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高中数学选修1-2模块综合检测


(时间:120 分钟;满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填在题中横线上) i-2 1.(2011 年高考北京卷改编)复数 =________. 1+2i i-2 ?i-2??1-2i? 5i 解析: = = =i. 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 答案:i 2.下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表,那么 A=________,B=________,C= ________,D=________. 晚上 白天 总计 45 B 男婴 A 47 C 女婴 98 D 180 总计 解析:45+A=98,∴A=98-45=53, ∴C=A+47=53+47=100, ∴45+B=180-C=180-100=80,∴B=80-45=35, ∴D=B+47=35+47=82. 答案:53 35 100 82 3. (2011 年高考广东卷改编)设复数 z 满足(1+i)z=2, 其中 i 为虚数单位, z=________. 则 ? ?x-y=2, 解析:法一:设 z=x+yi,则(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i=2,故应有? 解得 ? ?x+y=0,
?x=1 ? ? ,故 z=1-i. ? ?y=-1

2?1-i? 2 法二:z= = =1-i. 1+i ?1+i??1-i? 答案:1-i 4.把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正 三角形,如图所示,则第七个三角形点数是________.

解析:a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,?,∴a7=1+2+3+4+5+6+7=28. 答案:28 5.对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图(1);对变量 u,v 有观测 数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断变量 x 与 y________ 相关,u 与 v________相关(填正或负).

解析:图(1)中随 x 增大 y 减小,图(2)中随 u 增大 v 增大. 答案:负 正 6.用一条直线截正方形的一个角,得到边长为 a,b,c 的直角三角形(图 1);用一个平 面截正方体的一个角,得到以截面为底面且面积为 S,三个侧面的面积分别为 S1,S2,S3 的 三棱锥(图 2).试类比图 1 的结论,写出(图 2)的结论.

解析:在直角三角形中满足的边的长度关系是 a2+b2=c2,类比到图 2 中的三棱锥的四 2 个面的面积的关系式为 S2=S2+S2+S2. 1 3 2 2 2 2 答案:S =S1+S2+S3 7.(2011 年高考北京卷改编)执行如图所示的程序框图,输出的 s=________.

1 1 解析:由框图可知 i=0,s=2→i=1,s= →i=2,s=- →i=3,s=-3→i=4,s=2, 3 2 循环终止,输出 s.故最终输出的 s 值为 2. 答案:2 ^ 8.若施化肥量 x 与小麦产量 y 之间的线性回归方程为y=250+4x,当施化肥量为 50 kg 时,预计小麦产量为________. ^ ^ 解析:把 x=50 kg 代入y=250+4x 可求得y=450 kg. 答案:450 kg 9.在工商管理学中,MRP 指的是物质需要计划,基本 MRP 的体系结构如图所示.从 图中能看出影响基本 MRP 的主要因素有________个.

解析:影响 MRP 的主要因素为产品结构、库存状态和生产计划. 答案:3 1 4 27 a 10.已知 x∈(0,+∞),不等式 x+ ≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4,?,可推广为 x+ n≥n x x x x +1,则 a 的值为________. 解析:观察 a 与 n+1 的关系: 1→2,4→3,27→4, 即(2-1)1→2,(3-1)2→3,(4-1)3→4,故(n+1-1)n→n+1,所以 a=nn. 答案:nn 11.如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,则|z+i+1|的最小值为________. 解析:|z+i|+|z-i|=2 表示复平面内以点 A(0,1)、B(0,-1)为端点的线段. 则|z+i+1|表示线段 AB 上的点 Z 到 C(-1,-1)的距离.所以最小值为|BC|=1. 答案:1 12.如图中所示还有“哺乳动物”“地龟”“长尾雀”三项未填,则①,②,③处分别 应填入________,________,________.

解析:根据结构图及动物间的从属关系,可知①为“哺乳动物”,②为“地龟”,③为 “长尾雀”. 答案:哺乳动物 地龟 长尾雀 13.在 600 个人身上试验某种血清预防感冒的作用,把他们一年中的感冒记录与另外 600 名未用血清的人的感冒记录作比较,结果如下: 未感冒 感冒 合计 292 30 600 使用血清 284 316 600 未使用血清 576 624 1200 合计 则该种血清预防感冒________.(填“有效”或“无效”) 1200×?292×316-308×284?2 解析:χ2= ≈0.2137<2.706,所以没有理由说明这种血清 576×624×600×600 对预防感冒有作用. 答案:无效 14.设等边△ABC 的边长为 a,P 是△ABC 内的任意一点,且 P 到三边 AB、BC、CA 3 的距离分别为 d1、d2、d3,则有 d1+d2+d3 为定值 a;由以上平面图形的特性类比空间图 2 形: 设正四面体 ABCD 的棱长为 a, 是正四面体 ABCD 内的任意一点, P 到四个面 ABC、 P 且 ABD、ACD、BCD 的距离分别为 d1、d2、d3、d4,则有 d1+d2+d3+d4 为定值________. 3 解析:等边△ABC 中,d1+d2+d3= a 为△ABC 的高,类比正四面体中,d1+d2+d3 2 6 +d4 也应为正四面体的高 a. 3 6 答案: a 3

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分 14 分)若复数 z1 满足 z1=i(2-z1)(i 为虚数单位) (1)求 z1;(2)求| z 1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值. 2i 解:(1)由 z1=i(2-z1)得 z1= =1+i. 1+i (2)| z 1|=|z1|= 2. (3)|z-z1|表示复数 z 与 z1 对应的点 Z 与 Z1 间的距离, Z 在圆 x2+y2=1 上, 1 为(1,1), 又 Z 显然 Z,Z1 间的最大距离为 2+1. 即|z-z1|max= 2+1. 16.(本小题满分 14 分)据有关人士预测,我国将逐步进入新一轮消费周期,其特点是: 城镇居民消费热点主要为商品住房、小轿车、电子信息产品、新型食品,以及服务消费和文 化消费;农村消费热点是住房、家电.试画出消费的结构图. 解:如图所示:

17.(本小题满分 14 分)用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半. 1 已知:如图,在△ABC 中,∠A>90° ,D 是 BC 中点.求证:AD< BC. 2

1 证明:假设 AD≥ BC. 2 1 ①若 AD= BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么, 2 这条边所对的角为直角”知∠BAC=90° ,与题设矛盾. 1 ∴AD≠ BC. 2 1 1 ②若 AD> BC,∵BD=DC= BC, 2 2 ∴在△ABD 中,AD>BD, 从而∠B>∠DAB. 同理∠C>∠CAD. ∴∠B+∠C>∠BAD+∠CAD, 即∠B+∠C>∠BAC. ∵∠B+∠C=180° -∠BAC, ∴180° -∠BAC>∠BAC, 则∠BAC<90° ,与已知矛盾.

1 由①②知 AD< BC. 2 18.(本小题满分 16 分)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀, 85 分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表. 优秀 非优秀 总计 10 甲班 30 乙班 105 合计 2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 7 (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进 行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号,试求抽到 6 或 10 号的概率. 解:(1) 优秀 非优秀 总计 10 45 55 甲班 20 30 50 乙班 30 75 105 合计 (2)根据列联表中的数据,得到 105×?10×30-20×45?2 χ2= ≈6.109>3.841, 55×50×30×75 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x, y). 所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6),共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有:(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)、(4,6)、(5,5)、(6,4)共 8 个, 8 2 ∴P(A)= = . 36 9 a 19.(本小题满分 16 分)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),且 f(1)=- ,3a>2c>2b. 2 求证: b 3 (1)a>0,且-3< <- ; a 4 (2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. a 证明:(1)f(1)=a+b+c=- , 2 即 3a+2b+2c=0. 又 3a>2c>2b,所以 3a>0,2b<0,则 a>0,b<0. 又 2c=-3a-2b,3a>2c>2b, 所以 3a>-3a-2b>2b. 3 可得-3a<b<- a. 4 b 3 因为 a>0,所以-3< <- . a 4 (2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c, a ①当 c>0 时,f(0)=c>0 且 f(1)=- <0, 2 所以函数 f(x)在(0,1]内至少有一个零点. a ②当 c≤0 时,f(1)=- <0 且 f(2)=a-c>0, 2

所以函数 f(x)在(1,2)内至少有一个零点. 所以 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 20.(本小题满分 16 分)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 2002 2004 2006 2008 2010 年份 236 246 257 276 286 需求量(万吨) ^ ^ ^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量. 解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升的,下面求回归直线方 程.为此对数据预处理如下: 0 2 4 年份-2006 -4 -2 0 19 29 需求量-257 -21 -11 对预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2. ^ b= ?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29-5×0×3.2 ?-4?2+?-2?2+22+42-5×02 260 = =6.5, 40 ^ ^ a= y -b x =3.2. 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ^ ^ ^ y-257=b(x-2006)+a=6.5(x-2006)+3.2, ^ 即y=6.5(x-2006)+260.2.① (2)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5×(2012-2006)+260.2 =6.5×6+260.2=299.2(万吨).


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