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椭圆及其标准方程


椭圆及其标准方程(教案)
茌平二中 教学任务分析: (1)学生已有的主要知识结构 学生已学习过圆,了解圆的定义,经历了根据圆的几何特征建立适当的 直角坐标系,求圆的标准方程。 (2)建立新的知识结构 建立方程的依据是:弄清曲线上动点运动时所满足的几何条件。 教学目标: 知识目标: 理解椭圆的定义及其有关概念; 了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程; 掌握椭圆的标准方程的应用。 能力目标:通过对椭圆定义的探求让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系, 培养学生类比、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决 问题的能力;通过对椭圆标准方程的推导提高学生的运算能力。 情感目标:通过椭圆的图形增强学生审美体验(对称美);通过椭圆标准方程的 推导感知数学的简洁美,提高学生的学习兴趣。 教学重点:掌握椭圆的定义和标准方程,理解坐标法的基本思想。 教学难点:椭圆标准方程的推导与化简,坐标法的应用。 教学方法:启发、讨论、探究、合作交流 教 课 具:直尺、图钉、细绳、多媒体 型:新授 刘传美

教学过程: 一、问题导入 首先通过以下的例子创设情境(课件演示)——图为杨利伟乘坐‘神舟五号’ 飞船在太空中展示中国国旗和联合国国旗。‘神州五号’飞船的成功发射和安全着 陆, 使中国成为继俄罗斯和美国之后第三个将载人飞船送上太空的国家。标志着 中国人民在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步, 令每一 位炎黄子孙自豪和骄傲。 师问:神州五号飞船飞行轨道是什么形状? 生答:椭圆。

然后让学生举出现实生活中所见的椭圆的实例(请同学们以小组为单位讨论,然 后小组之间交流答案)并用课件演示两个具体的实例:①演示油罐车横截面的截 口②演示圆锥斜截面的截口。 思考:具备什么条件的曲线是椭圆呢? 二、探索定义 师问:我们已学过圆,那么它是如何定义的呢? 生答:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。 (总结:满足一定条件的点的轨迹) 思考:平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? (请同学们以小组为单位利用课前准备好的图钉和细绳合作画图) 做法:用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内,并且把图钉固定在两个 定点上,然后用笔尖绷紧绳子,使笔尖慢慢移动,看画出的是怎样的一条曲 线。 (椭圆) 师问:满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢? 有的学生会说, 应该是平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹,才是椭 圆。 师接着问,还有补充吗? 这时学生可以通过课件观察随着 F1 、F2 距离改变,轨迹变化情况。从而发现 2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 2a=|F1F2|时,轨迹是线段|F1F2|; 2a<|F1F2|时,无轨迹。 师问:椭圆应如何定义呢? 平面内与两定点 F1 、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫 做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 常数记为 2a, MF1 ? MF2 ? 2a(a ? 0) |F1F2 |=2c,即 2a>2c>0 时,轨迹为椭圆。 师板书:椭圆定义。 三、标准方程 具备了椭圆定义的知识,自然会想到椭圆的方程是什么呢? 思考:根据椭圆定义,我们能不能推导出椭圆的方程呢?。 师问:求曲线方程的一般步骤是什么? 生答:①建系、取点;②点的集合;③列式;④化简;⑤证明

下面由同学分组讨论椭圆方程的求法。同时说明:建立坐标系应使建立的曲 线方程尽量简洁整齐。(教师巡视,对学生进行指导) 学生交流后展示结果: (有些同学会将焦点设在 x 轴上,有些同学会将焦点设在 y 轴上) (其一) (1)建系、设点:以 F1F2 所在直线为 x 轴,以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立 直角坐标系.设 M(x,y)是椭圆上任意一点, 设|F1F2|=2c(c>0),则 F1(-c,0)F2(c,0) (2)点的集合:因点 M 与 F1、F2 两点距离之和等于 2a(2a>2c),则|MF1|+|MF2|=2a (3)列式

(4)化简 师补充:○原方程要移项平方,使之抵消部分项,否则相当复杂;一次平方后还 1 含有根式可整理后再平方,化为 2 ○为了使方程简单对称和谐,引入 ,使 ; ,从而得到方程

(其二)略。 师板书:(图象及方程式并说明 a,b,c 之间的关系,并找同学指出它们之间的联 系)
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在 x 轴上, a 2 b2

方程

焦点坐标为 F1 (?c, 0) , F2 (c,0) ,其中 c2 ? a 2 ? b2 。○ 1
y 2 x2 方程 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )叫做焦点在 y 轴上的椭圆 a b

标准方程。 焦点坐标为 F1 (0, c) F2 (0, ?c) , 其中 c2 ? a 2 ? b2 。 2 ○ 生答: 若将○中的 x 轴、y 轴的名称换为 y 轴、x 轴得到○。 1 2

思考:两种标准方程的不同点是什么?如何判断焦点在哪个轴上? 生讨论后答:两种标准方程的不同点是椭圆的位置不同,焦点坐标也不相同.由 于 ,所以可以根据分母的大小来判定椭圆的焦点在哪一个坐标轴上.分 母哪个大,焦点就在哪个轴上. 四、典例分析 例: 求适合下列条件的椭圆的标准方程. 1.两个焦点的坐标分别是 10. 、 ,椭圆上一点到两焦点距离的和等于

2.两个焦点的坐标分别是 五、随堂练习



,并且经过点



1. 平面内两个定点的距离等于 8, 一个动点 到这两个定点的距离的和等 于 10,建立适当的坐标系,写出动点 的轨迹方程.

2.如果椭圆 一个焦点

上一点

到焦点

的距离等于 6,则点

到另

的距离是________.

3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ① ② ③ 4. , , , ,焦点在 轴上; 轴上;

,焦点在 .

下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是( )

六.作业 习题 2.2 七.课下探索 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切,求动圆圆 心轨迹方程. 八.小结(学生具体回答) 一定义二方程三关系 九.板书设计 椭圆定义及标准方程 一、 定义 二、 标准方程 1. 焦点在 x 轴上 2. 焦点在 y 轴上 十.课后反思 例题和练习中发现学生已掌握椭圆的各知识点, 并能熟练运用公式解决问题, 但学生对基本方程的求法不够准确,今后要多加练习。 2010-11-29 三、例题 四、练习 A组 3.


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