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《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》参考课件


离散型随机变量的均值与 方差、正态分布

基础知识梳理
1.均值 (1)若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

基础知识梳理
则称EX= x1p1+x2p2+…+xipi+…+ xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反 映了离散型

随机变量取值的 平均水平. (2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则 Y也是随机变量,且E(aX+b)= aEX+b. (3)①若X服从两点分布,则EX= p ; ②若X~B(n,p),则EX= np .

基础知识梳理
2.方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x 2 … xi … x n P p1 p 2 … pi … p n

基础知识梳理
则称 DX= ? (xi-EX)2pi 为随机变
i= 1 n

量 X 的方差,其 算术平方根 DX 为随 机变量 X 的标准差,记作 σX . (2)D(aX+b)= a2DX . (3)若X服从两点分布,则DX= p(1-p) . (4)若X~B(n,p),则DX= np(1-p) .

基础知识梳理
随机变量的均值、方差与样 本均值、方差的关系是怎样的? 【思考·提示】 随机变量 的均值、方差是一个常数,样本 均值、方差是一个随机变量,随 观测次数的增加或样本容量的增 加,样本的均值、方差趋于随机 变量的均值与方差.

基础知识梳理
3.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴 上方 ,与x轴 不相交 ; (2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 (3)曲线在x=μ处达到峰值 σ 2π ; (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ;

基础知识梳理
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而 沿x轴平移; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确 定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的 分布越 集中 ; σ越大 ,曲线越“矮胖”, 表示总体的分布越分散 .

基础知识梳理
参数μ,σ在正态分布中的实 际意义是什么? 【思考·提示】 μ是正态 分布的期望,σ是正态分布的标 准差.

三基能力强化
1.若随机变量X的分布列如下, 则X的数学期望是( ) X P A.p C.1 答案:B 0 p 1 q B.q D.pq

三基能力强化
2.正态总体N(0,1)在区间(-2, -1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2, 则( ) A.P1>P2 B.P1<P2 C.P1=P2 D.不确定 答案:C

三基能力强化
3.一名射手每次射击中靶的概 率为0.8,则独立射击3次中靶的次数X 的期望值是( ) A.0.83 B.0.8 C.2.4 D.3 答案:C

三基能力强化
4.(教材习题改编)某人进行射 击,每次中靶的概率均为0.8,现规 定:若中靶就停止射击;若没有中 靶,则继续射击.如果只有3发子 弹,则射击次数X的数学期望为 ________.(用数字作答) 答案:1.24

三基能力强化
5.(2009年高考广东卷)已知离散 型随机变量X的分布列如下表.若EX =0,DX=1,则a=________,b= ________.
X -1 0 P
5 答案: 12 1 4

1 c

2 1 12

a

b

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考点一 正态分布

关于正态总体在某个区间内取 值的概率求法 (1)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ -2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+ 3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性 和曲线与x轴之间的面积为1.

课堂互动讲练
例1

设X~N(5,1),求P(6<X<7).

【思路点拨】 利用正态分布的 对称性,P(6<X<7)=P(3<X<4).

课堂互动讲练
【解】 由已知μ=5,σ=1. ∵P(4<X<6)=0.6826, P(3<X<7)=0.9544. ∴P(3<X<4)+P(6<X<7) =0.9544-0.6826=0.2718. 如图,由正态曲线的对称性可得 P(3<X<4)=P(6<X<7) 0.2718 ∴P(6<X<7)= =0.1359. 2

课堂互动讲练

【名师点评】 在利用对称性转 化区间时,要注意正态曲线的对称轴 是x=μ,而不是x=0(μ≠0).

课堂互动讲练
互动探究 若其他条件不变,则P(X≥7)及 P(5<X<6)应如何求解? 解:由σ=1,μ=5, P(3<X<7)=P(5-2×1<X<5 +2×1)=0.9544,

课堂互动讲练
P(X≥7)=P(X≤3) 1 = ×[1-P(3<X<7)], 2 1 = ×(1-0.9544)=0.0228, 2 ∵P(4<X<6)=0.6826, 1 ∴P(5<X<6)= P(4<X<6) 2 =0.3413.

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考点二
求离散型随机变量的期记与方差

求离散型随机变量X的均值与方差 的步骤: (1)理解X的意义,写出X的所有可 能取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写 出X的分布列;(4)由均值的定义求EX; (5)由方差的定义求DX. 另外,当随机变量X服从两点分布 或二项分布时,可不用列出分布列,直 接由公式求出EX和DX.

课堂互动讲练
例2 (2009年高考山东卷)在某学校组织 的一次篮球定点投篮训练中,规定每人 最多投3次;在A处每投进一球得3分, 在B处每投进一球得2分;如果前两次 得分之和超过3分即停止投篮,否则投 第三次.某同学在A处的命中率q1为 0.25,在B处的命中率为q2.该同学选择 先在A处投一球,以后都在B处投,用ξ 表示该同学投篮训练结束后所得的总 分,其分布列为

课堂互动讲练
ξ 0 2 3 4 5

P 0.03 p1 p2 p3 p4 (1)求q2的值; (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ; (3)试比较该同学选择都在B处投 篮得分超过3分与选择上述方式投篮 得分超过3分的概率的大小.

课堂互动讲练
【思路点拨】 首先由P(ξ=0)= 0.03计算出q2,从而可写出分布 列.本题便可求解. 【解】 (1)由题设知,“ξ=0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次 投中”,由对立事件和相互独立事件 性质可知 P(ξ=0)=(1-q1)(1-q2)2=0.03, 解得q2=0.8.

课堂互动讲练
(2)根据题意 p1=P(ξ=2)=(1-q1)C21(1-q2)q2 =0.75×2×0.2×0.8=0.24. p2=P(ξ=3)=q1(1-q2)2=0.25×(1- 0.8)2=0.01. p3=P(ξ=4)=(1-q1)q22=0.75×0.82 =0.48. p4=P(ξ=5)=q1q2+q1(1-q2)q2 =0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24. 因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01 +4×0.48+5×0.24=3.63.

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(3)用C表示事件“该同学选择第一次 在A处投,以后都在B处投,得分超过3分 ”,用D表示事件“该同学选择都在B处 投,得分超过3分”,则 P(C)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=p3+p4 =0.48+0.24=0.72. P(D)=q22+C21q2(1-q2)q2 =0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896. 故P(D)>P(C). 即该同学选择都在B处投篮得分超过 3分的概率大于该同学选择第一次在A处 投以后都在B处投得分超过3分的概率.

课堂互动讲练
【名师点评】 (1)随机变量的均 值等于该随机变量的每一个取值与该 取值时对应的概率乘积的和. (2)均值(数学期望)是随机变量的 一个重要特征数,它反映或刻画的是 随机变量取值的平均水平,均值(数学 期望)是算术平均值概念的推广,是概 率意义下的平均. (3)EX是一个实数,即X作为随机 变量是可变的,而EX是不变的.

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考点三
均值和方差性质的应用

利用均值和方差的性质,可以 避免复杂的运算.常用性质有: (1)EC=C(C为常数); (2)E(aX+b)=aEX+b(a,b为 常数); (3)E(X1+X2)=EX1+EX2; E(aX1+bX2)=aE(X1)+bE(X2); (4)D(aX+b)=a2DX.

课堂互动讲练
例3 已知X的概率分布为

X

-1

0

1

1 1 1 P 2 3 6 求:(1)EX,DX; (2)设Y=2X+3,求EY,DY.

课堂互动讲练
【思路点拨】 利用性质E(aξ+ b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ求解.
(1)EX=x1p1+x2p2+x3p3 1 1 1 1 =(-1)× +0× +1× =- ; 2 3 6 3 2 2 DX= (x1-EX) p1+ (x2-EX) p2+(x3- EX)2p3 1 12 1 12 1 12 5 = (-1+ ) + (0+ ) + (1+ ) = . 2 3 3 3 6 3 9 【解】

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(2)EY=E(2X+3)=2EX+3 1 7 =2×(- )+3= ; 3 3 5 20 DY=D(2X+3)=4DX=4× = . 9 9

【名师点评】 ξ是一个随机变 量,则η=f(ξ)一般仍是一个随机变 量,在求η的期望和方差时,要应用 期望和方差的性质.

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考点四 均值与方差的实际应用

利用期望和方差比较随机变量的 取值情况,一般是先比较期望,期望 不同时,即可比较出产品的优劣或技 术水平的高低,期望相同时,再比较 方差,由方差来决定产品或技术水平 的稳定情况.

课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分12分) (2008年高考广东卷)随机抽取某 厂的某种产品200件,经质检,其中 有一等品126件、二等品50件,三等 品20件、次品4件.已知生产1件一、 二、三等品获得的利润分别为6万 元、2万元、1万元,而1件次品亏损2 万元,设1件产品的利润(单位:万元) 为ξ.

课堂互动讲练
(1)求ξ的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即ξ的数 学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级 的产品,但次品率降为1%,一等品 率提高为70%,如果此时要求1件产 品的平均利润不小于4.73万元,则三 等品率最多是多少?

课堂互动讲练
【思路点拨】 解答本题要先 确定ξ的取值以及取每个值时的概 率,从而正确地列出分布列.求出 数学期望(即平均利润),然后解第 (3)问时,先设出三等品率为x,列 不等式即可求解.

课堂互动讲练
【解】 (1)ξ的所有可能取值有 6,2,1,-2; 126 P(ξ=6)= =0.63, 1 分 200 50 P(ξ=2)= =0.25, 2 分 200 20 P(ξ=1)= =0.1, 3 分 200 4 P(ξ=-2)= =0.02. 4 分 200

课堂互动讲练
故ξ的分布列为 ξ 6 2 1 -2

P 0.63 0.25 0.1 0.02 5分 (2)Eξ=6×0.63+2×0.25+ 1×0.1+(-2)×0.02=4.34. 7分

课堂互动讲练
(3)设技术革新后的三等品率为x, 则此时1件产品的平均利润为 Ex=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x) +x+(-2)×0.01 =4.76-x(0≤x≤0.29),9分 依题意,Ex≥4.73, 即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03. 所以三等品率最多为3%. 12分

课堂互动讲练
【名师点评】 解决此类题目的 关键是正确理解随机变量取每一个值 所表示的具体事件,求得该事件发生 的概率,本题第(3)问充分利用了分布 列的性质p1+p2+…+pi+…=1.

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高考检阅
(本题满分12分)因冰雪灾害,某柑桔 基地果林严重受损,为此有关专家提出 两种拯救果树的方案,每种方案都需分 两年实施.若实施方案一,预计第一年 可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9 倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、 0.4; 第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实

课堂互动讲练
施方案二,预计第一年可以使柑桔产 量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的 概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可 以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、 1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种 方案第一年与第二年相互独立,令ξi(i =1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量 达到灾前产量的倍数. (1)写出 ξ1、ξ2的分布列;

课堂互动讲练
(2)实施哪种方案,两年后柑桔产 量超过灾前产量的概率更大? (3)不管哪种方案,如果实施两年 后柑桔产量达不到、恰好达到、超过 灾前产量,预计利润分别为10万元、 15万元、20万元.问实施哪种方案的 平均利润更大?

课堂互动讲练
解:(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、 1.0、1.125、1.25, ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、 1.2、1.44, ξ1、ξ2的分布列分别为: ξ P
1

0.8 0.2

0.9

1.0

1.125 1.25 0.15 0.15

0.15 0.35

课堂互动讲练
ξ2 0.8 0.96 1.0
P 0.3

1.2 1.44

0.2 0.18 0.24 0.08

4分 (2)令A、B分别表示方案一、方 案二两年后柑桔产量超过灾前产量这 一事件,P(A)=0.15+0.15=0.3, P(B)=0.24+0.08=0.32.可见,方案二 两年后柑桔产量超过灾前产量的概率 更大. 8分

课堂互动讲练
(3)令ηi(i=1,2)表示方案i的预计利 润,则 η1 P η2 P 10 0.35 10 0.5 15 0.35 15 0.18 20 0.3 20 0.32

所以Eη1=14.75,Eη2=14.1, 可见,方案一的预计利润更大. 12分

规律方法总结
1.离散型随机变量的均值 均值EX与方差DX均是一个实 数,EX是算术平均值概念的推广,是 概率意义下的平均;DX表示随机变量 X对EX的平均偏离程度.DX越大,表 明平均偏离程度越大,说明X的取值 越分散.反之,DX越小,X的取值越 集中.

规律方法总结
注意随机变量的方差公式 DX=(x1- EX)2p1+(x2-EX)2p2+…+(xn-EX)2pn 与 1 -)2+ 必修 3 的样本方差公式 s = [(x1- x n
2

(x2- -)2+…+(xn--)2]的区别与联系. x x

规律方法总结
2.均值(期望)与方差的关系 均值(期望)反映了随机变量取值 的平均水平,而方差则表现了随机变 量所取的值相对于它的均值(期望)的 集中与离散的程度,因此二者的关系 是十分密切的,且有关系式DX=EX2 -(EX)2.

规律方法总结
3.关于正态总体在某个区间内取值 的概率求法 (1)熟记P(μ-σ<X<μ+σ),P(μ- 2σ<X<μ+2σ),P(μ-3σ<X<μ+3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线 与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x=μ对称,从而 在关于x=μ对称的区间上概率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)= P(X≥μ+a).


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