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2017年江苏省南通市高考数学一模试卷(解析版)


2017 年江苏省南通市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.函数 的最小正周期为 . . .

2.设集合 A={1,3},B={a+2,5},A∩B={3},则 A∪B= 3.复数 z=(1+2i)2,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部为

4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.摸出红球的概率为 0.48,摸出黄球的概率为 0.35,则摸出蓝球的概率为 . .

5.如图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值为

6.若实数 x,y 满足

则 z=3x+2y 的最大值为



7.抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩(单位:分) ,结果如下: 学生 甲 乙 第1次 65 80 第2次 80 70 第3次 70 75 第4次 85 80 第5次 75 70 .

则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为

8 .如图,在正四棱柱 ABCD ﹣ A1B1C1D1 中, AB=3cm , AA1=1cm ,则三棱锥 D1 ﹣ A1BD 的体积为

cm3.

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9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 2x+y=0 为双曲线 双曲线的离心率为 .

=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则该

10. 《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则该竹子最上面一节的容积为 11.在△ABC 中,若 ? +2 ? = ? ,则 的值为 . 相交于点 P.若两曲线在点 P 处的切线 升.

12.已知两曲线 f(x)=2sinx,g(x)=acosx, 互相垂直,则实数 a 的值为 .

13.已知函数 f(x)=|x|+|x﹣4|,则不等式 f(x2+2)>f(x)的解集用区间表示为



14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 B,C 为圆 x2+y2=4 上两点,点 A(1,1) ,且 AB⊥AC,则线段 BC 的长的取值范围为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边作锐角 α,其终边与单位圆交于点 A.以 OA 为始边作锐角 β,其终边与单位圆交于点 B,AB= (1)求 cosβ 的值; (2)若点 A 的横坐标为 ,求点 B 的坐标. .

16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,AC,BD 相交于点 O,点 E 为 PC 的中 点,OP=OC,PA⊥PD.求证: (1)直线 PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 PCD.

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17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 准线的距离为 1. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为椭圆上的一点,过点 O 作 OP 的垂线交直线

(a>b>0)的离心率为

,焦点到相应

于点 Q,求

的值.

18.如图,某机械厂要将长 6m,宽 2m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪.已知点 F 为 AD 的中点,点 E D 分别落在直线 BC 下方点 M, 在边 BC 上, 裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处 (点 C, N 处,FN 交边 BC 于点 P) ,再沿直线 PE 裁剪. (1)当∠EFP= 时,试判断四边形 MNPE 的形状,并求其面积;

(2)若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.

19.已知函数 f(x)=ax2﹣x﹣lnx,a∈R. (1)当 时,求函数 f(x)的最小值;

(2)若﹣1≤a≤0,证明:函数 f(x)有且只有一个零点;
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(3)若函数 f(x)有两个零点,求实数 a 的取值范围. 20.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 公比为 q. (1)若 k1=1,k2=3,k3=8,求 (2)当 的值; , ,…, ,…(k1<k2<…<kn<…)成等比数列,

为何值时,数列{kn}为等比数列; 恒成立,求 a1 的取值范围.

(3)若数列{kn}为等比数列,且对于任意 n∈N*,不等式

南通市 2017 届高三第一次调研测试数学Ⅱ(附加题)[选做题本题包括四小题,请选 2 题作答.若 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [选修 4-1:几何证 明选讲] 21.已知圆 O 的直径 AB=4,C 为 AO 的中点,弦 DE 过点 C 且满足 CE=2CD,求△OCE 的面积.

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知向量 是矩阵 A 的属于特征值﹣1 的一个特征向量.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(1,

1)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P'(3,3) ,求矩阵 A.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,求直线 被曲线 ρ=4sinθ 所截得的弦长.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.求函数 的最大值.

[必做题]共 2 小题,满分 20 分)
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25. P 为棱 C1D1 的中点, Q 为棱 BB1 上的点, 如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 且 BQ=λBB1 (λ≠0) . (1)若 ,求 AP 与 AQ 所成角的余弦值;

(2)若直线 AA1 与平面 APQ 所成的角为 45°,求实数 λ 的值.

26.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 x2=2py(p>0)上的点 M(m,1)到焦点 F 的距离为 2, (1)求抛物线的方程; (2)如图,点 E 是抛物线上异于原点的点,抛物线在点 E 处的切线与 x 轴相交于点 P,直线 PF 与抛 物线相交于 A,B 两点,求△EAB 面积的最小值.

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2017 年江苏省南通市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.函数 的最小正周期为 .

【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 【解答】解:函数 故答案为: . ,得出结论. ,

的最小正周期为

2.设集合 A={1,3},B={a+2,5},A∩B={3},则 A∪B= 【考点】并集及其运算.

{1,3,5}



【分析】由交集的定义,可得 a+2=3,解得 a,再由并集的定义,注意集合中元素的互异性,即可得 到所求. 【解答】解:集合 A={1,3},B={a+2,5},A∩B={3}, 可得 a+2=3,解得 a=1, 即 B={3,5}, 则 A∪B={1,3,5}. 故答案为:{1,3,5}.

3.复数 z=(1+2i)2,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部为 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【解答】解:∵z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=﹣3+4i, ∴z 的实部为﹣3. 故答案为:﹣3.

﹣3



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4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.摸出红球的概率为 0.48,摸出黄球的概率为 0.35,则摸出蓝球的概率为 【考点】概率的基本性质. 【分析】利用对立事件的概率公式,可得结论. 【解答】解:∵摸出红球的概率为 0.48,摸出黄球的概率为 0.35, ∴摸出蓝球的概率为 1﹣0.48﹣0.35=0.17. 故答案为 0.17. 0.17 .

5.如图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值为

5



【考点】程序框图. 【分析】由已知的程序框图可知,该程序的功能是利用循环计算 a 值,并输出满足 a<16 的最大 n 值,模拟程序的运行过程可得答案. 【解答】解:当 n=1,a=1 时,满足进行循环的条件,执行循环后,a=5,n=3; 满足进行循环的条件,执行循环后,a=17,n=5; 满足进行循环的条件,退出循环 故输出 n 值为 5 故答案为:5.

6.若实数 x,y 满足

则 z=3x+2y 的最大值为

7 .

【考点】简单线性规划.
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【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=3x+2y 得 y=﹣ x+ z 平移直线 y=﹣ x+ z, 由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A 时,直线 y=﹣ x+ z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 A(1,2) ,

代入目标函数 z=3x+2y 得 z=3×1+2×2=7. 即目标函数 z=3x+2y 的最大值为 7. 故答案为:7.

7.抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩(单位:分) ,结果如下: 学生 甲 乙 第1次 65 80 第2次 80 70 第3次 70 75 第4次 85 80 第5次 75 70 20 .

则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 【考点】极差、方差与标准差.

【分析】根据题意,分别求出甲、乙的平均数与方差,比较可得 S 即可得答案. 【解答】解:根据题意,对于甲,其平均数




2

>S 乙 2,则乙的成绩较为稳定;

=

=75,其方差 S



2

=

[(65﹣75)2+

(80﹣75)2+(70﹣75)2+(85﹣75)2+(75﹣75)2]=50;
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对于乙,其平均数
2



=

=75,其方差 S



2

=

[(80﹣75)2+(70﹣75)2+(75﹣75)

+(80﹣75)2+(70﹣75)2]=20;

比较可得:S 甲 2>S 乙 2,则乙的成绩较为稳定; 故答案为:20.

8.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=3cm,AA1=1cm,则三棱锥 D1﹣A1BD 的体积为

cm3.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】三棱锥 D1﹣A1BD 的体积 = = ,由此能求出结果.

【解答】解:∵在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=3cm,AA1=1cm, ∴三棱锥 D1﹣A1BD 的体积: = = = = (cm3) . =

故答案为: .

9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 2x+y=0 为双曲线 双曲线的离心率为 .

=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则该

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的渐近线方程得到 a,b 关系,然后求解双曲线的离心率即可. 【解答】解:直线 2x+y=0 为双曲线 可得 b=2a,即 c2﹣a2=4a2, =1(a>0,b>0)的一条渐近线,

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可得 =

. .

故答案为:

10. 《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则该竹子最上面一节的容积为 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】设最上面一节的容积为 a1,利用等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出方程组,能求出结 果. 【解答】解:设最上面一节的容积为 a1, 由题设知 , 升.

解得 故答案为:

. .

11.在△ABC 中,若

?

+2

?

=

?

,则

的值为



【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理. 【分析】根据题意,利用平面向量的数量积,结合余弦定理和正弦定理,即可求出 【解答】解:在△ABC 中,设三条边分别为 a、b,c,三角分别为 A、B、C, 由 ? +2 ? = ? , 的值.

得 ac?cosB+2bc?cosA=ba?cosC, 由余弦定理得: (a2+c2﹣b2)+(b2+c2﹣a2)= (b2+a2﹣c2) , 化简得 ∴ = =2, , = = .
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由正弦定理得

故答案为:



12.已知两曲线 f(x)=2sinx,g(x)=acosx, 互相垂直,则实数 a 的值为 .

相交于点 P.若两曲线在点 P 处的切线

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】联立两曲线方程,可得 tanx= = ,a>0,设交点 P(m,n) ,分别求出 f(x) ,g(x)的

导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,再由同角基本关系式,化弦为切, 解方程即可得到 a 的值. 【解答】解:由 f(x)=g(x) ,即 2sinx=acosx, 即有 tanx= = ,a>0,

设交点 P(m,n) , f(x)=2sinx 的导数为 f′(x)=2cosx, g(x)=acosx 的导数为 g′(x)=﹣asinx, 由两曲线在点 P 处的切线互相垂直, 可得 2cosm?(﹣asinm)=﹣1, 且 tanm= , 则 =1,

分子分母同除以 cos2m, 即有 即为 a2=1+ 解得 a= 故答案为: =1, , . .

13 . 已 知 函 数 f ( x ) =|x|+|x ﹣ 4| , 则 不 等 式 f ( x2+2 ) > f ( x ) 的 解 集 用 区 间 表 示 为 . 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】令 g(x)=f(x2+2)﹣f(x)=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|,通过讨论 x 的范围,求出各个区
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间上的不等式的解集,取并集即可. 【解答】解:令 g(x)=f(x2+2)﹣f(x)=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|, x≥4 时,g(x)=2x2﹣2x+4>0,解得:x≥4; ≤x<4 时,g(x)=2x2﹣4>0,解得:x> 故 <x<4; 时,g(x)=0>0,不合题意; 或 x<﹣ ,

0≤x< ﹣

≤x<0 时,g(x)=2x>0,不合题意; 时,g(x)=2x2+2x﹣4>0,解得:x>1 或 x<﹣2,

x<﹣

故 x<﹣2, 故答案为: .

14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 B,C 为圆 x2+y2=4 上两点,点 A(1,1) ,且 AB⊥AC,则线段 BC 的长的取值范围为 [ , ] .

【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】画出图形,当 BC⊥OA 时,|BC|取得最小值或最大值,求出 BC 坐标,即可求出|BC|的长的 取值范围. 【解答】解:在平面直角坐标系 xOy 中,已知 B,C 为圆 x2+y2=4 上两点,点 A(1,1) ,且 AB⊥AC, 如图所示当 BC⊥OA 时,|BC|取得最小值或最大值.由 ,可得 B( ,1)或( ,1) ,

由 解得 BCmin= BCmax= 故答案为:[

,可得 C(1,

)或(1,﹣ = = . ,





].

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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边作锐角 α,其终边与单位圆交于点 A.以 OA 为始边作锐角 β,其终边与单位圆交于点 B,AB= (1)求 cosβ 的值; (2)若点 A 的横坐标为 ,求点 B 的坐标. .

【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】 (1)由条件利用余弦定理,求得 cosβ 的值. (2)利用任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,两角和差的正弦、余弦公式,求得 点 B 的坐标. 【解答】解: (1)在△AOB 中,由余弦定理得,AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB, 所以, 即 (2)因为 . , ,∴
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=





因为点 A 的横坐标为 因为 α 为锐角,所以 所 以

,由三角函数定义可得, .



, ,

即点



16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,AC,BD 相交于点 O,点 E 为 PC 的中 点,OP=OC,PA⊥PD.求证: (1)直线 PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 PCD.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)连结 OE,说明 OE∥PA.然后证明 PA∥平面 BDE. (2)证明 OE⊥PD.OE⊥PC.推出 OE⊥平面 PCD.然后证明平面 BDE⊥平面 PCD. 【解答】证明: (1)连结 OE,因为 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以 O 为 AC 中点. 又因为 E 为 PC 的中点, 所以 OE∥PA. …4 分

又因为 OE? 平面 BDE,PA?平面 BDE, 所以直线 PA∥平面 BDE. …6 分

(2)因为 OE∥PA,PA⊥PD,所以 OE⊥PD. …8 分 因为 OP=OC,E 为 PC 的中点,所以 OE⊥PC. …10 分 又因为 PD? 平面 PCD,PC? 平面 PCD,PC∩PD=P, 所以 OE⊥平面 PCD. …12 分 又因为 OE? 平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 PCD. …14 分.

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17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 准线的距离为 1. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为椭圆上的一点,过点 O 作 OP 的垂线交直线

(a>b>0)的离心率为

,焦点到相应

于点 Q,求

的值.

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)由已知条件可得 , ,然后求解椭圆的方程.

(2)由题意知 OP 的斜率存在.当 OP 的斜率为 0 时,求解结果;当 OP 的斜率不为 0 时,设直线 OP 方程为 y=kx.联立方程组,推出 【解答】解: (1)由题意得, 解得 ,c=1,b=1. . …4 分 , .OQ2=2k2+2.然后求解即可. ,…2 分

所以椭圆的方程为

(2)由题意知 OP 的斜率存在. 当 OP 的斜率为 0 时, , ,所以 . …6 分

当 OP 的斜率不为 0 时,设直线 OP 方程为 y=kx.

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得(2k2+1)x2=2,解得

,所以



所以

. …9 分 . …12 分

因为 OP⊥OQ,所以直线 OQ 的方程为 由 得 ,所以 OQ2=2k2+2.

所以 综上,可知 .

. …14 分.

18.如图,某机械厂要将长 6m,宽 2m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪.已知点 F 为 AD 的中点,点 E D 分别落在直线 BC 下方点 M, 在边 BC 上, 裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处 (点 C, N 处,FN 交边 BC 于点 P) ,再沿直线 PE 裁剪. (1)当∠EFP= 时,试判断四边形 MNPE 的形状,并求其面积;

(2)若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.

【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1) 当∠EFP= 可得出. (2)解法一:设 , , 由 条 件 , 知 ∠ EFP= ∠ EFD= ∠ FEP=θ . 可 得 ,
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时, 由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=

. 可得 FN⊥BC, 四边形 MNPE 为矩形. 即

. 四边形 MNPE 面积为

=

=

,化简利用基本不等式的性质即可得出. . = ,NP=3 ,

解法二:设 BE=tm,3<t<6,则 ME=6﹣t.可得 PE=PF,即 ﹣T+ , 四边形 MNPE 面积为 =

利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (1)当∠EFP= 所以∠FPE= 时,由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP= .

.所以 FN⊥BC,

四边形 MNPE 为矩形.…3 分 所以四边形 MNPE 的面积 S=PN?MN=2m2.…5 分 (2)解法一: 设 所以 ,由条件,知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ. , , . …8 分





所 以 四 边 形 MNPE 面 积 为 = . 当且仅当 此时, (*)成立. 答:当 最大值为 解法二: 设 BE=tm,3<t<6,则 ME=6﹣t. 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP,所以 PE=PF,即 ,即 =

= …12 分

=

时取“=”.…14 分

时,沿直线 PE 裁剪,四边形 MNPE 面积最大, m 2. …16 分



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所以





…8 分





所以四边形 MNPE 面积为 = 当且仅当 此时, (*)成立. 答:当点 E 距 B 点 最大值为 m 2. ,即 .

=

=

…12 分

时取“=”. …14 分

m 时,沿直线 PE 裁剪,四边形 MNPE 面积最大, …16 分.

19.已知函数 f(x)=ax2﹣x﹣lnx,a∈R. (1)当 时,求函数 f(x)的最小值;

(2)若﹣1≤a≤0,证明:函数 f(x)有且只有一个零点; (3)若函数 f(x)有两个零点,求实数 a 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的极 值. 【分析】 (1)当 数的最值. (2)由 f(x)=ax2﹣x﹣lnx,得 +∞)上最多有一个零点,当﹣1≤a≤0 时,f(1)=a﹣1<0, .当 a≤0 时,函数 f(x)在(0, ,推出结果. 时, .求出函数的导数,得到极值点,然后判断单调性求解函

(3)由(2)知,当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点.说明 a>0,由 f(x)=ax2 ﹣x﹣lnx,得 上单调递增. 要使得函数 f(x)在(0,+∞)上有两个零点,只需要
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,说明函数 f(x)在(0,x0)上单调递减;在(x0,+∞)

.通过函数 h(x)=2lnx+x

﹣1 在(0,+∞)上是增函数,推出 0<a<1.验证当 0<a<1 时,函数 f(x)有两个零点.证明: lnx≤x﹣1. 设 t(x)=x﹣1﹣lnx,利用导数求解函数的最值即可. 【解答】解: (1)当 所以 令 f'(x)=0,得 x=2, 当 x∈(0,2)时,f'(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 所以当 x=2 时,f(x)有最小值 (2)由 f(x)=ax2﹣x﹣lnx,得 所以当 a≤0 时, 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点.…6 分 因为当﹣1≤a≤0 时,f(1)=a﹣1<0, 所以当﹣1≤a≤0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上有零点. 综上,当﹣1≤a≤0 时,函数 f(x)有且只有一个零点. …8 分 (3)由(2)知,当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点. 因为函数 f(x)有两个零点,所以 a>0. 由 f(x)=ax2﹣x﹣lnx,得 因为 g(0)=﹣1<0,2a>0, 所以函数 g(x)在(0,+∞)上只有一个零点,设为 x0. 当 x∈(0,x0)时,g(x)<0,f'(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0. 所以函数 f(x)在(0,x0)上单调递减;在(x0,+∞)上单调递增. 要使得函数 f(x)在(0,+∞)上有两个零点, 只需要函数 f(x)的极小值 f(x0)<0,即 又因为 ,所以 2lnx0+x0﹣1>0,
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时,

. , (x>0) . …2 分

.…4 分 . ,



…9 分 ,令 g(x)=2ax2﹣x﹣1.



又因为函数 h(x)=2lnx+x﹣1 在(0,+∞)上是增函数,且 h(1)=0, 所以 x0>1,得 又由 ,得 . ,

所以 0<a<1. …13 分 以下验证当 0<a<1 时,函数 f(x)有两个零点. 当 0<a<1 时, 所以 因为 所以函数 f(x)在 又因为 所以函数 f(x)在 . ,且 f(x0)<0. 上有一个零点. (因为 lnx≤x﹣1) ,且 f(x0)<0. 上有一个零点. 内有两个零点. ,

所以当 0<a<1 时,函数 f(x)在

综上,实数 a 的取值范围为(0,1) . …16 分 下面证明:lnx≤x﹣1. 设 t(x)=x﹣1﹣lnx,所以 令 t'(x)=0,得 x=1. 当 x∈(0,1)时,t'(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,t'(x)>0. 所以函数 t(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 所以当 x=1 时,t(x)有最小值 t(1)=0. 所以 t(x)=x﹣1﹣lnx≥0,得 lnx≤x﹣1 成立. , (x>0) .

20.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 公比为 q. (1)若 k1=1,k2=3,k3=8,求 (2)当 的值;



,…,

,…(k1<k2<…<kn<…)成等比数列,

为何值时,数列{kn}为等比数列;
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(3)若数列{kn}为等比数列,且对于任意 n∈N*,不等式 【考点】数列与不等式的综合;等比数列的性质.

恒成立,求 a1 的取值范围.

【分析】 (1)由已知得:a1,a3,a8 成等比数列,从而 4d2=3a1d,由此能求出 (2)设数列{kn}为等比数列,则 得到当 时,数列{kn}为等比数列. ,推导出 ,从而

的值. .由此

,进而

( 3 ) 由 数 列 {kn} 为 等 比 数 列 , a1=d ,

. 得 到



恒成立,再证明对于任意的正实数 ε(0<ε<1) ,总存在正整数 n1,

使得



要证

,即证 lnn1<n1lnq+lnε.由此能求出 a1 的取值范围.

【解答】解: (1)由已知可得:a1,a3,a8 成等比数列, 所以 整理可得:4d2=3a1d. 因为 d≠0,所以 . …4 分 . ,…2 分

(2)设数列{kn}为等比数列,则 又因为 所以 整理,得 因为 , , 成等比数列,

. . ,所以 a1(2k2﹣k1﹣k3)=d(2k2﹣k1﹣k3) . .…6 分 . .
第 21 页(共 29 页)

因为 2k2≠k1+k3,所以 a1=d,即 当 又因为

时,an=a1+(n﹣1)d=nd,所以 ,所以

所以 综上,当

,数列{kn}为等比数列. 时,数列{kn}为等比数列.…8 分 .

(3)因为数列{kn}为等比数列,由(2)知 a1=d, ,an=a1+(n﹣1)d=na1. 因为对于任意 n∈N*,不等式 所以不等式 即 , , 恒成立.…10 分 恒成立.

下面证明:对于任意的正实数 ε(0<ε<1) ,总存在正整数 n1,使得



要证 因为 解不等式 可得

,即证 lnn1<n1lnq+lnε. ,则 ,即 ,所以 , , .

不妨取 所以

,则当 n1>n0 时,原式得证. ,所以 a1≥2,即得 a1 的取值范围是[2,+∞) . …16 分

南通市 2017 届高三第一次调研测试数学Ⅱ(附加题)[选做题本题包括四小题,请选 2 题作答.若 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [选修 4-1:几何证 明选讲] 21.已知圆 O 的直径 AB=4,C 为 AO 的中点,弦 DE 过点 C 且满足 CE=2CD,求△OCE 的面积.

第 22 页(共 29 页)

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】由相交弦定理,得 CD,DE 中点 H,则 OH⊥DE,利用勾股定理求出 OH,即可求出△OCE 的 面积. 【解答】解:设 CD=x,则 CE=2x. 因为 CA=1,CB=3, 由相交弦定理,得 CA?CB=CD?CE, 所以 1×3=x?2x=2x2,所以 取 DE 中点 H,则 OH⊥DE. 因为 所以 又因为 .…6 分 , . …10 分. , .…2 分

所以△OCE 的面积

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知向量 是矩阵 A 的属于特征值﹣1 的一个特征向量.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(1,

1)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P'(3,3) ,求矩阵 A. 【考点】特征值与特征向量的计算. 【分析】设 【解答】解:设 因为向量 所以 ,根据矩阵变换,列方程组,即可求得 a、b、c 和 d 的值,求得 A. ,

是矩阵 A 的属于特征值﹣1 的一个特征向量, .所以 …4 分

因为点 P(1,1)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P'(3,3) ,
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所以

.所以

…8 分 .…10 分.

解得 a=1,b=2,c=2,d=1,所以

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,求直线 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】极坐标方程化为直角坐标方程,联立,求出 A,B 的坐标,即可求直线 线 ρ=4sinθ 所截得的弦长. 【解答】解:以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线 的直角坐标方程为 y=x①,…3 分 …6 分 被曲 被曲线 ρ=4sinθ 所截得的弦长.

曲线 ρ=4sinθ 的直角坐标方程为 x2+y2﹣4y=0②. 由①②得 或 …8 分

所以 A(0,0) ,B(2,2) , 所以直线 被曲线 ρ=4sinθ 所截得的弦长 AB= . …10 分.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.求函数 的最大值.

【考点】柯西不等式在函数极值中的应用;三角函数的最值. 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式,利用柯西不等式求解函数的最值即可. 【解答】解: 由柯西不等式得 所以 ymax=5,此时 所以函数 . 的最大值为 5. …10 分. …2 分 ,…8 分

[必做题]共 2 小题,满分 20 分) 25. P 为棱 C1D1 的中点, Q 为棱 BB1 上的点, 如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 且 BQ=λBB1 (λ≠0) .
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(1)若

,求 AP 与 AQ 所成角的余弦值;

(2)若直线 AA1 与平面 APQ 所成的角为 45°,求实数 λ 的值.

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】 ( 1 )以 , (2) 即可. 【解答】解:以 间直角坐标系 A﹣xyz. (1)因为 所以 所以 AP 与 AQ 所成角的余弦值为 (2)由题意可知, , = .…4 分 , . , . 为正交基底,建立如图所示空 , 为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系 A ﹣ xyz .求出 ,利用数量积求解 AP 与 AQ 所成角的余弦值. .求出平面 APQ 的法向量,利用空间向量的数量积求解

设平面 APQ 的法向量为 =(x,y,z) , 则 即

令 z=﹣2,则 x=2λ,y=2﹣λ. 所以 =(2λ,2﹣λ,﹣2) .…6 分 又因为直线 AA1 与平面 APQ 所成角为 45°,

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所以|cos< ,

>|=

= . …10 分.



可得 5λ2﹣4λ=0,又因为 λ≠0,所以

26.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 x2=2py(p>0)上的点 M(m,1)到焦点 F 的距离为 2, (1)求抛物线的方程; (2)如图,点 E 是抛物线上异于原点的点,抛物线在点 E 处的切线与 x 轴相交于点 P,直线 PF 与抛 物线相交于 A,B 两点,求△EAB 面积的最小值.

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;抛物线的标准方程;直线与抛物线的位置关系. 【分析】 (1)求出抛物线 x2=2py(p>0)的准线方程为 抛物线的方程. (2)求出函数的 .求出 .设点 ,得到抛物线在点 E 处的切线方程为 到直线 PF 的距离,联立 ,由抛物线定义,得到 p=2,即可求解

.推出直线 PF 的方程,点

求出 AB,表示出△EAB 的面积,构造函数,通过函数的导数利用单调性求解最值即可.

【解答】解: (1)抛物线 x2=2py(p>0)的准线方程为
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因为 M(m,1) ,由抛物线定义,知 所以 ,即 p=2,



所以抛物线的方程为 x2=4y.…3 分 (2)因为 设点 令 y=0,则 因为 ,即点 ,所以 . ,则抛物线在点 E 处的切线方程为 . ,即 2x+ty﹣t=0. .

,F(0,1) ,所以直线 PF 的方程为

则点

到直线 PF 的距离为

.…5 分

联立方程

消元,得 t2y2﹣(2t2+16)y+t2=0.

因为△=(2t2+16)2﹣4t4=64(t2+4)>0, 所以 , ,

所以



…7 分

所以△EAB 的面积为



不妨设

(x>0) ,则 时,g'(x)<0,所以 g(x)在 上单调递增. . .…10 分.
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因为

上单调递减;

上,g'(x)

>0,所以 g(x)在 所以当 时,

所以△EAB 的面积的最小值为

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2017 年 3 月 4 日

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