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湖北省武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:概率


武汉科技大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:概率 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.已知函数: f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f (x) 满足条件: 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

? f (2) ? 12 为事件为 A ,则事件 A 发生的概率为( ? ? f (?2) ? 4
A.

)

1 4

B.

1 2

C.

5 8

D.

3 8

【答案】B 2.甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是

2 ,没有平局,若采用三局两 3
) D.

胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于( A.

20 27

B.

4 9

C.

8 27

16 27

【答案】A 3.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任 取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) C.

1 A. 5
【答案】B

2 B. 5

3 5

D.

4 5

4.有五条线段长度分别为 1,3,5,7,9 ,从这 5 条线段中任取 3 条,则所取 3 条线段能构成一个三 角形的概率为( A. ) B.

1 10

3 10

C.

1 2

D.

7 10

【答案】B 5.已知 P 箱中有红球 1 个,白球 9 个,Q 箱中有白球 7 个, (P、Q 箱中所有的球除颜色外完全相 同) .现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱,将 Q 箱中的球充分搅匀后,再从 Q 箱中随意取出 3 个球放入 P 箱,则红球从 P 箱移到 Q 箱,再从 Q 箱返回 P 箱中的概率等于( A. )

1 5

B.

9 100

C.

1 100
2

D.

3 5
)

【答案】B 6.投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m 和 n ,则复数 (m ? ni) 为纯虚数的概率为( A.

1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

【答案】C 7.已知事件 A 发生的概率为

8 9 6 ,事件 B 发生的概率为 ,事件 A、B 同时发生的概率为 , 30 30 30
)

若事件 B 已经发生,则此时事件 A 也发生的概率为(

A.

8 9

B.

3 4

C.

1 5

D.

2 3

【答案】D 8.10 件产品中有 4 件是次品,从这 10 件产品中任选 2 件,恰好是 2 件正品或 2 件次品的概率 是( )

2 A. 25
【答案】D 9.在区间 A.

2 B. 15

1 C. 3

7 D. 15
)

?0,10? 内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间 ?0,10? 内的概率是(
B.

1 10

10 10

C. ?

4

D.

? 40

【答案】D 10.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A =“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B = “取到的 2 个数均为偶数”,则 P( B | A) ? ( ) A.

1 8
2

B.

1 4

C.

2 5

D.

1 2

【答案】B 11.已知圆 O: x

? y 2 ? 9 ;直线 l 过点(0,3),倾斜角为 ? , ? 在区间(0,π )内随机

取值, l 与圆 O 相交于 A、B 两点,则|AB|≤ 3 A.

2 的概率是(
1 2

) D.

2 3

B.

1 4

C.

3 4

【答案】C 12.将一枚硬币连掷五次,如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率,那么 k 的值为 ( ) A.0 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.一个骰子连续投 2 次,点数和为 6 的概率为____________. 【答案】 B.1 C.2 D.3

5 36 5 36
(结果用数值表示).

14.连续抛掷一颗骰子两次,则 2 次掷得的点数之和为 6 的概率是____________ 【答案】

15.某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者 中,男、女都有的概率为

14 【答案】 15
16. 曲线 y ? x
2 2 2 向圆 x ? y ? 2 x ? 8 ? 0 ? 3 在点 (1, 4) 处的切线与两坐标轴的交点为 A 、B ,

内随机投一点,则该点落在 ?AOB 内的概率是



【答案】

1 9?

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.某品牌的汽车 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如右表所示:

已知分 3 期付款的频率为 0.2 ,4S 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润为 1 万 元;分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万元.用? 表示经销 一辆汽车的利润. (Ⅰ)求上表中 a,b 的值; (Ⅱ)若以频率作为概率,求事件 A:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 l 位采用 3 期 付款”的概率 P(A); (Ⅲ)求 ? 的分布列及数学期望 E? . 【答案】(Ⅰ)由

a ? 0.2得a ? 20 100
∴b=10

∵40+20+a+10+b=100

(Ⅱ)“购买该品牌汽车的 3 位顾客中至多有 1 位采用 3 期付款”的概率:
1 P( A) ? 0.83 ? C3 0.2(1 ? 0.2) 2 ? 0.896

(Ⅲ)记分期付款的期数为 ? ,依题意得

40 20 ? 0.4, P(? ? 2) ? ? 0.2, P(? ? 3) ? 0.2 100 100 10 10 P(? ? 4) ? ? 0,1, P(? ? 5) ? ? 0.1 100 100 ? ? 的可能取值为:1,1.5,2(单位万元) P(? ? 1) ?

P(? ? 1) ? P(? ? 1) ? 0.4 P(? ? 1.5) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.4 P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? 0.1 ? 0.1 ? 0.2
? ? 的分布列为

? ? 的数学期望 E? ? 1? 0.4 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.2 ? 1.4 (万元)
18.某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周 一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每 位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门 科目的辅导讲座。(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数 据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。 【答案】(I)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 则 P ( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

1 2

2 3

2 3

1 18

(II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5

1 2 1 P (? ? 0) ? (1 ? ) 4 ?(1 ? ) ? , 2 3 48 1 2 1 2 1 1 1 P(? ? 1) ? C4 ? ?(1 ? )3 ? ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? , (1 2 2 3 2 3 8 1 2 1 2 2 1 2 7 2 1 1 P(? ? 2) ? C4 ?( ) ?(1 ? ) ?(1 ? ) ? C4 ? (1 ? )3 ? ? , 2 2 3 2 2 3 24 1 2 1 2 1 3 1 2 1 P(? ? 3) ? C4 ?( )3 ? ? )? ? ) ? C4 ? ) 2 ? ? ) 2 ? ? , (1 (1 ( (1 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 P(? ? 4) ? ( ) 4 ? ? ) ? C4 ? )3 ? ? )? ? , (1 ( (1 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P (? ? 5) ? ( ) 4 ? ? , 2 3 24
所以随机变量 ? 的分布列如下:

故 E? ? 0?

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? 48 8 24 3 16 24 3 19. 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站, 求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概率 (假
定车到来后每人都能上).

【答案】可以认为人在任何时刻到站是等可能的。设上一班车离站时刻为 a ,则该人到站的时刻 的一切可能为 ? ? (a, a ? 5) ,若在该车站等车时间少于 3 分钟,则到站的时刻为

g ? (a ? 2, a ? 5) , P( A) ?

g的长度 3 ? 。 ?的长度 5

20.盒中装有 7 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 5 个未经使用. (Ⅰ)从盒中每次随机抽取 1 个零件,每次观察后都将零件放回盒中,求 3 次抽取中恰有 1 次抽到 使用过的零件的概率; (Ⅱ)从盒中随机抽取 2 个零件,使用后放回盒中,记此时盒中使用过的零件个数为 X ,求 X 的 ... 分布列和数学期望. 【答案】 (Ⅰ) “从盒中随机抽取 1 个零件, 记 抽到的是使用过的零件” 为事件 A , P ( A) ? 则 所以 3 次抽取中恰有 1 次抽到使用过的零件的概率 P ? C3 ( )( ) ?
1 2

2 . 7

2 5 7 7

150 . 343

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 2,3, 4 .

P( X ? 2) ?

C2 1 2 ? ; 2 C7 21

P( X ? 3) ?

C1 C1 10 C2 10 5 2 ? ; P( X ? 4) ? 5 ? . 2 2 C7 21 C7 21

所以,随机变量 X 的分布列为:

EX ? 2 ?

1 10 10 24 ? 3? ? 4 ? ? . 21 21 21 7

21.设不等式 x2 ? y 2 ? 4 确定的平面区域为 U, x ? y ? 1 确定的平面区域为 V. (1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域 U 内任取 3 个整点,求这些整点中恰有 2 个 整点在区域 V 的概率; (2)在区域 U 内任取 3 个点,记这 3 个点在区域 V 的个数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】 (1)依题意可知:平面区域 U 的整点为 ? 0,0? , ? 0, ?1? , ? 0, ?2? , ? ?1,0? , ? ?2,0? , ? ?1, ?1? 共有 13 个,平面区域 V 的整点为 ∴P?
2 C5 .C1 40 8 ? 3 C13 143

? 0,0? , ?0, ?1? , ? ?1,0? 共有 5 个,

(2)依题意可得:平面区域 U 的面积为: π ? 22 ? 4π ,平面区域 V 的面积为: 在区域 U 内任取 1 个点,则该点在区域 V 内的概率为 易知: X 的可能取值为 0,2 3 , 1,,

1 ? 2? 2 ? 2 . 2

2 1 ? , 4π 2π
1 2 2

1 ? ? 2π ? 1? 1 ? 3 ? 2π ? 1? ? 1 ? ? ? 1 ? ? P( X ? 0) ? C ? ? ,P( X ? 1) ? C1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3 ? ? ?1 ? ? ? 3 8π 8π3 ? 2? ? ? 2π ? ? 2π ? ? 2π ?
0 3 3 0 3

2 ? 1 ? P( X ? 2) ? C3 ? ? ? ? 2π ?

2

1 ? 3 ? 2π ? 1? ? 3 ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ,P( X ? 3) ? C3 ? ? ? 2π ? 8π3 ? ? 2π ?
1

3

1 ? 1 ? ? ?1 ? ? ? 3 . 2π ? 8π ?

0

∴ X 的分布列为:

X 的数学期望 EX ? 0 ?
(或者: X ~ B (3,

? 2π ?1?
8π3

3

? 1?

3 ? 2π ? 1? 3 ? 2π ? 1? 1 3 . ? 2? ? 3? 3 = 3 3 8π 8π 8π 2π
2

1 3 1 ? ) ,故 EX ? np =3 ? ) 2π 2π 2π

22. 某中学的高二(1)班男同学有 45 名, 女同学有 15 名, 老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里 选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两 名同学中恰有一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68, 70, 71, 72, 74 ,第二次做试验的同 学得到的试验数据为 69, 70, 70, 72, 74 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.

P?
【答案】(1)

n 4 1 ? ? m 60 15

1 ? 某同学被抽到的概率为 15

45 x ? 设有 x 名男同学,则 60 4 , ? x ? 3
(2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为

? 男、女同学的人数分别为 3,1
,则选取两名同学的基本事件有

a1 , a2 , a3 , b

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , b), (a2 , a1 ), ( a2 , a3 ), ( a2 , b), ( a3 , a1 ), ( a3 , a2 ), ( a3 , b), (b, a1 ), (b, a2 ), (b, a3 )
共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种

? 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为

P?

6 1 ? 12 2

(3)

x1 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 x2 ? ? 71 5 5 ,

s12 ?

(68 ? 71) 2 ? ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71) 2 ? ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 s2 ? ? 3.2 5 5 ,

第二同学的实验更稳定.


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