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山西省康杰中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


康杰中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高一数学试题
2015.11 本试题考试时间 90 分钟,满分 100 分 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合要求的。请把正确的答案序号涂在答题卡相应表格中) 1. 已知集合 A ? ?0,1,2,3,4?, B ? ? 1,3,5?,则 A ? B = A. ?0,2? C. B .

?1,3?

?0,1,3?
函 数

D. ?0,1,2,3,4,5?

2. 是

y ? log1 (3x ? 2)
2









A. [1,??) C.

B

. D. ( ,1]

2 ( ,??) 3 2 3

2 [ ,1] 3

3. 下列函数在其定义域内,既是奇函数又是增函数的 为 A. y ? x ? 1 D. y ? ? x
2

B. y ? ?

1 x

C . y?xx

4. 已知集合 A ? 0, m, m ? 3m ? 2 且 2 ? A ,则实数 m 的值为
2

?

?

A.3 3

B . 2 D.0,2,3 均可

C . 0



5. 已知函数 f ( x) ? ?

? 3x , ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] ? 2 ?log3 x, ( x ? 0)
1

A.-1 C. 3 D.

B.2

1 2

6. 函数 y ?

2 ? ln x 的零点所在区间是 x
B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

A. (0,1)

7. 已知函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ? (0,??) ,恒有 ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 , 若 a ? f (log4 7) , b ? f (log2 3), c ? f (0.20.6 ) ,则 a , b, c 的大小关系是 A. c ? b ? a D. a ? b ? c 8. 已知函数 f ( x ) ? log 2 x ? ( ) ,若实数 x 0 是方程 f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则
x

B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

1 3

f ( x1 ) 的取值是
A.恒为负 正 9. 已知 f ( x) ? ? A. (0,1) D. ( , )
2 x 10. 已知函数 f ( x) ? x ? a , (a ? 0, a ? 1) , 当 x ? (?1,1) 时均有 f ( x ) ?

B.等于零 D.不小于零

C.恒为

?(3a ? 1) x ? 4a, ( x ? 1) 是 (??,??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( x ? 1) ? loga x,
B. [ , )

1 1 7 3

C



1 (0, ) 3

1 1 9 3

1 , 则实数 a 的取 2

值范围是

1 2 1 C. [ ,1) ? (1, 2] 2

A. (0, ] ? [2, ??)

B. [ ,1) ? (1,4] D. (0, ] ? [4, ??)

1 4

1 4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。请把答案填在答题纸的相应空格中。 ) 11. 函数 y ? 2x ? 1 ? x 的值域为 .

2

12. 若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3],则函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域 为 .
2

13. 已知函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm

?2m?3

是幂函数,且在 (0,??) 上是减函数,则实数

m 的值为

. .

14. 计算式子 (log3 2 ? log9 2) ? log8 3 的值为
2 15. 若关于 x 的方程 2 x ? 4 ? x ? a 恰有三个不同实数解,则实数 a 的值



.

16. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0,??) 上是增函数,若实数 a 满足:

1 f (log 2 a) ? f (log 2 ) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是 a

.

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 46 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。请在答题纸的相应框里作答,框外答案作废。 ) 17.(本题满分 10 分)设 ? 1 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

? 2 x ?1 ? 5 的最大值和最小值.

3

18.(本题满分 12 分)已知集合 A ? x x ? a , B ? x 1 ? x ? 2 , C ? x mx? 2 ? 0

?

?

?

?

?

?

(1)若 A ? (CR B) ? R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 C ? B ? C ,求实数 m 的取值集合.

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

? 2x ? m (m ? 0, n ? 0) . 2 x ?1 ? n

(1)若 f ( x ) 是奇函数,求 m 与 n 的值;

(2)在(1)的条件下,求不等式 f ( f ( x )) ? f ( ) ? 0 的解 集.

1 4

g ( x) 为偶函数, 20.(本题满分 12 分) 已知 f ( x ) 为奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ? 2 log2 (1 ? x) .

(1)求函数 f ( x ) 及 g ( x) 的解析式;
4

(2)用函数单调性的定义证明:函数 g ( x) 在 (0,1) 上是减函数;

(3)若关于 x 的方程 f (2 x ) ? m 有解,求实数 m 的取值范围.

康杰中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高一数学答案 一、选择题: 1 2 B D 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A 9 B 10 C

二、填空题:11. (??,2]

12. [ 0, ]

5 2

13. 2

14. 三、解答题: 17.解: y ? 4
x? 1 2

1 2

15. 5

16. [ , 2 ]

1 2

1 ? 2 x ?1 ? 5 ? ? 22 x ? 2 ? 2 x ? 5 , 2
1 2 1 t ? 2t ? 5 ? (t ? 2) 2 ? 3 , 2 2
1 2
.........5 分

令 t ? 2 ,则 y ?
x

因为 ? 1 ? x ? 2 ,所以 t ? [ ,4] 当t

? 2 时, ymin ? 3 ;当 t ? 4 时, ymax ? 5
..........10 分

所以函数的最小值为 3,最大值为 5 18.解: (1)? B ? ?x | 1 ? x ? 2??CR B ? ?x | x ? 1或x ? 2?

又? A ? ?x | x ? a?, A ? (CR B) ? R

? a ? 2 ,即 a 的取值范围是 (2,??)

..........6 分

5

(2)因为 C ? B ? C ,所以 C ? B , 当 C ? ? 时, m =0 适合题意; 当 C ? ? 时,由 mx ? 2 ? 0 得 x ? ? 2 ,故1 ? ? 2 ? 2 ,
m

m

若 m >0 时,不等式的解集为空集; 若 m < 0 时, ? 2 ? m ? ?1 . 综上可知, m 的取值集合为 ?m | ?2 ? m ? ?1或m ? 0? 19.(1) f ( x ) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) , .........12 分



? 2? x ? m ? 2x ? m ? ? 对定义域内任意实数 x 成立. 2 ? x ?1 ? n 2 x ?1 ? n

化简整理得 (2m ? n) ? 22 x ? (2mn? 4) ? 2 x ? (2m ? n) ? 0 , 这是关于 x 的恒等式,即有 ?

? 2m ? n ? 0 , ?2m n ? 4 ? 0

解得 ? 因为

?m ? ?1 ?m ? 1 或? . ? n ? ?2 ?n ? 2
m ? 0, n ? 0 ,
所以

?m ? 1 ? ?n ? 2
1 4

.............6 分

(2)由 f ( f ( x )) ? f ( ) ? 0 得: f ( f ( x )) ? ? f ( ) , ..............8 分

1 4 1 因为 f ( x) 为奇函数,所以 f ( f ( x )) ? f ( ? ) . 4
由(1)可知 f ( x) ? 所以 f ( x ) ? ?
x

? 2x ?1 1 2 ? (?1 ? x ) ,且 f ( x) 是 R 上单调减函数, x ?1 2 ?2 2 2 ?1

1 1 2 1 )?? , ,即 (?1 ? x 4 2 2 ?1 4

化简得 2 ? 3 .解得 x ? log2 3 , 所以 f ( f ( x )) ? f ( ) ? 0 的解集为 (??, log2 3) 20.解:(1)∵ f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数, ∴ f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) . 又 f ( x) ? g ( x) ? 2 log2 (1 ? x) ① ②

1 4

..............12 分

故 f (? x) ? g (? x) ? 2 log2 (1 ? x) ,即 ? f ( x) ? g ( x) ? 2 log2 (1 ? x)

6











f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2

1? x , x ? (?1,1) 1? x
..........4 分

(2)设任意的 x1 , x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2 , 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? log2 (1 ? x1 ) ? log2 (1 ? x2 ) ? log2
2 2 2
2 2

1 ? x1 , 2 1 ? x2
2

2

因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? 0

1 ? x1 1 ? x1 所以 1 ? x ? 1 ? x2 ? 0 ,即 ? 1 ,所以 log2 ?0 2 2 1 ? x2 1 ? x2
2 1 2

2

2

所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,即函数 g ( x) 在 (0,1) 上是减函数 (3)因为 f ( x) ? log 2

...........8 分

1? x 1? 2x x ,所以 f (2 ) ? log2 , 1? x 1? 2x
............9 分

设t ?

1? 2x 1? 2x 2 t ? ? ?1 ? ,则 x x 1? 2 1? 2 1? 2x

x 因为 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,所以 f (2 ) 的定义域为 ( ??, 0)
x 即 0 ? 2 ? 1 ,所以 0 ? t ? 1 , 则 log2 t ? 0

...........11 分

因为关于 x 的方程 f (2 ) ? m 有解,则 m ? 0
x

故 m 的取值范围为 (??,0) .

...........12 分

7


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