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辽宁省大连市102中2013届高三第二次阶段考试数学试题(理科)


辽宁省大连市 102 中 2013 届高三第二次阶段考试数学试题 (理)试题
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分) 1.已知集合 A ? {x | lg x ? 1 B ? {y | y ? 3 ? 2x ? x 2 } ,则 A? B =( }, A. ( ? ? ,2 ] B. ? C. ( 0,2 ] D. [ 0,10 ) ) )<

br />
2.如果命题“p 且 q”是假命题, “非 p” 是真命题,那么( A.命题 p 一定是真命题 C.命题 q 一定是假命题 B 命题 q 一定是真命题

D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题 )

3.已知向量 a 和 b 的夹角为 120? , | a |? 2 ,且 (2a ? b) ? a ,则 | b |? ( A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

4.如果函数 y=3 cos ? 2 x+? ? 的图像关于点 ? A.

? 4? ? 那么 | ? | 的最小值为 ( ) ,0 ? 中心对称, ? 3 ?
D.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

? 2


5.等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1, a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ? 6 B. ?8 C.8 D.6

6.已知函数 f(x)= ( ) x ? log3 x , x0 是方程 f(x)=0 的解, 0<x1<x0, f(x1)的值为( 若 且 则 A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

1 5

)

7.函数 y ?

lg | x | 的图象大致是( x

)

8.已知函数 f ( x) ? sin ?

?x ?? ? ? ,如果存在实数 x1, x2 使得对任意实数 x ,都有 ?4 3?

第 1 页 共 7 页

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ,则 | x1 ? x2 | 的最小值是( )
A. 8? B.4 ? C. 2? D. ?

9.已知直线 x ? y ? a与圆 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,其中 O x 为原点,则实数 a 的值为( A.2 B.-2 ) C.2 或-2 D. 6 或 ? 6 )

10.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ | x ? 2| ? | x |? a 恒成立”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11.已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8,则曲线 y ? f ( x) 在点

(1, f (1)) 处的切线方程是 (
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x

) C. y ? 3 x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

12.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为( m n 3 A. 2

) B.

5 3

C.

25 6

D. 不存在

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分) 13.函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



n 14.在数列 ?an ?中,a1 ? 0, a2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ? 1 ? ( ?1) (n ? N ?) ,S100 ? 且



15.设函数 f ( x ) 是奇函数,并且在 R 上为增函数,若 0≤ ? ≤ >0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 16.设向量 AB ? 2, AC ? 3, AB ? AC ? 19, 则?CAB ? 三、解答题(本大题共 70 分) 17.(10 分) 已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1).
2 (1)当 a // b 时,求 2 cos x ? sin 2 x 的值;

?
2

时,f(msin ? )+f(1—m)

. .

??? ?

????

??? ?

????

?

3 ? 2

? ?

(2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ?

?

? ?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

18.(12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项。 (1)求数列{an}的通项公式;

第 2 页 共 7 页

(2)若 bn= an log 1 an ,sn=b1+b2+┉+bn,求 sn+n? 2n?1 >50 成立的正整数 n 的最小值。
2

19. (12 分)如图, 已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为 等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. D F 20.(12 分)在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品。从这 10 件产品中 任取 3 件,求: (I)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21. (12 分)已知 F1,F2 是椭圆 C: C A B E

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,点 P ( ? 2,1) 在 a 2 b2

椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0 。 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)椭圆 C 上任一动点 M ( x0 , y0 ) 关于直线 y=2x 的对称点为 M1(x1,y1),求 3x1-4y1 的取值 范围。 22. (12 分)已知函数 f ( x ) ? ln x, g( x ) ?
1 2 ax ? bx(a ? 0) 2

???? ????? ?

(1)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数 ? ( x) ? e 2 x ? be x , x ? [0, ln 2] ,求函数 ? (x ) 的最小值。

第 3 页 共 7 页

辽宁省大连市 102 中 2013 届高三第二次阶段考试数学试题 (理)试题答案
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分) 1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.A 7.D 8. B 9.C 10.C 11.A 12.A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分) 13.

[3, ??)

14. 2550

15. (-∞,1)16.

60?

三、解答题(本大题共 70 分) 17.解(1)? a || b

? ?

,∴

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2
(5 分)

2 cos 2 x ? sin 2 x ?

2 cos 2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? . sin 2 x ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 13

(2)? a ? b ? (sin x ? cos x, )

? ?

1 2

? ? ? 2 ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? sin(2 x ? ) 2 4
∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

? 2 3? ? ? ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 2 4 4 4
∴函数 f ( x)的值域为 ??

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

? ?

2 1? , ? 2 2?

(10 分)

18.解:(I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28, 得 a3=8,

∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2 分

1 ? ?a1q ? a1q 3 ? 20 ? q ? 2 ?q ? ? ∴? 解之得 ? 或? 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 2 ?a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? ? ?a1 ? 32 ?
又{an}单调递增,∴q=2,a1=2,

∴an=2n
n n 2

┉┉┉┉┉┉┉┉6 分
n

(II) bn ? 2 ? log 1 2 ? ?n ? 2 , ┉┉┉┉┉┉┉┉7 分

∴ ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n ? 2n

① ②

∴ ?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 n ? n2 n ?1 ∴①-②得 sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 = 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 ┉ 1? 2

第 4 页 共 7 页

10 分 ∴ sn ? n ? 2n ?1 ? 50, 即 2n?1 ? 2 ? 50,?2n?1 ? 52
n ?1 故使 sn ? n ? 2 ? 50, 成立的正整数 n 的最小值为 5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12 分

19.设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,则

A ? 0,0? ,C ? 2a,0? , B ? 0,0, a ? , D a, 3a,0 , E a, 3a, 2a . 0, 0,
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ?

?

? ?

?

?3 ? 3 a, a, 0 ? . ?2 ? 2 ? ?

??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 AF ? ? a, a, 0 ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? , ?2 ? 2 ? ? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ∵ AF ? BE ? BC , AF ? 平面 BCE ,∴ AF // 平面 BCE . …..4 分 2 ??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 a, 0 ? , CD ? ?a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? , (2) 证明 ∵ AF ? ? a, ?2 ? 2 ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ,∴ AF ? CD, AF ? ED . ??? ? ∴ AF ? 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ……8 分 ? ??? ? ? ??? ? ? (3) 解 设平面 BCE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得: ? x ? 3 y ? z ?0 , 2 x ? z ?,取 n ? 1, ? 3, 2 . 0
(1) 证明

?

?

?

?

?

?

?

?

?2 ??? ? ? BF ?n 2a 2 sin ? ? ??? ? ? ? . ? 4 BF ? n 2a ? 2 2

又 BF ? ? ?

??? ?

?3

a,

? 3 a, ?a ? ,设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ,则 ? 2 ?

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

2 . 4

……12 分

k 20.(Ⅰ)解:由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 C 3 ,从 10 件产品中任取 3 件,其中恰

k 有 k 件一等品的结果数为 C3 C3?k ,那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品 7

的概率为 P(X=k)= C 3 C 7 ,k=0,1,2,3. 3
C10

k

3? k

所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2
第 5 页 共 7 页

3

P

7 24

21 40

7 40

3 120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? (6 分) 24 40 40 120 10

(Ⅱ)解:设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A, “恰好取出 1 件 一等品和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2, ”恰好取出 3 件一等品”为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而
P( A1 )
2 7 C1 C3 3 1 3 , ? , P(A2)=P(X=2)= 40 ,P(A3)=P(X=3)= 3 120 40 C10

所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
3 7 1 31 + + = 40 40 120 120

(12 分)

21.解: (1)由已知,点 P ( ? 2,1) 在椭圆上 ∴有

2 1 ①┉┉┉┉┉┉┉┉1 分 ? ?1 a 2 b2 ???? ????? ? 又? PM ? F2 M ? 0 ,M 在 y 轴上,

∴M 为 P、F2 的中点,┉┉┉┉┉┉┉┉2 分 ∴ ? 2 ? c ? 0, c ?
2 2 ∴由 a ? b ? 2 ,

2 .┉┉┉┉┉┉┉┉3 分
②┉┉┉┉┉┉┉┉4 分

2 2 2 解①②,解得 b ? 2 ( b ? ?1 舍去) ,∴ a ? 4

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 。┉┉┉┉┉┉┉┉6 分 4 2

(2)∵点 M ( x0 , y0 ) 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 M1 ( x1, y1 ) ,

? y0 ? y1 ? x ? x ? 2 ? ?1, ? 1 ∴? 0 ┉┉┉┉┉┉┉┉8 分 ? y0 ? y1 ? 2 ? x0 ? x1 . ? 2 ? 2

4 y0 ? 3x0 ? ? x1 ? ? 5 解得 ? ┉┉┉┉┉┉┉┉10 分 ? y ? 3 y0 ? 4 x0 ? 1 5 ?
∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 . ┉┉┉┉┉┉┉┉11 分
第 6 页 共 7 页

∵点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 上,∴ ?2 ? x0 ? 2, ∴ ?10 ? ?5x0 ? 10 。 4 2

即 3x1 ? 4 y1 的取值范围为[-10,10] 。┉┉┉┉┉┉┉┉12 分 (本小题满分 12 分)

第 7 页 共 7 页


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