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1.2.1任意角的三角函数(二)


湖南省长沙市第一中学

数学教案

高一(下)

必修四

三角函数

4-1.2.1 任意角的三角函数(二) 2017 届数学组
教学目的: 知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有 更深的理解。 德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程: 一、复习引入: 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式

sin(2k? ? ? ) ? sin ? (k ? Z) cos(2k? ? ? ) ? cos? (k ? Z) tan(2k? ? ? ) ? tan? (k ? Z)
练习 1.
o tan600 的值是__________ __.

A. ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D. 3

练习 2.

若 sin θ cosθ ? 0, 则θ在 ________ .
B. 第 一 、 三 象 限 D. 第 二 、 四 象 限

A. 第 一 、 二 象 限 C. 第 一 、 四 象 限
练习 3.

若 cosθ ? 0,且sin2? ? 0则θ的终边在 ____
B. 第三象限 C. 第四象限 D. 第二象限

A. 第一象限
二、讲解新课:

当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足

x 2 ? y 2 ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几

何表示——三角函数线。 1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。

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2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延 长线交与点 T .

y

y

T P

P
M

o

A

x

o

M

A

x

y (Ⅱ) T
M

T

y (Ⅰ)
M A

o

A

x

o

x

P
(Ⅲ)

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x y MP AT ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , tan ? ? ? ? ? AT r 1 r 1 x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明: (1)三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴 上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段 中两条在单位圆内,一条在单位圆外。 (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂 足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 (3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或

y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的

为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。

4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

? 5? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3

(4) ?

13? . 6

解:图略。

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例 2. 若0 ? ? ?

?
2

,证明 sin ? ? cos ? ? 1.

例3.比较大小: 2 4 (1) sin ?与 sin ? 3 5 2 4 (3) t an ?与 t an ? 3 5

2 4 (2) cos ?与 cos ? 3 5

1 例4.在[0,2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是 ( 2 ? ?? ?? 5? ? A. ?0, ? B. ? , ? C. ? 6? ?6 6 ?

)

? ? 2? ? ? 6 ,3 ? ? ?

? 5? ? D. ? ,? ? ?6 ?

例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.
1 (1) sin x ? ? ; 2
答案: (1)

( 2) c o s x?

1 . 2

7? 11? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; (2) ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 6 6 6 6

三、巩固与练习:P17 面练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 作业 4

参考资料 例 1.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1?

2? 4? s i n 与 sin 3 5

2? tan

2? 4? 与 tan 3 5

解: 如图可知:

sin

2? 4? ? sin 3 5

tan

2? 4? ? tan 3 5

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例 2.利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角 1? sin?≥ 解: 1? P2 o 30?≤?≤150?

1 2
y

2? tan? ?

3 3
2? y 30? T

P1 x 210? o

A

x

30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? 补充:1.利用余弦线比较 cos 64 ,cos 285 的大小; 2.若

?
4

?? ?

?
2

,则比较 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的大小;

3.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) cos? ?

3 ; 2

(2) tan ? ? ?1 ;

(3) sin ? ? ?

3 . 2


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