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2013高考数学三轮押题冲刺


向量综合应用
【考点导读】 1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不 等式、三角函数、数列等知识的综合问题. 2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用. 【基础练习】 1.已知 a=(5,4) b=(3,2) , ,则与 2a-3b 平行的 单位向量为 e

? ?( 55 , 2 5 5 )

2.已知 a =1, b =1,a 与 b 的夹角为 60°,x=2a-b,y=3b-a,则 x 与 y 的夹角的余弦 值为 ?
21 14

3. 已 知 平 面 上 三 点

A 、 B 、 C 满 足 AB = 3,

BC = 4,

CA = 5, 则

AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于-25
→ → 4. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c,且 A,B,C 依次成等差数列,若AB·BC= 3 - ,且 b= 3,则 a+c 的值为 2 3 2 5.已知 a , b 是两个互相垂直的单位向量, 且 c ? a ? 1 , c ? b ? 1 , | c |? 2 ,则对任意的正实数

【范例导析】

1 t , | c ? ta ? b | 的最小值是 2 2 t

例 1.已知平面向量 a=( 3 ,-1),b=(
2

1 3 , ). 2 2

(1) 若存在实数 k 和 t,便得 x=a+(t -3)b, y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数的关系式

k=f(t) ;
(2) 根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间。 分析:利用向量知识转化为函数问题求解.

t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 解:(1)法一:由题意知 x=( , ), 2 2
y=(

3 1 t- 3 k, t+k),又 x⊥y 2 2

故 x · y=

t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 3 1 ×( t- 3 k)+ ×( t+k)=0。 2 2 2 2

整理得:t -3t-4k=0,即 k=

3

1 3 3 t - t. 4 4

法二:∵a=( 3 ,-1),b=(
2

1 3 , ), ∴. a =2, b =1 且 a⊥b 2 2
2 2 3

∵x⊥y,∴x · y=0,即-k a +t(t -3) b =0,∴t -3t-4k=0,即 k= (2) 由(1)知:k=f(t) =

1 3 3 t- t 4 4

1 3 3 3 3 t - t ∴k?=f?(t) = t2- , 4 4 4 4

令 k?<0 得-1<t<1;令 k?>0 得 t<-1 或 t>1. 故 k=f(t)的单调递减区间是(-1, 1 ),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 点拨:第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法: 一是先利用向量的坐标运 算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件 ;二是直接利用向量的垂直的充 要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大 大简化,值得注意) 。第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处 的综合运用。 例 2.已知两点 M(-1,0), (1)点 P 的轨迹是什么曲线? N(1 , 0), 且 点 P 使 MP · MN , PM · PN ,

NM · NP 成公差小于零的等差数列.
(2)若点 P 坐标为(x0、y0) ,记 θ 为 PM 与 PN 的夹角,求 tanθ . 分析;问题(1)是简单的求轨迹问题,可由题目条件直接求得,问题(2)涉及向量的夹 角,可以联系向量的夹角公式解决. 解:(1)设点 P(x , y) ,分别计算出 MP · MN , PM · PN , NM · NP , 由题意,可得点 P 的轨迹方程是

??? ?

x 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 0)
PM ? PN PM PN

故点 P 的轨迹是以原点为圆心、 3 为半径的右半圆。 (2) 由(1)知, x0 ? y 0 ? 3 ( x0 ? 0) ,可得 cosθ =
2 2

?

1
2 4 ? x0



又 x0 ? (0, 3 ) ,∴ cos ? ?

1
2 4 ? x0

?(

1 ? , 1], 即 ? ? [0, ) , 3 2

于 是

sin θ



1 ? cos 2 ? =

1?

1 = 2 4 ? x0

2 3 ? x0 2 4 ? x0



y0 4?
2 x0



? tan ? ?

sin ? ? y0 cos?

点拨: 本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量 的长度、角度、数量积,又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识, 可谓一举多得。 例 3. 椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) c ? 0 )的准 (

线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (3)设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证 明

FM ? ?? FQ
分析:本题需将向量的运算和解析几何的基本思想方法综合起来解题

x2 y2 解: (1)由题意,可设椭圆的方程为 2 ? ? 1(a ? 2 ) 2 a
?a 2 ? c 2 ? 2, ? 由已知得 ? a2 ?c ? 2( ? c). c ?
解得 a ?

6, c ? 2

所以椭圆的方程为

x2 y2 6 ? ? 1 ,离心率 e ? 6 2 3

(2)解:由(1)可得 A(3,0) 设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) 由方程组

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 ?6 ? y ? k ( x ? 3) ?
得 (3k ? 1) x ? 18k x ? 27 k ? 6 ? 0
2 2 2 2

依题意 ? ? 12(2 ? 3k ) ? 0 ,得 ?
2

6 6 ?k? 3 3

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

18k 2 , 3k 2 ? 1




27 k 2 ? 6 x1 x 2 ? 3k 2 ? 1

由直线 PQ 的方程得 y1 ? k ( x1 ? 3),

y 2 ? k ( x 2 ? 3) 于 是


y1 y 2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x 2 ? 3) ? k 2 [ x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) ? 9]

∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 由①②③④得 5k 2 ? 1 ,从而 k ? ?



5 6 ? (? , 5 3

6 ) 3

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 (3)证明 : AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x 2 ? 3, y 2 ) 由已知得方程组

? x1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3), ? y ? ?y , 2 ? 1 ? x12 y12 ? ? ? 1, 2 ?6 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 ?6
注意 ? ? 1 ,解得 x 2 ?

5? ? 1 2?

因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) ,故

FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (? ( x 2 ? 3) ? 1, ? y1 )
1? ? ? ?1 , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) 2 2? ? ?1 而 FQ ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? ( , y 2 ) ,所以 2? ?(

FM ? ?? FQ
点拨: 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和 方程的关系等解析几何的基本思想方 法和综合解题能力

(2,0) 例 4.已知两个力(单位:牛) f1 与 f 2 的夹角为 60? ,其中 f1 ? ,某质点在这两个
力的共同作用下,由点 A(1,1) 移动到点 B(3,3) (单位:米) (1) 求 f1 ; (2) 求 f1 与 f 2 的合力对质点所做的功 分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.

?

?

?

? ?

?

? ? ? ( 2), = 2,令 f =(t ? 0) f t 解:1? f = 2, ? 1 2

? 1 3 ? ( ?2 ? t ? t,t =2 3+1) f ? 3+1,3+3) ( 2 2 2

? 2 ? 2? W=f ? AB ? ( f1 ? f2 )(2,)=(

? ? ???

?? ??? ?

3+3,3+3) 2,)=12+4 3 ( 2 ?

点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题. 反馈练习: 1.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3, 1),B(-1, 3), 若点 C 满足

??? ? ???? ??? ? OC ? ?OA ? ?OB ,其中 ? , ? ∈R 且 ? + ? =1,则点 C 的轨迹方程为 x+2y-5= 0

2.已知 a,b 是非零向量且满足 ( a -2b )⊥ a , b -2a )⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是 (

? 3

3. 已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、 两点,且| OA + OB |=| OA - OB |,其中 O 为原点, B 则实数 a 的值为 2 或-2 4.已知向量 a=( cos ?,sin ? ),向量 b=( 3, ?1 ),则|2a-b|的最大值是 4

2

2

5.已知点 A( 3 ,1)、 B(0,0)、 3 ,0),设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,若 CB =λ BE , C( 则λ 等于 ?

3 2

6.已知直线 l 与 x, y 轴分别相交于点 A 、 B , AB ? 2i ? 3 j ( i 、 j 分别是与轴 x, y 正半轴 同方向的单位向量), 则直线 l 的方程是 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 7.已知 a ? (1,

??? ?

17 1-x ), b ? ( x ? 1, 1) ,其中 x ? 2 ,则 a ? b 的最小值是 2 x

8.是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP = OA +λ

??? ???? ?

??? ? ??? ? AB AC ? ? ( ???? ? ???? ), ? ? [ 0, ? ? ) ,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(填外心、内心、 | AC | | AC |
重心、垂心) 9.已知向量 a=(2cosα ,2cosβ ),b=(3cosβ ,3sinβ ),若 a 与 b 的夹角为 60°,则直线

xcosα -ysinα +

1 2 2 1 =0 与圆(x-cosβ ) +(y+sinβ ) = 的位置关系是相离 2 2
??? ? ??? ?

10.如图, AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? ( ?2, ?3) , (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 间的关系;

??? ?

??? ?

????

第 10 题

(2)在(1)的条件下,若有 AC ? BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. 解(1) AD ? (4 ? x, y ? 2), 又 BC ∥ DA,

??? ?

??? ?

? x(y ? 2) ? y(4 ? x) ? 0 ? x ? 2y ? 0 ①
(2)由 AC ⊥ BD ,得(x-2)(6+x)+(y-3)·(y+1)=0,② 即 x +y +4x-2y-15=0 由①,②得 ?
2 2

? x ? ?6 ? x ? 2 或? ? S ? 16 ?y ? 3 ?y ?1

11.设 e1 , e2 的模为 1,且互相垂直,若向量 2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为钝角,求实数

t 的取值范围.
解:∵ ? 2te1 ? 7e2 ?? e1 ? te2 ? ? 0 ,故 2t 2 ? 15t ? 7 ? 0 , ? 解之 ? 7 ? t ? ?

1 . 2

另有 2t ? ? ,7 ? t? ,解之 t ? ?

14 , ? ? ? 14 , 2

∴ t ? (?7,?

14 14 1 ) ? (? ,? ) . 2 2 2

12.某人骑车以 akm/h的速度向东行驶, 感到风是从正北方向吹来; 而当速度为 2akm/h 时,感到风是从东北方向吹来,试求实际的风速和风向.? 解:设此人行驶的速度为 a,则|a|=a,且在无风时,此人感到的风速为-a,又设 实际风速为 v, 由题意知,此人所感到的从正北方向吹来的风速向量为 v-a. ? 如图所示:? 令 OA =-a, OB =-2 a 由于 PO + OA = PA ,故 PA=v-a 又 PO + OB = PB ,故 PB=v-2 a, 即为此人的速度是原来的 2 倍时所感到的风速,? 由题意得,∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而△ABC 为等腰三角形, ∴PB=PO,∠POA= ∠APO=45°? ∴PO= 2 a,|v|= 2 a (km/h)? 答:实际吹来的风是风 速为 2 a km/h 的西北风. 第 12 题


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