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2015—2016学年度第一学期期末考试高一数学试题



2015—2016 学年度第一学期期末考试

高 一 数 学 试 题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.设集合 M ? {x x2 ? 10},则下列关系式中正确的是 ( A. 3 ? M B. {3} ? M C. 3 ? CR M ) C. y ? log a a x ) D. y ? a
log a x

) D. 3 ? M

2.与函数 y ? x 有相同的图像的函数是( A. y ?

x

2

x2 B. y ? x

(a ? 0且a ? 1)

3.直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 的倾斜角是(

A.30° B.120° C.60° D.150° 4.如图⑴、⑵、⑶、⑷是四个几何体的三视图,这四个几何体依次分别是( )

正视图

侧视图 (1)

正视图

侧视图 正视图 (2) (3) 侧视图

正视图

侧视图 (4)

俯视图 俯视图 俯视图 A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 俯视图 C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 5.点 P( x, 2,1) 到点 Q(1,1, 2), R(2,1,1) 的距离相等,则 x 的值为( ) 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 6.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点落在区间
[来源:Z+xx+k.Com]

A. (2,2.25) B. (2.25,2.5) C. (2.5,2.75) 7.在空间中,下列说法正确的是( ) A.若两直线 a, b 与直线 l 所成的角相等,则 a // b B.若两直线 a, b 与平面 ? 所成的角相等,则 a // b C.若直线 l 与两平面 ? , ? 所成的角都是直角,则 ? // ? D.若平面 ? 与两平面 ? , ? 所成的二面角都是直二面角,则 ? // ?

D. (2.75,3)

8.已知点错误!未找到引用源。是圆错误!未找到引用源。的弦错误!未找到引用源。的中点,则直线错 误!未找到引用源。的方程是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!
未找到引用源。

9.已知 f ( x) ? a x?2 , g ( x) ? loga | x | (a ? 0, a ? 1),若f (4) g (?4) ? 0, 则 y ? f ( x), y ? g ( x) 在同一坐标系内的 大致图象是( )

10.若定义在 R 上的奇函数满足 f ( x ? 1) ? ? f (1 ? x) 且当 x ? (0,1) 时 f ( x) ? log1 (1 ? x) ,则 f ( x) 在
2

(1, 2) 上(

) B.是增函数且 f ( x) ? 0 D.是增函数且 f ( x) ? 0

A.是减函数且 f ( x) ? 0 C.是减函数且 f ( x) ? 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2,

2 ) ,则 f (4) ? _______________。 2

12.函数 y ?

1 的定义域是_______________。 log2 ( x ? 2)
32? ,那么正方体的棱长等于_______。 3

13.已知正方体外接球的体积是

14.已知两圆相交于两点 P(1,3) 和 Q(m,?1) ,两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上,其中 m, c 均为实数, 则 m ? c ? _______。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 4 ? x ? 10}, C ? {x | x ? a}. 。 (1)求 A ? B , B ∩( C ; RA) (2)若 (C ? B) ? A ,求实数 a 的取值范围。

16. (本小题满分 12 分) 已知三角形的顶点为 A(2, 4) , B(0, ?2) , C (?2,3) 。 (1)求 AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (2)求△ABC 的面积。

17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,MA∥PB, (1)求证: DM∥面 PBC; (2)求证:面 PBD⊥面 PAC。 M

P

A O D C

B

18. (本小题满分 14 分) A、B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站给 A、B 两城供电,为保证城市安全. 核电站距市距离不得少于 10km. 已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数 ? ? 0.25 .若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿度/月. (1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数并求定义域; (2)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小。

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A(1,0). (1)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点为 N,求 证: AM ? AN 为定值。
[来源:学科网]

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域是 (0,??) ,且 f (2 x ) ?

x 2 ? 2 x ? 1 , g ( x) ?| log2 (8 ? x) ? 1 |

(1)求 f ( x) 的表达式,写出 f ( x) 的单调递增区间; (2)求证:函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象关于直线 x ? 4 对称; (3)设 0 ? x ? 4 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小。

2013—2014 学年度第一学期期末考试

高一数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 C 7 C 8 A 9 B 10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.

1 ; 2

12. {x | x ? 2, 且x ? 3} ;

13.

4 3 ; 3

14. 3 。

三、解答题本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(1) A ? B ? {x | 3 ? x ? 10} , C R A ? {x | x ? 3或x ? 7} , B ∩( C } R A ) ? {x | 7 ? x ? 10 (2)当 C ? B ? ? , a ? 4 ;当 C ? B ? ? ,由 (C ? B) ? A , 4 ? a ? 7 , 所以实数 a 的取值范围是 a ? 7 16.(1)AB 中点 M 的坐标是 M (1,1) ,中线 CM 所在直线的方程是 (2)解法一: AB ?

y ?1 x ?1 ? ,即 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 3 ? 1 ?2 ? 1

(0 ? 2) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 10 ,

直线 AB 的方程是 3x ? y ? 2 ? 0 , 点 C 到直线 AB 的距离是 d ? 所以 △ABC 的面积是 S ?

| 3 ? (?2) ? 3 ? 2 | 3 ?1
2 2

?

11 10

1 AB ? d ? 11 . 2
7 2 11 , 2

解法二:设 AC 与 y 轴的交点为 D,则 D 恰为 AC 的中点,其坐标是 D (0, ) , BD ?

S△ABC ? S△ABD ? S△CBD ? 11
17. (1)方法一:取 PB 的中点 G,连接 MG,CG,如图, ∵ MA ? GB , MA // GB ,∴四边形 ABGM 为平行四边形 ∴ MG ? AB , MG // AB , ? AB // CD ,∴四边形 DCGM 为平行四边形 ∴ DM // CG ,
P

M

G

A O

B

? DM ? 平面PBC , CG ? 平面PBC
∴DM∥面 PB C 方法二:∵ MA // GB , AD // CB ,∴平面 DAM//平面 CBG, ∵ DM ? 平面DAM ,∴DM∥面 PBC (2)∵ MA // PB , MA ? 平面ABCD ,∴ PB ? 平面ABCD ,
D

C

∵ AC ? 平面ABCD ,∴ PB ? AC ,又∵ BD ? AC ,∴ AC ? 平面PBD , ∵ AC ? 平面PAC ,∴ 平面PBD ? 平面PAC ,

2 2 18. (1)∵到 A 城的供电费用为 20 ? ? x ? 5 x ;到 B 城的供电费用为 10 ? ? (100 ? x) ?

2

5 (100 ? x) 2 2

∴y=5x2+

5 (100—x)2(10≤x≤90) ; 2

(2)由 y=5x2+

15 2 15 5 (100—x)2= x -500x+25000= 2 2 2

50000 ? 100 ? ?x? ? + 3 3 ? ?

2

100 米时,y 最小 3 100 答:当核电站建在距 A 城 米时,才能使供电费用最小. 3
则 当 x= 19.(1) ①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知, 圆心 (3, 4) 到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即: 所求直线方程是 x ? 1 , 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (2)解法一:∵直线与圆相交,∴斜率必定存在且不为 0。可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 。

3k ? 4 ? k k ?1
2

? 2 解得 k ?

3 . 4

由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 2k ? 2 3k ,? ). 得 N( 2k ? 1 2k ? 1 ?kx ? y ? k ? 0

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? , ). 又∵直线 CM 与 l1 垂直,∴由 ? 得M( 1 1? k 2 1? k 2 y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?


A M? A N? |

1 1?2 My ?0 | k

1 ? | N y ? 0 | 1? k2

? y M|

k2 ? 1 ? | Ny k2

?|

4k 2 ? 2k 3k k 2 ?1 ? ( ? ) | ? 6 ,为定值. 1? k 2 2k ? 1 k2

解法二:∵直线与圆相交,∴斜率必定存在且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?kx ? y ? k ? 0

得 N(

2k ? 2 3k ,? ). 2k ? 1 2k ? 1
得 (1 ? k ) x ? (2k ? 8k ? 6) x ? k ? 8k ? 21 ? 0 .
2 2 2 2

再由 ?

? y ? kx ? k ?( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4
2 2

∴ x1 ? x 2 ?

2k 2 ? 8k ? 6 k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k M ( , ). ,∴ 1? k 2 1? k 2 1? k 2

∴ AM ? AN ? (

k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 2k ? 2 3k 2 2 ? 1) ? ( ) ? ( ? 1)2 ? (? ) 2 2 1? k 1? k 2k ? 1 2k ? 1

?

2 2 | 2k ? 1| 2 3 1? k 1 ? k ? ? 6 为定值. 1? k 2 | 2k ? 1|

x 20. (1)令 2 ? t ,则 x ? log2 t ,∴ f (t ) ?

(log 2 t ) 2 ? 2 log 2 t ? 1 ?| log 2 t ? 1 | ,

∴ f ( x) ?| log2 x ? 1 | ,∴ f ( x) 的递增区间是 [2,??) (2)设 M ( x0 , y0 ) 是函数 y ? g ( x) 图象上任意一点,则有 y0 ? g ( x0 ) ?| log2 (8 ? x0 ) ? 1 | , 点 M ( x0 , y0 ) 关于直线 x ? 4 的对称点为 M (8 ? x0 , y0 ) 而 f (8 ? x0 ) ?| log2 (8 ? x0 ) ? 1 |? y0 ,即 M (8 ? x0 , y0 ) 在 y ? f ( x) 上, 即 函数 y ? g ( x) 图象上任意一点关于直线 x ? 4 的对称点必在 y ? f ( x) 的图象上, 反之亦然,故结论成立。 (3)当 0 ? x ? 4 时,

g 2 ( x) ? f 2 ( x) ? [log2 (8 ? x) ? 1]2 ? (log2 x ? 1) 2

? [log2 (8 ? x) ? log2 x ? 2][log2 (8 ? x) ? log2 x] ? log 2

x(8 ? x) 8? x ? log 2 x x

8? x 8? x ? 0 ? x ? 4,? 8 - x ? x, ? 1, ? l o g ? 0, 2 x x x(8 ? x) 1 1 ? 1 ? [8 x ? x 2 ? 4] ? [?( x ? 4) 2 ? 12] 又 4 4 4 1 1 ? [2 3 ? x ? 4][ 2 3 ? x ? 4] ? ? [ x ? (4 ? 2 3 )][ x ? (4 ? 2 3 )] 4 4
又∵ x ? 4 ? 4 ? 2 3 ,? x ? (4 ? 2 3 ) ? 0

x(8 ? x) ? 1 ,即 g 2 ( x) ? f 2 ( x) 4 x(8 ? x) ? 1 ,即 g 2 ( x) ? f 2 ( x) 当 x ? 4 ? 2 3 时, 4 x(8 ? x) ? 1 ,即 g 2 ( x) ? f 2 ( x) 当 4 ? 2 3 ? x ? 4 时, 4 x(8 ? x) ? 1 ,即 g ( x) ? f ( x) 综合上述,当 0 ? x ? 4 ? 2 3 时, 4 x(8 ? x) ? 1 ,即 g ( x) ? f ( x) 当 x ? 4 ? 2 3 时, 4 x(8 ? x) ? 1 ,即 g ( x) ? f ( x) 当 4 ? 2 3 ? x ? 4 时, 4
当 0 ? x ? 4 ? 2 3 时,


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