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选修4-5《不等式选讲》训练题(刘国)


选修 4—5:不等式选讲
1. (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a 2 ? b 2 的最小值. 【答案】 (Ⅰ)3; (Ⅱ)

9 2

>【解析】 试题分析: (Ⅰ)去掉绝对值,求出解集,利用解集为[0,4],求 m 的值; (Ⅱ)利用柯西不 等式,即可求 a 2 ? b 2 的最小值. 试题解析: (Ⅰ)不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 , ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ?

?3 ? m ? 0 ,m ? 3. ?m ? 1 ? 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 , (方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 2(a ? b ) ,
2 2 2 2 2 2
2 2 ∴a ?b ?

9 9 ,∴ a 2 ? b 2 的最小值为 . 2 2
2 2 2 2

(方法二:利用柯西不等式) ∵ (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? (a ?1 ? b ?1) ? (a ? b) ? 9 ,
2 2
2 2 ∴a ?b ?

9 9 ,∴ a 2 ? b 2 的最小值为 . 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a ,
2 2 2 2 2 2 ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2 ∴ a ? b 的最小值为

3 2

9 9 ? , 2 2

9 . 2

考点:绝对值不等式 2. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m) . (Ⅰ)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围. 【答案】 (1) (??,?3) ? (4,??) , (2) (??,-1] 【解析】 试题分析: (1)由题 x ? 1 ? x ? 2 ? 7 利用绝对值的意义,分段化为不等式组求解即可, 注意最后是求并集 ( 2 ) 不 等 式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 利 用 三 角 不 等 式 可 知

x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3
则需 m ? 4 ? 3, 可得 m 的取值范围 试题解析: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ; (2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]
考点:绝对值不等式 3.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? a , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

【答案】 (Ⅰ) ?x | 0 ? x ? 2? ; (Ⅱ) ? ?1, ? 3 【解析】

? ?

4? ?

试题分析: ( Ⅰ ) 由 a ? ?2 以 及 求 不 等 式 f ( x) ? g ( x) 的 解 集 , 等 价 变 换 为

2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ? 0 由分段函数即可到结论.
(Ⅱ) 由 a ? ?1 , 且当 x ? [ ? 恒成立,所以 x 的最小值 ?

a 1 a 1 , ) 即可化简函数 f ( x) , 由此可得 x ? a ? 2 对 x ? [ ? , ) 2 2 2 2

a 大于等于 a ? 2 .即可得到结论. 2

试题解析: (Ⅰ)当 a=-2 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ? 0 , 设函数 y ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,则

1 ? ??5 x, x ? 2 ? 1 ? y ? ?? x ? 2, ? x ? 1 2 ? ?3x ? 6, x ? 1 ? ?
其图象如图所示

从图象可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是 ?x | 0 ? x ? 2? ;

a 1 , ) , f ( x) ? 1 ? a ,不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 a 1 a 4 所以 x ? a ? 2 对 x ? [ ? , ) 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? , 2 2 3 2
(Ⅱ)当 x ? [ ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3

? ?

4? ?

考点:1.绝对值.2.恒成立问题. 4. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ?

1 ,x?R . 2

(1)求不等式 f ? ? x ? ? f ? x ?1? ? 5 的解集; (2)设 g ( x) ? f 2 ? x ? ?

55 ,且 | x ? a |? 1 .求证: | g ( x) ? g (a ) |? 2(| a | ?1) . 4

【答案】 (1)所以 f ? ? x ? ? f ? x ?1? ? 5 的解集为 x x ? ?2 或 x ? 3? . (2)见解析 【 解

?







1







f ? ? x ? ? f ? x ? 1? ? ? x ?

1 ? x? 2

?

?

1 ? ?1 ? x x ? ?2 2 ? 3 1 ? x ? ? 2x ? ? ? ? 1 ? ?x? 2 2 2 ? 3 ? ?2 x ? x ? 2 1 ?
(5 分)

, 3 , 1 2

2

所以 f ? ? x ? ? f ? x ?1? ? 5 的解集为 x x ? ?2 或 x ? 3? . (2)证明: g ( x) ? f 2 ? x ? ?
2 2

?

55 ? x 2 ? x ? 14 , 4

由 | g ( x) ? g (a ) |?| x ? a ? a ? x |?| ( x ? a )( x ? a ? 1) | = | x ? a || x ? a ? 1|?| x ? a ? 1|?| ( x ? a ) ? 2a ? 1| ?| x ? a | ? | 2a | ?1 ?| 2a | ?2 = 2(| a | ?1) . (10 分) 考点:绝对值不等式的解法,绝对值不等式的证明. 5.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) {x | ?1 ? x ? 2} ; (2) a ? ?3 或 a ? 5 . 【解析】 试题分析: (1)含有两个绝对号的不等式,利用零点分段法解不等式,关键是求每个绝对号 的零点,并从小到大标在数轴上且将定义域分段,并去绝对号解不等式; (2)若关于 x 的不 等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空等价于不等式有解,只需利用绝对值三角不等式求函数
f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . 的最小值即可.

试题解析: (Ⅰ)原不等式等价于

1 3 3 ? ? ? 1 ?x ? ? ?x ? ?? ? x ? 或? 2 或? 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
解,得

3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} (Ⅱ)? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4

? | a ? 1 |? 4

? a ? ?3, 或

a?5

考点:1、绝对值不等式解法;2、绝对值三角不等式 6.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1| . (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的值. 【答案】 (1){x|-1<x<1}; (2)a=-4 或 0. 【解析】 试题分析:本题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识, 意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问,先利用零点分段法去掉 绝对值,得到关于 f ( x) 的分段函数,再分别解 f ( x) ? 3 的不等式,综合所得不等式;第二 问,利用不等式的性质 | a ? b |?| a | ? | b | ,关键是等号成立的条件必须同时成立,得到最小 值 |1 ?

a | ,令其等于 1,解绝对值不等式即可得到 a 的值. 2

? ? ?3x, x ? ?1 ? 1 ? 试题解析: (Ⅰ)因为 f (x)=|2x-1|+|x+1|= ?? x ? 2, ?1 ? x ? , 2 ? 1 ? 3 x, x ? ? ? 2
且 f (1)=f (-1)=3,所以,f (x)<3 的解集为{x|-1<x<1};

a a a a |+|x+1|+|x- |≥|1+ |+0=|1+ | 2 2 2 2 a a 当且仅当(x+1)(x- )≤0 且 x- =0 时,取等号. 2 2 a 所以|1+ |=1,解得 a=-4 或 0. 2
(Ⅱ)|2x-a|+|x+1|=|x- 考点:不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质. 7.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? a (Ⅰ)a=-3 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围 【答案】 (Ⅰ)[-1,2] ; (Ⅱ) (- ? ,

1 ] 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)当 a=-3 时, f ( x ) ? 6 即为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ≤ 6 ,将 x 分成 x ?

3 , 2

?

1 1 3 ? x ? 和 x ? ? 三种情况,通过分类讨论去掉绝对值,将原不等式等价转化为三个 2 2 2

一元一次不等式组,解这些不等式组即可得到原不等式的解集; (Ⅱ)利用绝对值不等式 性质: | a | ? | b | | 1? a | ,由关于 x 的不等式 ? |a ? b |求出 | 2x ? 1 |? | 2 x ? a 的最小值 |

f ( x) ? a 恒成立及不等式恒成立的知识知,a < |1 ? a | ,解这个不等式,即可得到实数 a 的
取值范围.

3 ? ?x ? 试题解析: (Ⅰ) 当 a=-3 时, f ( x) ? 6 为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ≤6, 等价于 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 6
3 1 ? 1 ? 3 1 3 ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? ,解得 ? x ? 2 或 ? ? x ? 或 2 2 2 2 2 ? ? ?2 x ? 1 ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
?1 ? x ? 2 ,
所以不等式 f ( x) ? 6 的解集为[-1,2]; (Ⅱ)因为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | ? 2x ? 1 ? (2x ? a) = |1 ? a | ,

1 2 1 实数 a 的取值范围(- ? , ]. 2
所以 a < |1 ? a | ,解得 a ? 考点:含绝对值不等式解法,绝对值不等式性质,恒成立问题 8.(本小题满分 12 分)已知 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:
2 2 2 (1) a ? b ? c ?

1 ; 3

(2) a ? b ? c ? 3 . 【答案】 【解析】

1 2 1 2 1 2 ? a, b 2 ? ? b, c 2 ? ? c , 9 3 9 3 9 3 1 1 1 2 2 2 2 ? (a 2 ? ) ? (b 2 ? ) ? (c 2 ? ) ? a ? b ? c ? , 9 9 9 3 3 3 3 1 ? a2 ? b2 ? c2 ? 3
2 证明:(1)? a ?

1 (2)∵ a ? ? 3
三式相加得

a?

1 1 1 b? c? 1 1 3 , b? ? 3 , c? ? 3 2 3 2 3 2

a b c 1 1 ? ? ? ( a ? b ? c) ? ? 1 3 3 3 2 2

∴ a ? b ? c ? 3. 9. (本小题满分 10 分,不等式选讲)
2 已知不等式 a ? b ? 2c ?| x ?1| 对于满足条件 a ? b ? c ? 1 的任意实数 a, b, c 恒成立,求
2 2 2

实数 x 的取值范围. 【答案】 x ? ? 3或x ? 3 【解析】 试题分析:利用柯西不等式求出 a ? b ? 2c 的最大值; 试 题 解 析 : 因 为 (a ? b ? 2c) ? (1 ? 1 ? 2)(a ? b ? c ) ? 4 , 所 以 a ? b ? 2c ? 2 ,
2 2 2 2

又 a ? b ? 2c ?| x -1 | 对任意实数 a, b, c 恒成立, 故 | x2 -1|? (a ? b ? 2c)max ? 2 ,
2

解得 x ? ? 3或x ? 3 . 考点:1.柯西不等式;2.不等式恒成立问题; 10、 (2010 全国新课标卷 1)设函数 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ?1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围。

??2 x ? 5,x ? 2 f ( x) ? ? ?2 x ? 3,x ? 2 则函数 y ? f ( x) 的图像如图所示。 解: (Ⅰ)由于

y ? ax 的图像可知,当且仅当 (Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数

a?

1 2 或 a ? ?2 时,函数

y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点。故不等式 f ( x) ? ax 的解集非空时, a 的取值范围


? 2? ? ??,

?1 ? , ? ?? ? ?2 ?。

11、 (2011 年全国新课标卷 1)设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ?1|? 2 。 由此可得
x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? a 即 ? x? ? ? 4 ?x ? a ? a 或? a?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?
a 由题设可得 ? = ?1 ,故 a ? 2 2

?

12、 (2012 全国新课标卷 1)已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。 解: (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0
13、 (2013 年全国新课标卷 1)已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; a 1 (Ⅱ)设 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 2 2 解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.

? a 1? , ? 都成立. ? 2 2? a 4 故 ? ≥a-2,即 a ? . 2 3 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?
所以 x≥a-2 对 x∈ ? ? 1 1 14、 (2014 全国新课标卷 1)若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3+b3 的最小值. (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 1 1 2 解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使 2a+3b=6. 15、 (2013 全国新课标卷 2)设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 。 证明:(Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 a 2 b2 c2 ? ? ? 1。 ; (Ⅱ) 3 b c a

解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 2 2 2 2 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤

2

2

2

2

2

2

1 . 3

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , (2)因为 b c a 2 2 2 a b c ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), 故 b c a 2 a b2 c 2 即 ? ? ≥a+b+c. b c a a 2 b2 c 2 所以 ? ? ≥1. b c a
16、 (2014 全国新课标卷 2)设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

解: (Ⅰ)由 a>0,有 f(x)=|x+1/a|+|x-a|≥|x+1/a-(x-a)|=1/a+a≥2. 所以 f(x)≥2. (Ⅱ)f(x)=|3+1/a|+|3-a|. 当 a>3 时,f(3)=a+1/a,由 f(3)<5 得 3<a<

当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,f(3)<5 得

<a≤3

综上所诉,a 的取值范围为(



17、 (2014 福建卷)已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值为 a . (I)求 a 的值;

q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (II)若 p ,
解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2 时,等号成立, 所以 f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)由(1)知 p+q+r=3,又 p,q,r 是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9, 即 p2+q2+r2≥3.

18、已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求 m 的值;

(Ⅱ)若 a,b,c∈R,且

19、设不等式 | 2 x ? 1|? 1 的解集为 M . (I)求集合 M ; (II)若 a , b ∈ M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小. 解: (I)由 | 2 x ?1|? 1得 ?1 ? 2 x ?1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}. (II)由(I)和 a, b ? M 可知0<a<1,0<b<1 , 所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b. 20 . ( 2012 辽 宁 高 考 ) 已 知 f ( x) ?| ax ? 1| (a ? R) , 不 等 式 f ( x) ? 3 的 解 集 为

{x | ?2 ? x ? 1}x . (1)求 a 的值;
x 2 【解析】 (1)由 | ax ? 1|? 3 ,得 ?4 ? ax ? 2 ,
又 f ? x ? ? 3 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1}x , ∴当 a ? 0 时,则 (2)若 | f ( x) ? 2 f ( ) |? k 恒成立,求 k 的取值范围.

2 4 ?x?? , a a

?2 ? ?2 ? ?a ? ?1 ?a ∴? ,即 ? ,无解 ?a ? ?4 ?? 4 ? 1 ? ? a

当 a ? 0 时,则 ?

4 2 ?x? , a a

?2 ?1 ? ?a ∴? ,即 a ? 2 . 4 ? ? ? ?2 ? ? a x (2)记 f ( x) ? 2 f ( ) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 2
? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? (2x ? 1 ) ? (2x ? 2) =1 ,
∴ k ?1.


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