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高一数学必修二第一章习题


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双基限时练(一)
一、选择题 1.下面几何体的截面一定是圆面的是( A.圆柱 C.球 答案 C ) B.圆锥 D.圆台 )

2.下列说法正确的是(

A.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成 B.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台 的母线 C.圆柱的任意两条母线所在直线互相平行 D.用一平面截圆锥,截面与底面之间的部分为圆台 解析 行. 答案 C ) 由旋转的过程, 可知圆柱的任意两条母线所在直线互相平

3.如图所示,观察下面四个几何体,其中判断正确的是(

A.①是圆台 C.③是圆锥 答案 C

B.②是圆台 D.④是圆台

4.如图①是由下面哪个平面旋转得到的(

)

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解析 答案

由旋转的知识,可知答案为 C. C

5.一个圆锥的母线长为 20 cm,母线与轴的夹角为 30° ,则圆锥 的高为( )

A.10 3 cm C.20 cm 解析 答案

B.20 3 cm D.10 cm

由图可知,h=20cos30° =10 3(cm),答案为 A. A

6.有下列四个命题: ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体; ②以直角三角形的一边
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为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥;③圆台的任意两条母线的延长线 可能相交也可能不相交;④圆锥的轴截面是等腰三角形. 其中错误命题的个数是( A.1 C.3 解析 ) B.2 D.4 ①错,以矩形某一边为轴旋转才是圆柱,以对角线为轴旋

转则不是圆柱;②错,以其直角边为轴旋转才是圆锥;③错,一定相 交;④正确. 答案 C

二、填空题 7.圆台的两底面半径分别为 2 cm 和 5 cm,母线长为 3 10 cm, 则它的轴截面面积为________. 解析 圆台的高 h= ?3 10?2-?5-2?2=9(cm), ?4+10?×9 2 = 63(cm ). 2

S 轴截面= 答案

63 cm2

8.用一张 4 cm×8 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,接头忽略不 计,则轴截面面积是________. 解析 若圆柱的高为 8 cm,则 2πr=4(cm),

4 4 32 2 2r=π,轴截面面积 S=8· = (cm ), π π 若圆柱的高为 4 cm,则 2πr=8(cm), 8 8 32 2 2r=π,轴截面面积 S=4· π= π (cm ), 32 故答案为 π cm2.

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答案

32 2 cm π

9.一直角梯形上底长为 1,下底长为 3,高为 2,现绕着直角梯 形的下底旋转一周,所围成的几何体的轴截面的面积为________. 解析 其轴截面由两部分组成其中一个为矩形,一个为三角形,

1 S=4×1+2×4×2=8. 答案 8

三、解答题 10.

如图所示,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD<BC,当梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成一个几何体, 试描述该几何体的结构特征. 解 如图所示, 旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩

余部分而成的组合体.

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11.如果一个圆锥的侧面展开图是半圆,求这个圆锥的轴截面的 顶角. 解 设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,

l 由题意,可得 πl=2πr,∴r=2. ∴轴截面的顶角 α 满足 α r 1 α sin2= l =2,∴2=30° . ∴α=60° ,即圆锥轴截面的顶角为 60° . 12. 已知一个圆台的母线长是 5 cm, 上、 下底面的面积分别是 9π cm2 和 16π cm2,求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 解 (1)设圆台的上、下底面半径为 r、R,高为 h,

则 r=3,R=4,h= l2-?R-r?2= 52-12= 2 6(cm); l′-l r l′-5 3 (2)设圆锥母线长为 l′, 则 =R, 即 =4, l′=20(cm). l′ l′ 思 维 探 究 13.一个圆锥的底面直径为 4,高为 8,在其中有一个高为 x 的 内接圆柱.

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(1)用 x 表示圆柱的轴截面面积; (2)当 x 为何值时,S 最大.



作出圆锥和内接圆柱的轴截面,设圆柱的底面半径为 r.

x 2-r x 由三角形相似可得8= 2 ,得 r=2-4. x? ? 1 (1)圆柱的轴截面面积 S=2rx=2?2-4?x=-2x2+4x,x∈(0,8)
? ?

1 1 (2)∵S=-2x2+4x=-2(x-4)2+8,x∈(0,8), ∴当 x=4 时,S 取得最大值 8.
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