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新课标高一数学专项练习函数的奇偶性与周期性解析[编辑6页]


高一数学专项练习函数的奇偶性与周期性解析
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)· f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( A.13 13 C. 2 B.2 2 D. 13 )

解析:由 f(x)· f(x+2)=13,知 f(x+2)· f(x+4)=13,所以 f(x+4)=f(x),即 f(x)是周期函数,周期为 4. 13 13 所以 f(99)=f(3+4×24)=f(3)= = . f(1) 2 答案:C 2.(2010· 郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 α,β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2010,则 下列说法正确的是( )

A.f(x)-1 是奇函数 B.f(x)+1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数 解析:依题意,取 α=β=0,得 f(0)=-2010;取 α=x,β=-x,得 f(0)-f(x)-f(-x)=2010,f(-x) +2010=-[f(x)-f(0)]=-[f(x)+2010],因此函数 f(x)+2010 是奇函数,选 D. 答案:D 3.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x),则函数 f(x)在(1,2)
2

上(

) A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 解析:由题意得当 x∈(1,2)时,0<2-x<1,0<x-1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)=log1[1-(2-x)]=log1(x-
2 2

1)>0,则可知当 x∈(1,2)时,f(x)是减函数,选 D. 答案:D 4.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(x)=f? A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析:因为 f(x)是连续的偶函数,且 x>0 时是单调函数,由偶函数的性质可知若 f(x)=f?

?x+3?的所有 x 之和为( ? ?x+4?

)

?x+3?,只有两 ? ?x+4?
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x+3 x+3 种情况:①x= ;②x+ =0. x+4 x+4 由①知 x2+3x-3=0,故两根之和为 x1+x2=-3. 由②知 x2+5x+3=0,故其两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8. 答案:C 5.已知奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么函数 f(x)在区间[-7,-3]上( A.是增函数且最小值为-5 B.是增函数且最大值为-5 C.是减函数且最小值为-5 D.是减函数且最大值为-5 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称. )

∵f(x)在[3,7]上是增函数, ∴f(x)在[-7,-3]上也是增函数. ∵f(x)在[3,7]上的最小值为 5, ∴由图可知函数 f(x)在[-7,-3]上有最大值-5. 答案:B 评析:本题既涉及到函数的奇偶性,又涉及到函数的单调性,还涉及到函数的最值,是一道综合性较 强的题目,由于所给的函数没有具体的解析式,因此我们画出函数 f(x)在区间[3,7]上的示意图,由图形易 得结论. 6.(2010· 新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析:当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8, 又 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x3-8,
? 3 ?x -8,x≥0 ∴f(x)=? 3 . ? ?-x -8,x<0

)

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3 ? ?(x-2) -8,x≥2 ∴f(x-2)=? , 3 ? ?-(x-2) -8,x<2

? ? ?x≥2 ?x<2 ? 或? , 3 3 ? ?(x-2) -8>0 ?-(x-2) -8>0 ?

解得 x>4 或 x<0.故选 B. 答案:B 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.(2010· 江苏)设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 解析:设 g(x)=x,h(x)=ex+ae x,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数 h(x)=ex+ae x 为 奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1. 答案:-1 8.已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________. 解析:依题意有 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=f(x-1),所以 f(4)=f(-(-3)+1)=-f(-2)=-f(- 1-1)=-f(0)=-2. 答案:-2 9.(2010· 湖北八校)设函数 f(x)的定义域、值域分别为 A、B,且 A∩B 是单元集,下列命题 ①若 A∩B={a},则 f(a)=a; ②若 B 不是单元集,则满足 f[f(x)]=f(x)的 x 值可能不存在; ③若 f(x)具有奇偶性,则 f(x)可能为偶函数; ④若 f(x)不是常数函数,则 f(x)不可能为周期函数. 其中,正确命题的序号为________. 解析:如 f(x)=x+1,A=[-1,0],B=[0,1]满足 A∩B={0},但 f(0)≠0,且满足 f[f(x)]=f(x)的 x 可能 不存在,①错,②正确;如,f(x)=1,A=R,B={1},则 f(x)=1,A=R 是偶函数,③正确;如 f(x)=x- 2k+1,A=[2k-1,2k],B=[0,1],k∈Z,f(x)是周期函数,但不是常数函数,所以④错误. 答案:②③ 10.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________. ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称. 解析: f(x-1)的图象是由 f(x)的图象向右平移一个单位而得到, f(x)是奇函数, 又 其图象关于原点对称, 所以 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称,故①正确; 由 f(x+1)=f(x-1)可知 f(x)的周期为 2,无法判断其对称轴,故②错误; f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)关于 y 轴对称,故 f(x)为偶函数,③正确; y=f(1+x)的图象是由 y=f(x)的图象向左平移一个单位后得到,y=f(1-x)是由 y=f(x)的图象关于 y 轴
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对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于 y 轴对称,故④错误. 答案:①③ 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) -2x+b 11.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 分析:(1)由 f(0)=0 可求得 b,再由特殊值或奇函数定义求得 a;(2)先分析函数 f(x)的单调性,根据单 调性去掉函数符号 f,然后用判别式解决恒成立问题. 解:(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0, 即 b-1 =0?b=1, a+2

1-2x 所以 f(x)= + , a+2x 1 又由 f(1)=-f(-1) 1 1- 2 1-2 知 =- ?a=2. a+4 a+1 1-2x (2)由(1)知 f(x)= + 2+2x 1 1 1 =- + x , 2 2 +1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数,从而不等式: f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得:t2-2t>k-2t2, 即对 t∈R 有: 1 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0?k<- . 3 12.设函数 f(x)的定义域为 R,对于任意的实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时,f(x)<0, 求证:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 证明:(1)令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)设 x1、x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2,则 x2-x1>0,
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∵当 x>0 时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0. 又∵对于任意的实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(x)为奇函数, ∴f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∴f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 13.设函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足 f(x1)f(x2)+1 ①f(x1-x2)= ; f(x2)-f(x1) ②存在正常数 a,使 f(a)=1. 求证:(1)f(x)是奇函数; (2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为 4a. 证明:(1)不妨令 x=x1-x2,则 f(x2)f(x1)+1 f(-x)=f(x2-x1)= f(x1)-f(x2) f(x1)f(x2)+1 =- =-f(x1-x2) f(x2)-f(x1) =-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)要证 f(x+4a)=f(x), 可先计算 f(x+a),f(x+2a), f(-a)f(x)+1 ∵f(x+a)=f[x-(-a)]= f(-a)-f(x) -f(a)f(x)+1 f(x)-1 = = ,(f(a)=1). -f(a)-f(x) f(x)+1 ∴f(x+2a)=f[(x+a)+a] f(x)-1 -1 f(x+a)-1 f(x)+1 1 = = =- . f(x) f(x+a)+1 f(x)-1 +1 f(x)+1 ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]= 1 =f(x) -f(x+2a)

故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.

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