A)=13,f(B)=5,求 f(C)的值.
解题思路:C=π-(A+B),求 f(C)相当于求 f[π-(A+B)], 转化为两角和的三角函数问题.
? ?? x ? x ? ? ? sin2,1?-1 解析:(1)f(x)=m· n-1= 2cos2,1 · ? ?? ?

x x =2cos2sin2+1-1=sinx. ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1].

5 3 5 3 (2)∵f(A)=13,f(B)=5,∴sinA=13,sinB=5. ∵A、B 都是锐角, 12 4 2 ∴cosA= 1-sin A=13,cosB= 1-sin B=5.
2

∴f(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 5 4 12 3 56 =13×5+13×5=65. 56 又 f(C)=f[π-(A+B)]=f(A+B)=65, 56 ∴f(C)的值为65.

【互动探究】
sin2α+sin α α 1 1.已知 tan2=2,求 的值. 1-cos2α
2

1 2 ×2 4 α 1 解:∵tan2=2,∴tanα= = , ?1?2 3 1-?2? ? ? sin2α+sin2α 2sinαcosα+sin2α 2cosα+sinα 2+tanα 则 = = 2sinα = 2tanα 2sin2α 1-cos2α 4 2 +3 5 = 4 = 4. 2 ×3

考点 2 三角公式的综合应用

例 2:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, →· → =BA →· →. 已知AB AC BC (1)判断△ABC 的形状; 7 (2)若 cosC=-25,求 cosA 的值.
解题思路:用向量乘法的概念,将问题转化为两角和与差 的三角函数问题.

→· → =cbcosA,BA →· → =cacosB, 解析:(1)∵AB AC BC ∴bccosA=accosB,∴sinBcosA=sinAcosB, 即 sinAcosB-sinBcosA=0,∴sin(A-B)=0. ∵-π<A-B<π,∴A=B,∴△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知 A=B,则 C=π-2A, 7 ∴cosC=cos(π-2A)=-cos2A=1-2cos A=-25,
2

16 π 4 4 ∴cos2A=25,而 0<A<2,cosA=5,∴cosA 的值为5.

【互动探究】
1 13 π 2.已知 cosα<7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2. (1)求 tanα 的值; (2)求 β.

1 π 解:(1)由 cosα=7,0<α<2, 得 sinα= 1-cos α=
2

?1?2 4 1-?7? = ? ?

7 .

3

sinα 4 3 7 ∴tanα=cosα= 7 ×1=4

3.

π π 13 (2)由 0<α<β<2,得 0<α-β<2,又∵cos(α-β)=14, ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?=
2

?13?2 3 3 1-?14? = 14 . ? ?

由 β=α-(α-β)得:cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 π +sinαsin(α-β)=7×14+ 7 × 14 =2.∴β=3.

错源:不能灵活运用公式的变用
例 3: 已知 a , b 是两个不共线的向量, 并且 a =(cosα, sinα), b=(cosβ,sinβ),

(1)求证: a +b 与 a -b 垂直;
? π π? π 3 (2)若 α∈?- , ?,β= ,且 a · b= ,求 sinα 的值. 4 4 4 5 ? ?

误解分析:在已知

? π? 3 ? cos α- ?= 时,求 4? 5 ?

sinα 的值,不能通

过解方程解出 sinα 的值,而是通过角的变形来处理. 正解 : (1) ∵ ( a + b)· ( a - b) = | a |2 - |b|2 = (cos2α + sin2α) - (cos2β+sin2β)= 1- 1= 0,∴ a +b 与 a - b 垂直. (2)∵ a · b= cosα· cosβ+sinα· sinβ= cos(α- β)
? π? 3 =cos?α- ?= , 4? 5 ?

?? π? π ? ∴sinα=??α-4?+4? ? ?? ? ? ? π? π? π π ? ? ? ? =sin α-4 · cos4+cos α-4 · sin4, ? ? ? ?



? π π? π π α∈?-4,4?,∴-2<α-4<0, ? ?

? π? 4 ? ? ∴sin α-4 =-5, ? ?

4 2 3 2 2 ∴sinα=-5·2 +5·2 =- 10 .

【互动探究】

π 3. (广东韶关 2011 届一模)已知 cosα+2sinα=0, 其中2<α<π. sinα-2cosα (1)求 的值; 2sinα-cosα 3 π (2)若 sinβ=5,2<β<π,求 cos(α+β)的值.

解:(1)∵cosα+2sinα=0,即 cosα=-2sinα, π 又2<α<π,∴sinα≠0, sinα-2cosα sinα+4sinα 5 ∴ = = . 2sinα-cosα 2sinα+2sinα 4

π (2)由(1)知, cosα=-2sinα, <α<π, 2 5 2 5 又 sin α+ cos α= 1,sinα= ,∴ cosα=- . 5 5
2 2

3 π ∵sinβ= , <β<π, 5 2 ∴cosβ=- 1-sin β =-
2

? 3? 2 4 1- ? ? =- , 5 ? 5?

∴cos( α+ β)= cosα· cosβ-sinα· sinβ =- 2 3 5
? 4? ×?- ?- ? 5?

5 3 5 × = . 5 5 5

例 4:在如图 6-5-1 的程序框图中,函数 f′n(x)表示函数 fn(x)的导函数.若输入函数 f1(x)=sinx-cosx,则输出的函数 fn(x) 可化为( )

图 6-5-1

A. C.

? π? 2sin?x-4? ? ? ? π? ? 2sin x+4? ? ?

B.- D.-

? π? 2sin?x-4? ? ? ? π? ? 2sin x+4? ? ?

解析: f1(x)=sinx-cosx, f2(x)=(sinx-cosx)′=cosx+sinx, f3(x)=(cosx+sinx)′=-sinx+cosx,f4(x)=(-sinx+cosx)′= -cosx-sinx,f5(x)=(-cosx-sinx)′=sinx-cosx=f1(x),?. ∵2 010 除以 4 的余数是 2, ∴输出的函数 fn(x)=f2(x),故选 C.

【互动探究】

4.如图 6-5-2,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P、 π Q 是单位圆上的两点,O 是坐标原点,∠AOP=6,∠AOQ=α, α∈[0,π).
?3 4? Q?5,5?,求 ? ? ? π? cos?α-6?的值; ? ?

(1)若

→· → ,求 f(α)的值域. (2)设函数 f(α)=OP OQ

图 6 -5 -2
? π? 3 4 π ? ? 解 : (1)由已知可得 cosα=5, sinα=5, cos α-6 =cosαcos6 ? ?

π 3 3 4 1 3 3+4 +sinαsin6=5× 2 +5×2= 10 .

? π π? → → ? (2)f(α)=OP· OQ= cos6,sin6?· (cosα,sinα)= ? ? ? π? 3 1 ? α+3?. cos α + sin α = sin 2 2 ? ? ? π? π ?π 4π? 3 ∵α∈[0,π),∴α+3∈?3, 3 ?,- 2 <sin?α+3?≤1, ? ? ? ? ? ∴f(α)的值域是?- ? ? 3 ?. , 1 2 ?

1.“合一变换”与“降次变换”都是经常使用的方法,合 一变换的目的是把一个角的两个三角函数的和转化为一个角的 一个三角函数;降次的目的:①把一个角变为原来的两倍;② 为了次数的统一.

2.在处理三角函数问题时,三个统一中(角的统一、函数
名统一、次数统一),角的统一是第一位的. 3.条件中的角一般是单角,结论中的角一般是复角.


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