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上海市金山中学2016届高三上学期期中考试数学试题


金山中学 2015 学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷参考答案
(考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:陈繁球 审核人:鲁丹) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。
2 1.已知全集 U ? 2, 4, a ? a ? 1 , A ?

?a ?1,2? ,且 ? U A ? ?7? ,则实数 a ? ________。

?

?

3
1? 1 ? 2.若 0 ? a ? 1 ,则关于 x 的不等式 (a ? x ) ? x ? ? ? 0 的解集是_________________。 (a, ) a? a ?

3.已知命题 p 的否命题是“若 A 是

B ,则 痧 U A?

U

,写出命题 p 的逆否命题 B ? ?U B ”

__________________________________。若 痧 U A?

U

B ? ?U B ,则 A

B。

?1 2 4.已知幂函数 f ( x ) 过点 (2, 2) ,则 f ( x ) 的反函数为 f ( x) ? ____________。 x ( x ? 0)

5.已知 f ( x) ?

?

? ?? ? 2 arcsin ?2 x ? 1? ,则 f ?1 ? ? ? ? _____________。0 2 ? 2?
2 5 ? ,则 tan(? ? ) 的值为____________。3 13 2

6.在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作锐角 ? ,它的终边与单位圆相交于点 A ,且 点 A 的横坐标为

7.对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M ;对于两个集合 A 、 B ,定义集合 1 , x ? M ?

A?B ? {x | f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} 。已知 A ? {2, 4,6,8,10} , B ? {1, 2, 4,8,12} ,则用列举
法写出集合 A? B 的结果为____________。 {1,6,10,12} 8. 要得到函数 y ? sin x ? cos x 的图像, 可以由函数 y ? sin x ? cos x 的图像向左平移得到, 则平移的最短长度为______________。 9. 若函数 f ( x) ? x 5 10.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a ? 2 ,且

?

? 2

? ( x ? 0) , 则集合 {x | f ( x) ? lg | x ? | } 中的元素个数是_____。 4sin x (0 ? x ? ? ) 2
2

?2 ? b?(sin A ? sin B) ? (c ? b) sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为____________。

3

11.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________。 a ? ?

a2 ?7 , x

8 7

1 ? 2 x ? 2ax ? 5 ? ? ? 3 12.已知不等式组 ? 有唯一解,则实数 a ? _______。 ? 3 7 2 ? x ? 2ax ? 5 ? ? ? 2
13.求“方程 ( ) ? ( ) ? 1的解”有如下解题思路:设函数 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则函数
x x x x

3 5

4 5

3 5

4 5

f ( x) 在 R 上单调递减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 。类比上述解题思路,
方程 x6 ? x2 ? (2 x ? 3)3 ? 2 x ? 3 的解集为____________。 {?1,3}

a ? b 的取值范围是 __ 。 a sin x ) ? sin( b cos x 没有零点,则 ) 14 .已知函数 f ( x ) ? cos(
2 2

? ?2 ? ?0, 4 ? ? ?

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15 . 若 集 合 中 三 个 元 素 为 边 可 构 成 一 个 三 角 形 , 则 该 三 角 形 一 定 不 可 能 是 ( D ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 16 . 若 a 和 b 均 为 非 零 实 数 , 则 下 列 不 等 式 中 恒 成 立 的 是 ( A ) (A)

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2
1 1 ? )?4 a b

(B) (D)

b a ? ?2 a b |a?b| ? 2 | ab |
( C )

(C) ( a ? b)(

B C 17. 在 ?A

中, 角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 则 a ? b 是 cos A ? cos B 的 (B)必要非充分条件 (D)不充分也不必要条件

(A)充分非必要条件 (C)充分且必要条件 18.给出下列六个命题:

(1)若 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称。 (2) y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 0 对称。 (3) y ? f ( x ? 3) 的反函数与 y ? f
?1

( x ? 3) 是相同的函数。

(4) y ? ? ? (5) y ?

?1? ? sin 2 x ? 2015无最大值也无最小值。 ? 2?
2 tan x 的周期为 ? 。 1 ? tan 2 x

x

(6) y ? sin x(0 ? x ? 2? ) 有对称轴两条,对称中心三个。 则 ( A ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 正 确 命 题 的 个 数 是

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。 已知不等式 x – 3x ? t ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? m, m ? R} 。
2

(1)求 t , m 的值; (2)若 f ? x ? ? – x ? ax ? 4 在 (?1,1) 上递增,求实数 a 的取值范围。
2

解: (1)由条件得: ?

?1 ? m ? 3 ?m ? 2 ,所以 ? 。 ?t ? 2 ?1 ? m ? t
a 2
2

(2)因为 f ? x ? ? ?( x ? ) +4 ?

a a2 在 (?1,1) 上递增, 所以 ≥1,a≥2。 2 4

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分。 设全集 U ? R ,关于 x 的不等式 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 ( a ? R )的解集为 A 。 (1)求集合 A ; (2) 设集合 B ? ? x

? ?

? ? ? 3 sin(? x ? ) ? cos(? x ? ) ? 0? ,若 (? U A) ? B 中有且只有三个元 6 6 ?

素,求实数 a 的取值范围。 解: (1)由 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 可以得到: x ? 2 ? 2 ? a 。 当 a ? 2 时,解集是 R ;当 a ? 2 时,解集是 x x ? a ? 4或x ? ? a 。 (2)(i)当 a ? 2 时, ?U A ? ? ,不合题意; (ii)当 a ? 2 时, ? U A ? x a ? 4 ? x ? ?a 。

?

?

?

?

因 3 sin(? x ?

?

) ? cos(? x ? ) ? 2 sin ?x , 6 6

?

由 sin ?x ? 0 ,得 ?x ? k? (k ? Z ) ,即 x ? k ? Z ,所以 B ? Z 。

a?2 ? ? 当 (? U A) ? B 有 3 个元素时, a 就满足 ? ?4 ? a ? 4 ? ?3, 可以得到 0 ? a ? 1 。 ? ?1 ? ? a ? 0 ?
21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分。 已知函数 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? 2 2 ? ? sin x ? cos x+ 2 。 3?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若存在 t ? ?

?? ? ? , ? 满足 [ f (t )]2 ? 2 2 f (t ) ? m ? 0 ,求实数 m 的取值范围。 ?12 3 ? 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x+ 2 2 2

[解](1) f ( x) ?

1 3 π? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x+ 2 ? sin ? 2 x ? ? + 2 , 函 数 f ( x) 的 最 小 正 周 期 2 2 6? ?
T ?? 。
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

π ? ? ? ? 2k? ? ( k ? Z ) ,得 k? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) , 6 2 6 3

单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

(k ?Z ) 。

(2)当 t ? ?

? ? ?? π? ?? ? ? ? ? , ? 时, 2t ? ? ?0, ? , f (t ) ? sin ? 2t ? ? + 2 ? ? ? 2, 2 ? 1? 6 分 6 ? 2? 6? ?12 3 ? ?

? F (t ) ? [ f (t )]2 ? 2 2 f (t ) ? [ f (t ) ? 2]2 ? 2 ? ? ?2, ?1? 。
存在 t ? ?

?? ? ? 满足 F (t ) ? m ? 0 的实数 m 的取值范围为 ? ??, ?1? 。 , ?12 3 ? ?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分。 设函数 g ( x) ? x ? 1,函数 h( x) ? 函数 f ( x) 为函数 g ( x) 与 h( x) 的积。 (1)求函数 f ( x) 的表达式,并求其定义域;

1 , x ? ( ? 3 , a ] ,其中 a 为常数,且 a ? 0 。令 x?3

(2)当 a ?

1 时,求函数 f ( x) 的值域; 4 1 1 ] ?若存在,试写出所有满足条 3 2

(3)是否存在自然数 a ,使得函数 f ( x) 的值域恰为 [ ,

件的自然数 a 所构成的集合;若不存在,试说明理由。 解: ( 1 )由条件,函数 f ( x) ?
[0 , a ] ( a ? 0) 。

x ?1 ,因为 g ( x ) 的定义域为 [ 0 , ? ? ) ,故 f ( x ) 的定义域为 x?3

( 2 ) 令 x ? 1 ? t , 则 有 x ? (t ? 1)2 , t ? [1 , ] , 得 f ( x) ? F (t ) ?
3 ]。 2 3 2

3 2

4 1 。当 t ? 时, 4 t t ? ?2 t

t ? ?2 ? [1 ,

所以 t ? [1 , ] 时, t ?

1 6 4 递减,于是函数 F (t ) 单调递增。所以, F (t ) ? [ , ] 。 t 3 13

(3)假设存在这样的自然数 a ,满足条件。令 x ? 1 ? t ,代换可得 f ( x) ? F (t ) ? 因为 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , a ] ,则有 t ? [1 , a ? 1] 。 要满足值域为 [ , ] ,则要满足 F (t ) max ?
4 t
1 1 3 2 1 。 2

1 。 4 t ? ?2 t

由于当且仅当 t ? 等号成立,此时 F (t ) 恰好取得最大值,则由 t ? 2 ? [1 , a ? 1] , 故 2 ? a ?1 ? a ? 1 。 又 F (t ) 在区间 t ? [1 , 2 ] 上是减函数,在区间 t ? [ 2 , a ? 1] 上是增函数, 由于 F (1) ?
1 a ?1 a ?1 1 , F ( a ? 1) ? 。则有 ? ,由于 a ? 0 ,得 1 ? a ? 9 。 3 a?3 3 a?3

故满足条件的所有自然数 a 的集合为 {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} 。

23. (本题满分 18 分)第 1 小题满分为 4 分,第 2 小题满分为 7 分,第 3 小题满分为 7 分。 已知函数 f ( x) ? 2 ?

1 1 ? 2 (a ? R, a ? 0) 。 a a x

(1)设 mn ? 0 ,判断函数 f ( x ) 在 ?m, n? 上的单调性,并加以证明; (2)设 0 ? m ? n 且 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域和值域都是 ?m, n? ,求 n ? m 的最大值; (3)若不等式 | a f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

解: (1)设 m ? x1 ? x2 ? n ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

x ?x 1 1 ? 2 ? 12 2 。 a x1 a x2 a x1 x2
2

? mn ? 0 , m ? x1 ? x2 ? n ,? x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 。

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
∴函数 f ( x ) 在 [m, n] 上的单调递增。 (2)由⑴及 f ( x ) 的定义域和值域都是 [m, n] ,得 f (m) ? m, f (n) ? n 。 因此 m, n 是方程 2 ?

1 1 ? 2 ? x 的两个不相等的正数根。 a a x

等价于方程 a2 x2 ? (2a2 ? a) x ? 1 ? 0 有两个不等的正数根,

?a ? 0 ? 2 2 2 ?? ? (2a ? a) ? 4a ? 0 2 1 ? 即: ? x ? x ? 2a ? a ? 0 ?a? 。 1 2 2 a2 ? ? 1 ? x1 x2 ? 2 ? 0 a ?

? n ? m ? x1 ? x2 ? ?

3 4 1 2 16 ? ? 4 ? ?3( ? )2 ? , 2 a a a 3 3

3 1 4 3 ? a ? ( , ??) ,? a ? 时, ? n ? m ?max ? 。 2 2 3
2 2 (3) a f ( x) ? 2a ? a ?

1 (a ? 0) ,则不等式 | a2 f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立, x

? ?a ? 0 ? 1 ? 2 1 2 即 ?2 x ? 2a ? a ? ? 2 x ,∴ ? 2a ? a ? 2 x ? ,对 x ? 1 恒成立。 x x ? 1 ? 2 2a ? a ? ? 2 x ? x ?
1 1 ( x ? 1) , g ( x) ? ? 2 x( x ? 1) , x x 1 易知: h( x) 在 [1, ??) 递增,同理 g ( x ) ? ? 2 x 在 [1, ??) 递减。 x
令 h( x ) ? 2 x ?

?h( x)min ? h(1) ? 3, g ( x)max ? g (1) ? ?1。

?a ? 0 ? 3 ? ? ? 2a 2 ? a ? 3 ? a ? ? ? , 0 ? ? ? 0,1? 。 ? ? 2 ? ? 2 ?2a ? a ? ?1

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