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2014-2015学年广西桂林市高一(下)期末数学试卷


2014-2015 学年广西桂林市高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的。 1. A. =( ) B. C. D.

2.若三点 A(2,3) ,B(3,4) ,C(a,b)共线,则有( ) A. a=3,b=﹣5 B. a﹣b+1=0 C. 2a﹣b=3
2 2 2 2

D. a﹣2b=0

3.圆 C1:x +y +2x+8y﹣8=0 与圆 C2:x +y ﹣4x﹣4y﹣1=0 的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 4.如图所示,半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域,在圆中随机撒一粒豆子,它 落在阴影区域内的概率是 ,则阴影部分的面积是( )

A.

B. π

C . 2π

D . 3π

5.将两个数 a=2,b=﹣1 交换,使 a=﹣1,b=2,下列语句正确的是(



A.

B.

C.

D. )

6.根据甲、乙两名篮球运动员某赛季 9 场比赛得分的茎叶图,可知(

A. B. C. D.

甲运动员的成绩好,乙运动员发挥稳定 乙运动员的成绩好,甲运动员发挥稳定 甲运动员的成绩好,且发挥更稳定 乙运动员的成绩好,且发挥更稳定

7.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A. 向右平移 C. 向左平移

)的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象( B. 向左平移 D. 向右平移



个单位长度 个单位长度

个单位长度 个单位长度

8.如图所示的程序框图,其运行结果(即输出的 S 值)是(



A. 5

B. 20

C. 30

D. 42

9.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛.在下列选项中,互 斥而不对立的两个事件是( ) A. “至少有 1 名女生”与“都是女生” B. “至少有 1 名女生”与“至多 1 名女生” C. “恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生” D. “至少有 1 名男生”与“都是女生”

10.在△ ABC 中,已知 ( ) A. ﹣

=(cos18°,cos72°) ,

=(2cos63°,2cos27°) ,则 cos∠B 等于

B.

C. ﹣

D.

11.如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|≤ Q、R 满足 P(1,0) ,M(2,﹣2)为线段 QR 的中点,则 A=(

)与坐标轴的三个交点 P、 )

A. 2

B.

C.

D. 4

12.在 Rt△ ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 取值范围为( A. ) B. [2,4] C. [3,6]

,则



D. [4,6]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知角 α 的终边经过点( ) ,则 cosα= .

14.已知点 M(3,﹣4,5)是空间直角坐标系 Oxyz 中的一点,则点 M 关于 z 轴的对称点 坐标是 . 15.已知 x∈[0,2π) ,则使不等式 +2cosx≥0 成立的 x 的集合等于 .

16.△ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2, 方向上的投影为 .

=0 且

,则向量



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知角 α 是钝角,且 sinα= .求 cosα、tanα 和 cos2α+sin(π+α)的值.

18. 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况, 从该市初二年级男生中抽取了一部分学 生进行“掷实心球”的项目测试. 成绩低于 6 米为不合格, 成绩在 6 至 8 米 (含 6 米不含 8 米) 的为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得的所有数据,分成[2,4) ,[4,6) ,[6,8) ,[8,10) ,[10,12]五组, 画出的频率分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (1)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数; (2)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球” 成绩为优秀的概率; (3)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽 取的 2 名学生来自不同组的概率.

19.已知向量 =



, =2

+

,其中

=(﹣1,1) ,

=(1,0) ,求:

(Ⅰ) ? 和| + |的值; (Ⅱ) 与 夹角 θ 的余弦值. 20. 已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系, 某班 6 名学生的数学和物理成绩如 表:

A

B

C

D

E 63 60

F 73 80

数学成绩(x) 83 78 73 68 物理成绩(y) 75 65 75 65 (1)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程; (2)当某位学生的数学成绩为 70 分时,预测他的物理成绩. 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式:

=





参考数据:83 +78 +73 +68 +63 +73 =32224, 83×75+78×65+73×75+68×65+63×60+73×80=30810.

2

2

2

2

2

2

21.已知 =(sinx,cosx) , =(sinx,sinx) ,函数 f(x)= ? . (1)求 f(x)的对称轴方程;

(2)若对任意实数 x∈[



],不等式 f(x)﹣m<2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.已知圆 C 的圆心在直线 y=x+1 上,且过点 A(1,3) ,与直线 x+2y﹣7=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 l:ax﹣y﹣2=0(a>0)与圆 C 相交于 A、B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

2014-2015 学年广西桂林市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的。 1. A. =( ) B. C. D.

考点:三角函数的化简求值. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:利用特殊角的三角函数即可得到答案. 解答: 解:∵cos =﹣ .

故选 D. 点评:本题考查特殊角的三角函数值,属于基础题. 2.若三点 A(2,3) ,B(3,4) ,C(a,b)共线,则有( ) A. a=3,b=﹣5 B. a﹣b+1=0 C. 2a﹣b=3

D. a﹣2b=0

考点:直线的斜率. 专题:直线与圆. 分析:由题意可得 AB 的斜率等于 BC 的斜率,分别由斜率公式可得 a,b 的式子,化简可 得. 解答: 解:由题意可知 AB 的斜率为 k1= BC 的斜率为 k2= , =1,

∵三点 A(2,3) ,B(3,4) ,C(a,b)共线, ∴k1=k2,即 =1,

化简可得 a﹣b+1=0 故选:B 点评:本题考查直线的斜率公式,属基础题. 3.圆 C1:x +y +2x+8y﹣8=0 与圆 C2:x +y ﹣4x﹣4y﹣1=0 的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 考点:圆与圆的位置关系及其判定. 专题:计算题;直线与圆.
2 2 2 2

分析:由圆 C1:x +y +2x+8y﹣8=0 的圆心 C1(﹣1,﹣4) ,半径 r1=5,圆 C2:x +y ﹣4x ﹣4y﹣1=0 的圆心 C2(2,2) ,半径 r2=3,知|r1﹣r2|<|C1C2|<r1+r2,由此得到圆 C1 与圆 C2 相交. 2 2 解答: 解:∵圆 C1:x +y +2x+8y﹣8=0 的圆心 C1(﹣1,﹣4) , 半径 r1=
2 2

2

2

2

2

=5,

圆 C2:x +y ﹣4x﹣4y﹣1=0 的圆心 C2(2,2) , 半径 r2= ∴|C1C2|= =3, =3 ,|r1﹣r2|=2, ,

∵|r1﹣r2|<|C1C2|<r1+r2, ∴圆 C1 与圆 C2 相交. 故选 C. 点评:本题考查圆与圆的位置关系的判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4.如图所示,半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域,在圆中随机撒一粒豆子,它 落在阴影区域内的概率是 ,则阴影部分的面积是( )

A.

B. π

C . 2π

D . 3π

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:圆中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是 ,可得 P= 结论. 解答: 解:圆中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是 ,∴P= = , = ,即可得出

又∵S 圆=9π, ∴S 阴影=3π, 故选:D. 点评:本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验, 计算不规则图形的面积, 关 键是要根据几何概型的计算公式, 列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及圆面积 之间的关系. 5.将两个数 a=2,b=﹣1 交换,使 a=﹣1,b=2,下列语句正确的是( )

A.

B.

C.

D.

考点:赋值语句. 专题:计算题;算法和程序框图. 分析:要实现两个变量 a,b 值的交换,需要借助中间量 c,先把 a 的值赋给中间变量 c,再 把 b 的值赋给变量 a,把 c 的值赋给变量 b,问题解决. 解答: 解:先把 a 的值赋给中间变量 c,这样 c=a, 再把 b 的值赋给变量 a, 把 c 的值赋给变量 b, 故选:B 点评:本题考查的是赋值语句,属于基础题,熟练掌握赋值语句的功能和格式,是解答的关 键. 6.根据甲、乙两名篮球运动员某赛季 9 场比赛得分的茎叶图,可知( )

A. B. C. D.

甲运动员的成绩好,乙运动员发挥稳定 乙运动员的成绩好,甲运动员发挥稳定 甲运动员的成绩好,且发挥更稳定 乙运动员的成绩好,且发挥更稳定

考点:茎叶图. 专题:图表型. 分析:由茎叶图, 数据的稳定程度与茎叶图形状的关系, 茎叶图中各组数据大部分集中在某 个叶上,表示该组数据越稳定,根据数据可直接判断最高分的大小. 解答: 解:由茎叶图可知,甲运动员的得分大部分集中在 14~18 分之间, 而乙运动员的得分相对比较散且在低分区的较多, 故甲篮球运动员比赛得分更稳定,甲运动员的成绩好. 故选 C. 点评:本题考查的知识点是茎叶图,解题的关键是根据茎叶图的茎是高位,叶是低位,读出 茎叶图中所包含的数据, 数据稳定在直观上体现在数据大部分集中在某个叶上, 属于基础题.

7.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A. 向右平移 C. 向左平移

)的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象( B. 向左平移 D. 向右平移



个单位长度 个单位长度

个单位长度 个单位长度

考点:五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:先将函数变形,再利用三角函数的图象的平移方法,即可得到结论. 解答: 解:∵函数 y=sin(2x﹣ ∴为了得到函数 y=sin(2x﹣ )=sin[2(x﹣ )], 个单位长

)的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象向右平移

度 故选 A. 点评:本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换, 注意先伸缩后平移时 x 的系数, 属于基 础题. 8.如图所示的程序框图,其运行结果(即输出的 S 值)是( )

A. 5

B. 20

C. 30

D. 42

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 i=12 时不满足条件 i< 12,退出循环,输出 S 的值为 30. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0 i=2 满足条件 i<12,S=2,i=4 满足条件 i<12,S=6,i=6 满足条件 i<12,S=12,i=8 满足条件 i<12,S=20,i=10 满足条件 i<12,S=30,i=12 不满足条件 i<12,退出循环,输出 S 的值为 30. 故选:C. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 S,i 的值是解 题的关键,属于基础题. 9.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛.在下列选项中,互 斥而不对立的两个事件是( ) A. “至少有 1 名女生”与“都是女生”

B. “至少有 1 名女生”与“至多 1 名女生” C. “恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生” D. “至少有 1 名男生”与“都是女生” 考点:互斥事件与对立事件. 专题:概率与统计. 分析:互斥事件是两个事件不包括共同的事件, 对立事件首先是互斥事件, 再就是两个事件 的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案 解答: 解:A 中的两个事件是包含关系,故不符合要求. B 中的两个事件之间有都包含一名女的可能性,故不互斥; C 中的两个事件符合要求,它们是互斥且不对立的两个事件; D 中的两个事件是对立事件,故不符合要求 故选:C. 点评:本题考查互斥事件与对立事件, 解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关 系.属于基本概念型题.

10.在△ ABC 中,已知 ( ) A. ﹣

=(cos18°,cos72°) ,

=(2cos63°,2cos27°) ,则 cos∠B 等于

B.

C. ﹣

D.

考点:平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量模的计算公式、同角三角函数的平方关系可得 积运算和两角和差的正弦公式、向量的夹角公式即可得出. 解答: 解:∵ ∴ = = =(cos18°,cos72°) , = = =(2cos63°,2cos27°) , =1, =2. , ,再利用数量

=﹣(cos18°,cos72°)?(2cos63°,2cos27°)=﹣2(cos18°sin27°+sin18°cos27°)=﹣ 2sin45°=﹣ ∴ . = =﹣ .

故选:A. 点评:本题考查了向量模的计算公式、同角三角函数的平方关系、数量积运算、两角和差的 正弦公式、向量的夹角公式,考查了计算能力,属于基础题.

11.如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|≤ Q、R 满足 P(1,0) ,M(2,﹣2)为线段 QR 的中点,则 A=(

)与坐标轴的三个交点 P、 )

A. 2

B.

C.

D. 4

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由题意设出 Q(2a,0)a>0,R(0,b) ,b<0,求出 a,b 的值,通过五点法求出函 数的解析式,即可求出 A. 解答: 解:∵函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|≤ 点 P、Q、R 满足 P(1,0) 、M(2,﹣2)为线段 QR 的中点, ∴设 Q(2a,0) ,a>0,R(0,b) ,b<0, )与坐标轴的三个交



,解得



即 Q(4,0) ,R(0,﹣4) , 则函数的周期 T=2×(4﹣1)=6, 即 ,即 ω= , x+φ) ,

则 f(x)=Asin(

∵f(1)=0,且 f(0)=﹣4, ∴Asin( 即 +φ)=0,且 Asinφ=﹣4,

+φ=kπ,k∈Z, ,

则 φ=kπ﹣ ∵φ|≤ ,

∴当 k=0 时,φ=﹣ 则 Asin(﹣



)=﹣4,

即 解得 A=

A=﹣4, = ,

故选:C 点评:本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求得 Q 点与 R 点的坐标是关 键,考查识图、运算与求解能力,属于中档题.

12.在 Rt△ ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 取值范围为( A. ) B. [2,4] C. [3,6]

,则



D. [4,6]

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:通过建立直角坐标系求出 AB 所在直线的方程,设出 M,N 的坐标,将 ﹣1) ,0≤b≤1,求出范围. 解答: 解:以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴建立平面坐标系,
2

=2(b

则 A(3,0) ,B(0,3) , ∴AB 所在直线的方程为:y=3﹣x, 设 M(a,3﹣a) ,N(b,3﹣b) ,且 0≤a≤3,0≤b≤3 不妨设 a>b, ∵MN= , 2 2 ∴(a﹣b) +(b﹣a) =2, ∴a﹣b=1, ∴a=b+1, ∴0≤b≤2, ∴ =(a,3﹣a)?(b,3﹣b)

=2ab﹣3(a+b)+9 2 =2(b ﹣2b+3) ,0≤b≤2,

∴b=1 时有最小值 4; 当 b=0,或 b=2 时有最大值 6, ∴ 的取值范围为[4,6]

故选:D 点评:熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知角 α 的终边经过点( ) ,则 cosα= .

考点:任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值. 分析:由题意可得 x= ,y= ,r= =1,由此求得 cosα= ) , 的值.

解答: 解:∵角 α 的终边经过点( ∴x= ∴r= ∴cosα= =x= 故答案为: ,y= =1, , ,

点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. 14.已知点 M(3,﹣4,5)是空间直角坐标系 Oxyz 中的一点,则点 M 关于 z 轴的对称点 坐标是 (﹣3,4,5) . 考点:空间中的点的坐标. 专题:空间位置关系与距离. 分析:先根据空间直角坐标系对称点的特征,点(x,y,z)关于 z 轴的对称点的坐标为只 须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数即可,即可得对称点的坐标. 解答: 解:∵在空间直角坐标系中, 点(x,y,z)关于 z 轴的对称点的坐标为: (﹣x,﹣y,z) , ∴点 M(3,﹣4,5)关于 z 轴的对称点的坐标为: (﹣3,4,5) . 故答案为: (﹣3,4,5) 点评:本小题主要考查空间直角坐标系、 空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识, 考查 运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 15. 已知 x∈[0, 2π) , 则使不等式 ]∪[

+2cosx≥0 成立的 x 的集合等于 [0,

, 2π) .

考点:余弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据余弦函数的图象和性质进行求解即可. 解答: 解:由式 ∵x∈[0,2π) , ∴0≤x≤ 或 ≤x<2π, ]∪[ ,2π) , +2cosx≥0 得式 cosx≥﹣ ,

即不等式的解集为[0, 故答案为:[0, ]∪[

,2π)

点评:本题主要考查三角函数范围的求解,利用余弦函数的图象和性质是解决本题的关键.

16.△ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2, 方向上的投影为 .

=0 且

,则向量



考点:平面向量数量积的运算;向量数乘的运算及其几何意义. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:根据 =0 得 , 可得四边形 OBAC 是平行四边形, 结合

得到四边形 OBAC 是边长为 2 的菱形且∠ABO=∠AC0=60°, 从而得到∠ACB= ∠AC0=30°, 利用向量投影的定义即可算出答案. 解答: 解:∵ ∴ ,即 =0, ,可得四边形 OBAC 是平行四边形, ,

∵△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2,得 ∴四边形 OBAC 是边长为 2 的菱形,且∠ABO=∠AC0=60°, 因此,∠ACB= ∠AC0=30°, ∴向量 在 方向上的投影为: =2cos30°= .

故答案为:

点评:本题给出三角形外接圆满足的向量等式, 求向量的投影, 着重考查了向量的加法法则、 向量数量积的运算性质和向量在几何中的应用等知识,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知角 α 是钝角,且 sinα= .求 cosα、tanα 和 cos2α+sin(π+α)的值.

考点:同角三角函数基本关系的运用;二倍角的余弦. 专题:三角函数的求值. 分析:由 α 为钝角,根据 sinα 的值求出 cosα 的值,进而求出 tanα 的值,原式利用诱导公式 及二倍角的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵α 为钝角,sinα= , ∴cosα=﹣
2

=﹣ ,tanα= .

=﹣ ,

则原式=1﹣2sin α﹣sinα=﹣

点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用, 以及二倍角的余弦函数公式, 熟练掌握运 算法则是解本题的关键. 18. 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况, 从该市初二年级男生中抽取了一部分学 生进行“掷实心球”的项目测试. 成绩低于 6 米为不合格, 成绩在 6 至 8 米 (含 6 米不含 8 米) 的为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得的所有数据,分成[2,4) ,[4,6) ,[6,8) ,[8,10) ,[10,12]五组, 画出的频率分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (1)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数; (2)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球” 成绩为优秀的概率; (3)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽 取的 2 名学生来自不同组的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图的性质可(0.2+0.15+0.075+a+0.025)×2=1,解方程即可得 到 a 的值;再根据样本容量=频数÷频率,求出参加“掷实心球”项目测试的人数; (2)根据题意,成绩在最后两组的为优秀,其频率为 0.15+0.05,由频率计算公式即可算出 该样本中成绩优秀的人数, 根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选 取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率; (3)由频率计算公式得样本中第一组共有 2 人,得第二组共有 6 人.用列举的方法计算出 基本事件的总数共有 28 个, 而抽取的 2 名学生来自不同组构成的基本事件有 12 个. 由此结 合古典概型计算公式即可算出所求概率. 解答: 解: (1)由题意可知(0.2+0.15+0.075+a+0.025)×2=1,解得 a=0.05. 所以此次测试总人数为 =40.

答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人. (2) 由图可知, 参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生, 成绩优秀的频率为 (0.15+0.05) ×2=0.4, 则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为 0.4. (3)设事件 A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在[2,4)有 2 人,记为 a,b;在[4,6)有 6 人,记为 c,d,e,f,g,h. 从这 8 人中随机抽取 2 人共 28 种情况 ab,ac,ad,ae,af,ag,ah,bc,bd,be,bf,bg, bh,cd,ce,cf,cg,ch,de,df,dg,dh,ef,eg,eh,fg,fh,gh, 事件 A 包括共 12 种情况.ac,ad,ae,af,ag,ah,bc,bd,be,bf,bg,bh, 所以事件 A 的概率 P= = .

答:随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率 . 点评:本题给出频率分布直方图,求样本中成绩优秀的人数,并求一个随机事件的概率.着 重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识,属于基础题.

19.已知向量 =



, =2

+

,其中

=(﹣1,1) ,

=(1,0) ,求:

(Ⅰ) ? 和| + |的值; (Ⅱ) 与 夹角 θ 的余弦值. 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: (I)利用向量的线性运算、数量积的定义与性质即可得出; (II)利用向量的夹角公式即可得出. 解答: 解: ( I)向量 = =2 + ﹣ =(﹣1,1)﹣(1,0)=(﹣2,1) ,

=2(﹣1,1)+(1,0)=(﹣1,2) .

=(﹣3,3) . ∴ | + |= =﹣2×(﹣1)+1×2=4. =3 . (

(II)cosθ=

=

= .

点评:本题考查了向量的线性运算、数量积的定义与性质、向量的夹角公式,属于基础题. 20. 已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系, 某班 6 名学生的数学和物理成绩如 表:

A

B

C

D

E 63 60

F 73 80

数学成绩(x) 83 78 73 68 物理成绩(y) 75 65 75 65 (1)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程; (2)当某位学生的数学成绩为 70 分时,预测他的物理成绩. 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式:

=





参考数据:83 +78 +73 +68 +63 +73 =32224, 83×75+78×65+73×75+68×65+63×60+73×80=30810.

2

2

2

2

2

2

考点:线性回归方程. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)根据所给的数据利用最小二乘法.写出线性回归方程的系数和 a 的值,写出 线性回归方程,注意运算过程中不要出错. (2)将 x=70 代入所求出的线性回归方程中,得 y=68.2,即这个学生的预测他的物理成绩 为 68.2 分. 解答: 解: (1)由题意, = = =70.…(4 分) =73,…(2 分)

b=

= ,…(7 分)

a=70﹣ ∴y= x+

=

,…(10 分)

.…(11 分)

(2)由(1)知,当 x=70 时,y=68.2,…(13 分) ∴当某位学生的数学成绩为 70 分时,估计他的物理成绩为 68.2.…(14 分) . 点评:本题考查线性回归方程, 是一个基础题, 解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归 系数,注意解题的运算过程不要出错.

21.已知 =(sinx,cosx) , =(sinx,sinx) ,函数 f(x)= ? . (1)求 f(x)的对称轴方程; (2)若对任意实数 x∈[ , ],不等式 f(x)﹣m<2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点:三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式,通过正弦函数的 对称轴直接求 f(x)的对称轴方程; (2)利用(1)的函数的解析式,对任意实数 x∈[ , ],不等式 f(x)﹣m<2 恒成立,

求出 f(x)﹣2 在已知范围难度最大值,即可求实数 m 的取值范围. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)由 f(x)= ? 及 =(sinx,cosx) , =(sinx,sinx) ,可得 f(x)=sin x+sinxcosx =
2

…(2 分) …(3 分)

= 令 ,k∈Z,解得 x= ,k∈Z.…(5 分) ,k∈Z.…(6 分) .…(7 分)

…(4 分)

所以,f(x)的对称轴方程为 x= (2)∵x∈[ 又∵y=sinx 在 ∴sin 又∵sin = ∴f(x)在 x∈[ , =sin( = )=sin , ],∴ 上是增函数,

.…(8 分) cos ﹣cos sin

,…(9 分) ],时的最大值是 fmax(x)= = .…(11 分)

∵不等式 f(x)﹣m<2 恒成立,即 f(x)﹣2<m 恒成立,…(12 分) ∴ ,即 m , .…(14 分)

所以,实数 m 的取值范围是

点评:本题考查向量的数量积的计算. 两角和与差的三角函数正弦函数的对称轴方程以及单 调性的应用,考查计算能力. 22.已知圆 C 的圆心在直线 y=x+1 上,且过点 A(1,3) ,与直线 x+2y﹣7=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 l:ax﹣y﹣2=0(a>0)与圆 C 相交于 A、B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点:直线和圆的方程的应用. 专题:计算题. 分析: (1)设圆心坐标为(t,t+1) ,半径为 r,则圆的方程可得,根据题意把点 A 代入 圆方程,利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离等于半径联立方程求得 t 和 r,则 圆的方程可求得. (2)把直线方程代入圆的方程,消去 y 整理利用判别式大于 0 求得 a 的范围. (3)设符合条件的实数 a 存在,由于 a≠0,则直线 l 的斜率为﹣ ,则 l 的方程可得,把圆 心代入求得 a,根据(2)中的范围可知 a 不符合题意,进而可判断出不存在实数 a,使得过 点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.

解答: 解: (1)解:设圆心坐标为(t,t+1) ,半径为 r,则圆的方程为(x﹣t) +(y﹣t
2 2

2

﹣1) =r 依题意可知
2 2

求得 t=0,r=

∴圆的方程为 x +(y﹣1) =5; (2)把直线 ax﹣y﹣2=0 即 y=ax﹣2 代入圆的方程,消去 y 整理,得 2 2 (a +1)x ﹣6ax+4=0.由于直线 ax﹣y+5=0 交圆于 A,B 两点, 故△ =36a ﹣16(a +1)>0.即 5a ﹣4>0,由于 a>0,解得 a> 所以实数 a 的取值范围是( ,+∞) .
2 2 2



(3)设符合条件的实数 a 存在,由于 a≠0,则直线 l 的斜率为﹣ , l 的方程为 y=﹣ (x+2)+4,即 x+ay+2﹣4a=0. 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(0,1)必在 l 上. 所以 0+a+2﹣4a=0,解得 a= . 由于 ,

故不存在实数 a,使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB. 点评:本题主要考查了直线与的方程的综合运用. 考查了考生综合分析问题和解决问题的能 力.


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