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直线的方向向量与点向式方程


1. 良好的开端是成功的一半

2.相信自己,永远不要低估自己的实力! 3. 在老师们的心中,你们永远 都是最棒的!

一个点和一个非零向量确定一条直线

B

→ BC

A

C

1.这个非零向量与直线有什么关系? 2. 怎样通过一个点和一个非零向量

去确定一条直线的方程呢?

直线的

方向向量与点向式方程

1.掌握直线的方向向量及其特点

2.掌握直线的点向式方程并能熟练 运用公式进行求解

1.已知点A(2,4),B(3,6),则向量 AB的坐标是
(1,2) 终点坐标减始点坐标

?

2.已知 AB ? ( x1 , y1 ), CD ? ( x2 , y2 ), 则 AB// CD 的充要条件是什么?
AB// CD ? x2 y1 ? x1 y2
? ?

?

?

?

?

1.方向向量
与一条直线平行的非零向量叫做 这条直线的方向向量。 通常用

v 表示



牛刀小试
观察下列哪些向量是图中直线的方向向量
?

l
d
?

?

a

不唯一
?

b

c

互相平行
?

e

1.在直线 l 任取一点P( x, y), P0 P 的

?

y P( x, y)
P 0 ( x0 , y0 )
?

坐标是什么? 2. 观察向量

→ PP
0

P0 P ? ( x ? x0 , y ? y0 )
?

?

与方向向量 v
?

v

有什么关系?

l
?

o
v ? (v1 , v2 )

x

P0 P// v

?

3. P0 P 与 v坐标间有什么关系?
P0 P / / v ? v2 ( x ? x0 )=v1 ( y ? y0 )
? ?

?

?

2.点向式方程

v2 ( x ? x0 ) ? v1 ( y ? y0 ) ? 0
特别地,如果v1 ? 0,v2 ? 0,则还可写成

x ? x0 y ? y0 ? v1 v2

大练兵
? ?

x ? x0 y ? y0 ? v1 v2
x ?1 y ? 2 ? 2 3

1. A(1, 2) v ? (2,3) 2. A( ?1,3) v ? (5, ?3) 3. A( ?3, ?1) v ? (2, 6)
?

x +1 y ? 3 ? 5 -3

x +3 y +1 ? 2 6

引申思考
x ?2 y ?3 1. ? 2 4
(2,3) v ? (2, 4)
?

x?4 y?3 2. ? 3 7

(4,-3) v ? (3, 7)

?

知识运用,巩固强化

求通过点A(1, -2),且一个方向向量 v ? (?1,3) 例1: 的直线方程。
解: 根据直线的点向式方程,得
x ?1 y ? 2 ? ?1 3 1.套公式列式

?

整理得所求直线的方程为 2.化简
3x ? y ? 1 ? 0

牛刀小试

求通过点A(1, -3),且一个方向 向量 v ? (?3, 2)的直线方程。
2x ? 3 y ? 7 ? 0 v ? (0, 2)
?

?

如果方向向量为

呢?

如果v1 =0 (此时一定有v2 ? 0) 则可得直线方程为

x ? x0
如果v2 =0 (此时一定有v1 ? 0) 则可得直线方程为

y ? y0

大练兵
1. A(3, ?2) v ? (0, 2) 2. A(2, ?1) v ? (3, 0) 3. A(?3, ?1) v ? (0, 6) 4. A(?4, ?1) v ? (1, 0)
? ? ? ?

x?3

y ? ?1
x ? ?3

y ? ?1

v1 =0

y
?

v2 =0
P 0 ( x0 , y0 )

y
P 0 ( x0 , y0 )

v

y ? y0

o
x ? x0
0 0 0

x
0 0 0

o

?

v

x

通过点 P ( x , y )且垂直于y轴的直线

通过点 P ( x , y )且垂直于x轴的直线

知识运用,巩固强化 例 2: 求下列过点P,且一个方向向量 v 的直线方程。
?

(1) P(3, -2), v ? (0, 2)
解:由于给定直 线的方向向量垂 直于x轴,所以过 点(3,-2)的 直线方程为
?

?

1.在坐标系中找出方向向量和已知点 2.过点作平行方向向量的直线

y

v ? (0, 2)

o

x
P(3, -2)

x=3

(2) P(2, -1), v ? (3,0)

?

y
解:由于给定直 线的方向向量垂 直于y轴,所以过 点(2,-1)的 直线方程为 y=-1
?

v ? (3, 0)

o

x
P(2, -1)

目标检测:
求下列过点P,且一个方向向量 v 的直线方程。
?

(1) P (2, -2), v ? (1,7) (2) P( ?1, -3), v ? (3,0) (3) P (2,, 5) v ? (0,8)
? ?

?

1.直线的方向向量 2.直线的点向式方程

非零向量 平行

不唯一

v2 ( x ? x0 ) ? v1 ( y ? y0 ) ? 0

x ? x0 y ? y0 如果v1 ? 0,v2 ? 0, 则直线方程为 ? v1 v2
如果v1 =0,则直线方程为 x ? x0

如果v2 =0,则直线方程为 y ? y0

练习9-1

习题3 (2)(3)(4)

课后思考:如果知道直线上两个 点的坐标A(2,7),B(3,6),能否利 用点向式求出直线的方程呢?


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