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广东省中山市2016年高三数学5月模拟考试试题 理


中山市 2016 届高三高考模拟试题(理科数学)
参考数据公式:①独立性检验临界 值表

P( K 2 ? k0 )

0.50 0.45 5

0.40 0.70 8
2

0.25 1.32 3

0.15 2.07 2

0.10 2

.70 6
2

0.05 3.84 1

k0

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5
2

0.00 5 7.87 9

0.001 10.82 8

n ? ad ? bc ? ②独立性检验随机变量 K 的值的计算公式: K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M ? x log 2 ( x ? 1) ? 0 ,集合 N ? x x ? ?2 ,则 N ? CR M = ( A. x x ? ?2 2. 复数 z ? A. 1 ? i

?

?

?

?



?

?

B. x ?2 ? x ? 2

?

?

C. x ?2 ? x ? 3

?

?

D. x ?2 ? x ? 2

?

?

2i 的共轭复数是( 1? i
B. 1 ? i



C.

1 1 ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2

3. 某小区有 1000 户,各户每月的用电量近似服从正态分布 N (300,100) ,则用电 量在 320 度以上的户数估计约为( )

? 68.26% 【参考数据 :若随机变量 ? 服从正态分布 N ( ?, ? 2 ) ,则 P( ? ?? ?? ? ? ?? ) P( ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 95.44% P( ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 99.74% 】
A.17 B.23 ) C.34 D.46 4. 以下判断正确的是(



A.函数 y ? f ( x) 为 R 上可导函数,则 f ?( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x ) 极值点的充要条件; B.命题“存在 x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ 任意 x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;
2

C.命题“在锐角 ?ABC 中,有 sin A ? cos B ”为真命题; D.“ b ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 是偶函数”的充分不必要条件.
2

? x ? ? )( ? ? 0, ? 5. 函数 f ( x ) ? 2 sin(
如图所示,则 ? , ? 的值分别是( )

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象
2
11π

? A. 2, ? 3

? B. 2, ? 6

O -2

5π 12

12

1

C. 4, ?

? 6

D. 4,

? 3
5n ? 10 ,则它们的第 7 项之比为( 2n ? 1
C. )

6. 两个等差数列的前 n 项和之比为

A.2

B.3

45 13

D.

70 27

?5 x ? 2 y ? 18 ? 0, ? 7. 已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 0, 若直线 kx ? y ? 1 ? 0 ? x ? y ? 3 ? 0, ?
经过该可行域,则实数 k 的最大值是( A.1 B. ) D.3

开始

n ? 1, S ? 0

3 2

C.2

n ? 4?

S ? S ? n ? 3n



8. 阅读如右所示的程序框图,若运行相应的程序,则输出 的 S 的值是( A. 39 C. 81 ) B. 21 D. 102

输出 S

n ? n ?1

结束

9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 数学成 绩 物理成 绩 9 5 9 0 7 5 6 3 8 0 7 2 9 4 8 7 9 2 9 1 6 5 7 1 6 7 5 8 8 4 8 2 9 8 9 3 7 1 8 1 1 1 6 7 7 7 1 2 9 3 8 2 1 3 6 4 4 8 1 4 7 8 8 5 1 5 7 7 6 9 1 6 9 0 9 1 1 7 5 7 6 1 1 8 8 3 8 4 1 9 7 2 7 8 2 0 8 3 8 6

若数学成绩 90 分(含 90 分)以上为优秀,物理成绩 85(含 85 分)以上为优秀.有多少 把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系( A. 99.5% B. 99.9% ) D. 95%

C. 97.5%

2

10. 己知抛物线方程为 y 2 =2 px ( p >0 ), 焦点为 F , O 是坐标原点 , A 是抛物线上的一 点, FA 与 x 轴正方向的夹角为 60°,若 ?OAF 的面积为 3 ,则 p 的值为 A.2 或 2 3 B. 2 3 C.2 D.2 或 2

??? ?





11. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体外接球的表面 积为( ) A. 8? C. 32? B. 16? D. 64?

12. 设函数 f ( x ) ? ? 取值范围是( ) A. [e ? 1, ??)

?e x ? a( x ? 1), ?ln( x ? a )( x ? 1).

其中 a ? ?1 .若 f ( x ) 在 R 上是增函数,则实数 a 的 C. (e ? 1, ??) D. [e ? 1, ??)

B. (e ? 1, ??)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知向量 b 为单位向量,向量 a ? (1,1),且 | a ? 为 ;
?
0

?

?

?

? 2b |?

? ? 6 ,则向量 a , b 的夹角

14.已知 m ? 3? sin xdx ,则 (a ? 2b ? 3c)m 的展开式中 ab2 c m ? 3 的系数为 15.已知 F1 、 F2 分别是双曲线



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若在双曲线的右支上 a 2 b2 ???? ? ???? ? ????? ???? ? ???? ? 存在一点M ,使得 OM ? OF2 ?F2 M ? 0 (其中O为坐标原点),且 MF1 ? 3 MF2 , 则双

?

?

曲线离心率为



16. 如下图所示, 在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD .为了测 量该山坡相对于水平地面的坡角 ? , 在山坡的 A 处测得 ?DAC ? 15 , 沿山坡前进 50 m 到
0

达 B 处,又测得 ?DBC ? 45 .根据以上数据计算可得 cos ? ? __________.
0

D
C

B
A
?
第 16 题图
3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知, a1 ? 2 ,且 4S1 ,3S2 , 2S3 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2n ? 5 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙, 已知从城市甲到城 市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计,通过这两条公路 从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布如下表: 所用的时间(天数) 通过公路l的频数 通过公路2的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10

假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发, 汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发(将频率视为概率). (I)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车 A 和汽车 B 应 如何选择各自的路径; (Ⅱ)若通过公路 l、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元(其他费用 忽略不计),此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售 商一次性支付给生产商 40 万元,若在约定日期前送到;每提前一天销售商将多支付给生产 商 2 万元;若在约定日期后送到,每迟到一天,生产商将支付给销售商 2 万元.如果汽车 A, B 按(I)中所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的 毛利润更大.

19. (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=BC=2AD=4,点 E、F 分别是 AB,CD 的中点, 点 G 在 EF 上,沿 EF 将梯形 AEFD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF. (1)当 AG+GC 最小时,求证:BD⊥CG;

4

(2)当 2VB? ADGE ? VD ?GBCF 时,求二面角 D ? BG ? C 平面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 F1 , F2 , 且 椭 圆 过 点 ( 0 , 3 , ) a 2 b2

6 ) ,且 A 是椭圆上位于第一象限的点,且 ?AF1F2 的面积 S?AF1F2 ? 3 . 2 (1)求点 A 的坐标; (2) 过点 B(3,0) 的直线 l 与椭圆 E 相交与点 P, Q , 直线 AP, AQ 与 x 轴相交与 M , N 两 5 y 点,点 C ( ,0) ,则 | CM | ? | CN | 是否为定值,如果 2 ( 3, ?
是定值,求出这个定值,如果不是请说明理由.
A F1 C N B M Q

F2 P l

O

x

21.(本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x2e1? x ? a ? x ?1? . (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值; (2)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? a x ? 1 ? e

?3 ?4

? ?

?

1? x

? , 当 g ? x ? 有两个极值点 x , x ? x ? x ? 时,
1 2 1 2

总有 x2 g ? x1 ? ? ? f ? ? x1 ? ,求实数 ? 的值( f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数).

5

四、选做题(请考生在 2 2、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点

P, ?BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D, E ,若 PA ? 2 PB ? 10 .
(1)求证: AC ? 2 AB ; (2)求 AD ? DE 的值.

23. (本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 ? 的直线 l : ? 线C : ?

? ? x ? 2 ? t cos ? ( t 为参数)与曲 y ? 3 ? t sin ? ? ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数)相交于不同的两点 A ,B . ? y ? sin ?

(1)若 ? ? 程;

? ,若以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,求直线 AB 的极坐标方 3
5 ,点 P(2 , 3) ,求 | PA | ? | PB | 的值. 4

(2)若直线的斜率为

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? a ? 3x ? 2 ? x . (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若存在实数 a ,使得不等式 f ( x) ? 1 ? a ? 2 | 2 ? x | 成立,求实数 a 的取值范围.

中山市 2016 届高考数学(理科)模拟试卷参考答案 一、选择题
6

题号 答案

1 D

2 A

3 B

4 C

5 A

6 B

7 B

8 D

9 A

10 C

11 C

12 D

二、填空题 13.

2? 3

14. ?6480

15. 3 ? 1

16.

3 ?1

三、解答题 17. 解: (1)∵ 4S1 ,3S2 , 2S3 成等差数列,∴ 6S2 ? 4S1 ? 2S3 即 6(a1 ? a2 ) ? 4a1 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) ,则 3a3 ? 2a2 , ∴ q ? 2 ,∴ an ? 2 (n ? N )
n *

2n ? 5 ? 0 , (2) 当 n ? 3 时, ? 当 n ? 1, 2 时, Tn ? 10 ?1? 23 ? 3? 24 ??? ? 2n ? 5? ? 2n

2Tn ? 20 ?1? 24 ? 3? 25 ??? ? 2n ? 5? ? 2n?1 ,两式相减,得

?Tn ? ?10 ? 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2n ? 5? ? 2
4 5 n

n ?1

? ?2 ? 2 ?

24 ?1 ? 2n?3 ? 1? 2

? ? 2n ? 5? ? 2n?1

? ?34 ? ? 7 ? 2n? ? 2n?1 ?Tn ? 34 ? ? 2n ? 7? ? 2n?1

?6, n ? 1 ? ?Tn ? ?10, n ? 2 ?34 ? 2n ? 7 ? 2n ?1 , n ? 3 ? ? ?
18.解: (I)频率分布表如下: 所有的时间(天数) 通过公路 1 的频率 通过公路 2 的频率 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1

A 在约定日期前 11 天出发选择 公路 1,2 将货物运往城市乙; 设A 1, A 2 分别表示汽车

B1, B2 分别表示汽车 B 在约定日期前 12 天出发选择公路 1,2 将货物运往城市乙; P( A1 ) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.6 ; P( A2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 ; P( B1 ) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.6 ; P( B2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ;
所以汽车 A 选择公路 1.汽车 B 选择公路 2 (Ⅱ)设 X 表示汽车 A 选择公路 1 时,销售商付给生产商的费用 ,则 X 的所有可能取 值有 42,40,38,36,则 X 的分布列如下:

X P

42 0.2

40 0.4

38 0.2

36 0.2

EX ? 42 ? 0.2 ? 40 ? 0.4 ? 38 ? 0.2 ? 36 ? 0.2 ? 39.2
7

∴汽车 A 选择公路 1 的毛利润是 39.2 ? 3.2 ? 36 (万元) 设 Y 表示汽车 B 选择公路 2 时,销售商付给生产商的费用,则 Y 的所有可能取值有 42,40,38,36,则 X 的分布列如下:

X P

44 0.1

42 0.4

40 0.4

38 0.1

EX ? 44 ? 0.1 ? 42 ? 0.4 ? 40 ? 0.4 ? 38 ? 0.1 ? 41 ∴汽车 B 选择公路 2 的毛利润是 41 ? 1.6 ? 39.4 (万元) ∵ 36.0 ? 39.4
汽车 B 为生产商获得的毛利更大。 19.解:(1)证明:∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,∴EF∥BC,又∠ABC= 90 E⊥EF, ∵ 平面 AEFD⊥平面 EBCF, ∴ AE⊥平面 EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又 BE⊥EF, 如图建立空间坐标系 E ? xyz . 翻折前,连接 AC 交 EF 于点 G,此时点 G 使得 AG+GC 最小.
0

∴A

z

y
x

EG=

1 BC=2,又∵EA=EB=2. 2

则 A(0,0,2), B(2,0,0), C(2,4,0) D(0,2,2), E (0,0,0), G(0,2,0) ∴ BD ? (?2,2,2) , CG ? (?2, ?2,0) ,∴ BD ? CG ? (?2) ? (?2) ? 2 ? (?2) ? 0 ? 0 , ∴ BD ? CG . (2)设 EG ? k ,∵AD∥平面 EFCB, ∴点 D 到平面 EFCB 的距离为即为点 A 到平面 EFCB 的距离. ∵ S四边形GBCF ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 [(3 ? k ) ? 4] ? 2 ? 7 ? k , 2

∴ VD ?GBCF ?

1 2 ? S四边形GBCF ? AE ? (7 ? k ) 3 3 1 2 S四边形ADGE ? BE ? (2 ? k ) 3 3


∴ VB ? ADGE ?

又∵ 2VB? ADGE ? VD?GBCF , ∴ k ? 1 即 EG=1.

4 2 (2 ? k ) ? (7 ? k ) 3 3

设平面 DBG 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,∵ G (0,1,0) ,

??

8

∴ BG ? (?2,1,0) , BD ? (?2,2,2) ,

??? ?

??? ?

?? ??? ? ? ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? n1 ? BD ? 0 则 ? ?? ??? ,即 ? , ? ? 2 x ? y ? 0 n ? BG ? 0 ? ? ? 1 ?? 取 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1,∴ n1 ? (1,2, ?1) .
平面 BCG 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) , 则 cos ? n1 , n2 ??

?? ?

?? ?? ?

6 ,∵所求二面角 D ? BF ? C 的平面角为锐角, 6 6 . 6 6 ), 2

∴此二面角平面角的余弦值为

20. 解:因为椭圆椭圆 E 过点 (0, 3) , ( 3, ?

? ?b ? 3 ? 2 2 2 2 ∴ ?a ? b ? c ,计算的得出 a ? 6, b ? c ? 3 , ?3 3 ? 2 ? 2 ?1 2b ?a
∴椭圆 E 的方程为:

x2 y2 ? ?1 6 3


∵ ?AF1F2 的面积 S?AF F ? 3 , 1 2

1 | F1F2 | y A ? 3 2

∴ y A ? 1 ,代入椭圆方程

x A2 y 2 ? ? 1. 6 3

∵ x A ? 0 ,计算得出 x A ? 2 ,∴ A(2,1) (2)解法一:设直线 l 的方程为: x ? my ? 3 , P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) 直线 AP 的方程为:y ? 1 ?

y1 ? 1 2 y ? x1 (2 ? m) y1 ? 3 ( x ? 2) , ,0) 即 M ( ,0) 可得:M ( 1 x1 ? 2 y1 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 2 y ? x2 (2 ? m) y2 ? 3 ( x ? 2) , ,0) 即 N ( ,0) 可得:N ( 2 x2 ? 2 y2 ? 1 y2 ? 1

直线 AQ 的方程为:y ? 1 ?

9

联立 ?

? x ? my ? 3 ?x ? 2 y ? 6
2 2

消去 x 整理的: (2 ? m2 ) y 2 ? 6my ? 3 ? 0 .
2

由 ? ? 36m2 ? 12(2 ? m2 ) ? 0 ,可得 m ? 1 ;

y1 ? y2 ? ?

6m 3 , y1 y2 ? 2 2?m 2 ? m2

5 (2 ? m) y1 ? 3 5 (2 ? m) y2 ? 3 | CM | ? | CN |? ( ? )?( ? ) 2 y1 ? 1 2 y2 ? 1 (1 ? 2m) y1 ? 3 (1 ? 2m) y2 ? 3 (1 ? 2m) 2 y1 y2 ? (1 ? 2m)( y1 ? y2 ) ? 1 ? ? ? 2( y1 ? 1) 2( y2 ? 1) 4[ y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1]
3 6m ? (1 ? 2m) ? ( ? ) ?1 2 2?m 2 ? m2 ? 3 6m 4[ ? ? 1] 2 2 ? m 2 ? m2 3 ? 12m ? 12m 2 ? 6m ? 12m 2 ? 2 ? m 2 m 2 ? 6m ? 5 1 ? ? ? 2 2 4(3 ? 6m ? 2 ? m ) 4(m ? 6m ? 5) 4 (1 ? 2m)2 ?
故 | CM | ? | CN | 为定值,且 | CM | ? | CN |?

1 . 4

解法二、设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ), M ( x3 ,0), N ( x4 ,0) ,直线 l 、 AP 、 AQ 的斜率分别为

? y ? k ( x ? 3) 2 2 2 2 得 (1 ? 2k ) x ? 12k x ? 18k ? 6 ? 0 k , k1 , k2 ,由 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 6

? ? 144k 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(18k 2 ? 6) ? 0 ,可得: k 2 ? 1
x1 ? x2 ? 12k 2 18k 2 ? 6 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
, ∴

k1 ? k2 ? ?

y1 ? 1 y2 ? 1 k ( x1 ? 3) ? 1 k ( x2 ? 3) ? 1 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 2kx1 x2 ? (5k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 12k ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

?

2k ?

18k 2 ? 6 12k 2 ? (5 k ? 1) ? ? 12k ? 4 ?4 k 2 ? 4 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ?2 18k 2 ? 6 12k 2 2k 2 ? 2 ? 2? ?4 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由 y ? 1 ? k1 ( x ? 2) , 令 y ? 0 ,得 x3 ? 2 ?

1 1 ,即 M (2 ? ,0) k1 k1
10

同理的 x4 ? 2 ?

1 1 ,即 N (2 ? ,0) ,则 k2 k2

| CM | ? | CN |?| ?| ?|

5 1 5 1 1 1 1 1 ? (2 ? ) | ? | ? (2 ? ) |?| ? | ? | ? | 2 k1 2 k2 2 k1 2 k2 1 1 1 1 1 1 1 k ?k 1 ? ( ? )? |?| ? ( 1 2 ) ? | 4 2 k1 k2 k1k1 4 2 k1k2 k1k2 1 1 ?2 1 1 ? ? ? |? 4 2 k1k2 k1k2 4

故 | CM | ? | CN | 为定值,该定值为

1 4

21.解(1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x2e1? x ? ? x ?1? 则 f ?? x? ? 2x ? x

?

2

?e

1? x

?1 ?

2 x ? x 2 ? e x ?1 , e x ?1

令 h ? x ? ? 2x ? x2 ? ex?1 ,则 h? ? x ? ? 2 ? 2x ? e x?1 显然 h? ? x ? 在区间 ? 总有 h? ? x ? ? 0

?3 ? ?3 ? ? 3? 1 1 , 2 ? 内是减函数,又? h? ? ? ? ? 4 ? 0 ,在区间 ? , 2 ? 内, e ?4? 2 ?4 ? ?4 ?

?3 ? ?3 ? ? h ? x ? 在区间 ? , 2 ? 内是减函数,又? h ?1? ? 0?当 x ? ? ,1? 时, h ? x ? ? 0 , ?4 ? ?4 ?
? f ? ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 单调递增;
当 x ? ?1, 2? 时, h ? x ? ? 0

? f ? ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 单调递减;

?3 ? ? f ? x ? 在区间 ? , 2 ? 内的极大值也即最大值是 f ?1? ? 1 ?4 ?
(2)由题意,知 g ? x ? ? x ? a e
2

?

?

1? x

,则 g ? ? x ? ? 2 x ? x ? a e
2

?

?

1? x

? ? ? x 2 ? 2 x ? a ? e1? x

根据题意,方程 ? x ? 2 x ? a ? 0 有两个不同的实根 x1 , x2 ? x1 ? x2 ?
2

?? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 ,且 x1 ? x2 ? 2

? x1 ? x2 ? x1 ? 1, 且x2 ? 2 ? x1 ,由 x2 g ? x1 ? ? ? f ? ? x1 ?
11

其中 f ? ? x ? ? 2 x ? x
1

?

2

?e

1? x

? a ,得
1

1? x 2 ? 2 ? x1 ? ? x12 ? a ? e1? x ? ? ? ?? 2 x1 ? x1 ? e

? ? 2 x1 ? x12 ?? ?

? ? x12 ? 2x1 ? a ? 0
所以上式化为 ? 2 ? x1 ? 2 x1 e

? ?

1? x1

1? x1 2 2 ? ??? ?? 2 x1 ? x1 ? e ? ? 2 x1 ? x1 ??

又? 2 ? x1 ? 0 , 所以不等式可化为 x1 ? ? 2e 成立. ①当 x1 ? 0 , x1 ? ? 2e
1? x1

1? x1

? ? e1? x1 ? 1? 对任意的 x1 ? ? ??,1? 恒 ? ?0,

? ? e1? x1 ? 1? ? ? 0 不等式恒成立, ? ? R ;

②当 x1 ? ? 0,1? 时, 2e

1? x1

? ?e1? x1 ? 1 ? 0 恒成立, ? ?

2e1? x1 e1? x1 ? 1

令函数 k ? x1 ? ?

2e1? x1 2 ? 2 ? 1? x1 1? x1 e ?1 e ?1

显然 k ? x1 ? 是 R 内的减函数,当 x ? ? 0,1? , k ? x ? ? k ? 0 ? ?

2e 2e ?? ? e ?1 e ?1

③ x1 ? ? ??,0? 时, 2e

1? x1

? ?e1? x1 ? 1 ? 0 恒成立,即 ? ?

2e1? x1 e1? x1 ? 1

由②,当 x ? ? ??,0? , k ? x ? ? k ? 0 ? ?

2e 2e ,即 ? ? e ?1 e ?1

综上所述, ? ?

2e . e ?1

四、选做题(请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.)

? PA 是圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACB , ??ABP ? ?CAP 22. (1) 又 ? P 是公共角,

?

CA AP ? ? 2 ? AC ? 2 AB ; AB BP

2 (2)由切割线定理,得 PA ? PB ? PC,? PC ? 20 ,又 PB ? 5, BC ? 15

又? AD 是 ?BAC 的平分线,?

AC CD ? ?2 AB DB

12

由相交弦定理,得 AD ? DE ? CD ? DB ? 50 . 23. 解: (1)当 ? ?

? 时, 3

直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 ? 0

∴直线 l 的极坐标方程为: 3? cos? ? ? sin ? ? 3 ,即 2 ? cos(? ? (2)曲线 C : ? 将?

?
6

)? 3

? x ? 2cos ? x2 ? y2 ? 1 , 普通方程是: 4 y ? sin ? ?

? ? x ? 2 ? t cos ? 代入曲线 C 的普通方程,整理得: ? ? y ? 3 ? t sin ?

(cos2 ? ? 4sin2 ? )t 2 ? (8 3sin ? ? 4cos? )t ? 12 ? 0
因为 | PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |?

12 12(cos2 ? ? sin 2 ? ) 12(1 ? tan 2 ? ) ? ? cos2 ? ? 4sin 2 ? cos2 ? ? 4sin 2 ? 1 ? 4 tan 2 ?

而 直 线 的 斜 率 为

5 4

, 则

t a? n ?

5 4

代 入 上 式 求 得

5 1 2 ?( 1 ) 16 ? 7 . | PA | ? | PB |? 5 1? 4 ? 16
24. 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式的应用等基础知识, 意在考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算求解能力,以及分类 讨论的思想与转化思 想. 24. 解析不等式 f ( x) ? 3 化为 2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ,则

2 2 ? ? ? x ? ?2 ??2 ? x ? ?x ? ,或 ? ,或 ? ,????3 分 3 3 ? ?2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ? ? ?2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ?3 x ? 2 ? 2 ? x ? 3
解得 ?

3 7 ?x? , 4 2

所以不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x | ?

3 7 ? x ? }. 4 2

????????5 分

( 2 ) 不 等 式 f ( x) ? 1 ? a ? 2 | 2 ? x | 等 价 于 a ? 3x ? 3 2 ? x ? 1 ? a , 即

3x ? a ? 3 x ? 6 ? 1 , ? a
由三角不等式知 3x ? a ? 3x ? 6 ?| (3x ? a) ? (3x ? 6) |?| a ? 6 | .??????8 分 若存在实数 a ,使得不等式 f ( x) ? 1 ? a ? 2 | 2 ? x | 成立,则 | a ? 6 |? 1 ? a ,

13

解得 a ? ?

5 , 2

所以实数 a 的取值范围是 [? , ??) .

5 2

????????10 分

14


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