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山西省康杰中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学(理)试题


一、选择题:

i ,则复数 z 的共轭复数的虚部为 ?1 ? i 1 1 1 1 i A. ? i B. C. ? D. 2 2 2 2 2.质量 m=2 kg 的物体作直线运动,运动距离 s (单位:m)关于时间 t(单位:s)的函数是 s(t)=3t2+1,且
1.已知 i 为虚数单位,复数 z ? 物体的动能 U= A.18 焦耳


1 mv2,则物体运动后第 3s 时的动能为 2
B.361 焦 耳
? ?

C.342 焦耳
?

D.324 焦耳
?

3.在复平面内 ,O 是原点, OA , OB , AC 表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么 BC 表示的复 数为 A.2+8i B.2-3i C.-4+4i D.4-4i 4.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,则有 A.f '(x)=g(x) B.g'(x)=f(x) C.f '(x)=g'(x) D.g(x)= f(x) 5.下列表述正确的是 ①归纳推理是由特殊到一般的推理; ②演绎推理是由一般到特殊的推理; ③类比推理是由特殊到一般的推理; ④分析法是一种间接证明法; ⑤若 z ? C ,且 z ? 2 ? 2i ? 1 ,则 z ? 2 ? 2i 的最小值是 3 A.①②③④ B.②③④ C.①②④⑤ D.①②⑤
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(第 4 题)

6.设 a , b , c 都是正实数,则三个数 a+ A.都大于 2 C.都小于 2

1 1 1 ,b+ ,c+ 的值 b c a

B.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2

7. 观察:52-1=24,72-1=48,112-1=120,132-1=168,… 所得的结果都是 24 的倍数,由此推测可 有 A.其中包含等式:152-1= 224 C.其中包含等式 1012-1=10 200 B.一般式是:(2n+3)2-1=4(n+1)(n+2) D.24 的倍数加 1 必是某一质数的完全平方

8. 给出命题:若 a,b 是正常数,且 a≠b,x,y∈ (0,+∞),则

a b a 2 b 2 (a +b)2 + ≥ (当且仅当 = 时等号成 x y x y x +y 2 9 ? 0,1 ? )的最小值及取最小值时的 x 值分别为 立).根据上面命题,可以得到函数 f(x)= + (x∈ ? ? x 1 ? 2x ? 2? 2 2 1 1 A.11+6 2 , B.25, C.11+6 2 , D.25, 5 5 13 13

x 9.设函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x)(0 ? x ? 40 ?) ,则函数 f ( x ) 各极小值点之和为

第 1 页 共 6 页

A. 380?

B. 800?

C. 420?

D. 820?

10. 已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件: ①f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数; ②f (1) ? 0, g ( x) ? 0 ; ③ 当 x ? 0 时,总有 f ( x) g ?( x) ? f ?( x) g ( x) .则

f ( x ? 2) ? 0 的解集为 g ( x ? 2)

A. (1, 2)

(3, ??) (?1, ??)

B. (?1,0) D. (?1, 0)

(1, ??) (3, ??)

C. (?3, ?2)

11. 直线 l 与函数 y ? sin x( x ? [0, ? ]) 的图像相切于点 A ,与 x 轴交于点 B ,且 l∥OP , O 为坐标原点,

P 为图像的最高点,过切点 A 作 x 轴的垂线 ,垂足为 C ,则 BA BC =
A.

?

?

?2 4

B.

?2 2

C.

?2 ?4
4

D. 2

二? 填空题: 12.函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0) 存在单调递减区间,则 a 的取值范围是 2

13.在数列 ?an ? 中, a1 ? 4, an?1 ? f (an ) ,且 f ( x ) 满足下表,则 a2013 =

x
f ( x)

1 5
[来源:学科网]

2 4

3 2

4 1

5 3

三、解答题: 14.设 f ( x) ? a ln x ?

1 3 ? x ? 1, a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x=0 垂直. 2x 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极值. 15.观察下列各等式(i 为虚数单位): (cos 1+isin 1)(cos 2+isin 2)=cos 3+isin 3; (cos 3+isin 3)(cos 5+isin 5)=cos 8+isin 8; (cos 4+isin 4)(cos 7+isin 7)=cos 11+isin 11; (cos 6+isin 6)(cos 6+isin 6)=cos 12+isin 12. 记 f(x)=cos x+isin x. (1)猜想出一个用 f ( x), f ( y), f ( x ? y) 表示的反映一般规律的等式,并证明其正确性;
第 2 页 共 6 页

(2)根据(1)的结论推出 f n(x)的表达式;

π π? ? 5π 5π ? ? 3 1 ? ? (3)利用上述结论计算: ? cos +isin + i? ?· ? cos +isin ? +? 12 12 ? ? 12 12 ? ? 2 2 ? ? ? ?
16. 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (1)求 f ( x ) 的单调区间;

2007

.

(2)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ,若对 ?x1 ? (0, ??) ,均 ?x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求实数 a 的取值范围. 17.已知函数 f ( x ) ?

ax ? b 在点 (?1, f (?1)) 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 x2 ? 1
[来源:学&科&网]

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

(2)设 g ( x) ? ln x ,求证: g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1, ??) 上恒成立. 18.已知函数 f(x)=x+log2 (1)计算 s ?

x 3 -x



?

2

1

f ( x)dx ;
3 3 (2n ? 1) (n ? N ? ) ,用数学归纳法证明:S(n)- S= ? n ?1 n ?1 2 . 2

(2)设 S(n)=

第 3 页 共 6 页

一、选择题: 1 B 2 D 3
[来源:Zxxk.Com]

4 A 13.

5 D 5

6 B

7 C

8 B

9 A

10 A

11 C

C

二、填空题: 12. (?1, 0) 三、解答题: 14.解:(1) f ?( x) ?

a 1 3 ? 2? x 2x 2 1 3 ? ? 0 所以 a=-1.…… …………………..4 分 2 2

因为 f(x)在 x=1 处的切线与直线 x=0 垂直, 所以 f ?(1) ? a ?

(2)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 (3x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? ? ? 2 ? ? ? , x 2x 2 2x2 2x2
令 f ?( x) ? 0 得: x1 ? 1, x2 ? ? (舍去)

1 3

[来源:学.科.网 Z.X. X.K]

当 x ? (0,1) 时,f '(x)<0, f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数; 当 x ? (1, ??) 时,f '(x)>0, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数

[来源:Zxxk.Com]

所以,函数 f(x)在 x =1 处有极小值 3.………………………… ……………….10 分 ( 注:若没有舍去 x2 ? ?

1 ,而得函数 f ( x ) 有极大值,扣去 3 分) 3

15. 解:(1)f(x)f(y)=f(x+y).…………………………………………………..2 分 证明:f(x)f(y)=(cos x+isin x)(cos y+isin y) =(cos xcos y-sin xsin y)+(sin xcos y+cos xsin y)i =cos(x+y)+isin(x+y) =f(x+y).……………………………… …………………5 分 (2)∵f(x)f(y)=f(x+y),
[来源:Z,xx,k.Com]

? f n ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? f (nx) ? cos nx ? i sin nx .………………….8 分
π π? ? 5π 5π ? ? 3 1 ? ? (3) ? cos +isin ? · + i? ? cos +isin ? +? 12 12 ? ? 12 12 ? ? 2 2 ? ? ? ?
= ? cos +isin
2007

? ?

π 2

π? ? 2007 π 2007 π? +isin ? +? cos ? 2? ? 6 6 ?

=i+ ? cos

? ?

669π 669π ? +isin ? =2i........................................................................12 分 2 2 ?
1 ax ? 1 ? x x

16.解: (1)函数的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? a ?

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数;
第 4 页 共 6 页

当 a ? 0 时, x ? (0, ? ), f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数;

1 a

1 x ? (? , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数。 a
综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数; 当 a ? 0 时, f ( x ) 增区间是 (0, ? ) ,减区间是 ( ? (2)对 ?x1 ? (0, ??) ,均 ?x2 ?[0,1] ,要使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 对于 x1 ? (0, ??) , x2 ?[0,1] 时,需使得 f ( x1 )max ? g ( x2 )max 恒成立 由(1)知当 a ? 0 时, f ( x1 ) 在 (0, ??) 上为增函数, f ( x1 ) 无最大值; 当 a ? 0 时, f ( x1 ) max ? f ( ? ) ? ?1 ? ln( ? ) ? ?1 ? ln( ? a) 又 g ( x2 ) ? x22 ? 2x2 ? 2 在 x2 ?[0,1] 单调递减,所以 g ( x2 )max ? g (0) ? 2 所以 ?

1 a

1 , ??) ………6 分 a

1 a

1 a

a?0 1 ,则 a ? ? 3 e ??1 ? ln(?a) ? 2 ?
1 ) …………………… ………………………12 分 e3

所以,实数 a 的取值范围是 ( ??, ?

17.解: (1)当 x ? ?1 时,由 x ? y ? 3 ? 0 得 y ? ?2 , 又 f (?1) ?

b?a ? ?2 ,即 b ? a ? ?4 ① 1?1

a( x 2 ? 1) ? 2(ax ? b) x 因为 f ?( x) ? , (1 ? x 2 )2
所以 f ?(?1) ?

2a ? 2(b ? a) 2b ? ? ?1 ,② 4 4

由①②得: a ? 2, b ? ?2 ………………………………… ……………….4 分 (2)要证: ln x ?
2

2x ? 2 在 x ? [1, ??) 上恒成立 x2 ? 1

只要证: ( x ? 1)ln x ? 2 x ? 2 在 x ? [1, ??) 上恒成立 即证: x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 x ? [1, ??) 上恒成立
2

设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2x ? 2 ,则 h?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ?2 x

因为 x ? [1, ??) ,所以 2 x ln x ? 0, x ?
2

1 1 ? 2 ,即 h?( x) ? 2 x ln x ? x ? ? 2 ? 0 x x

所以 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2x ? 2 在 x ? [1, ??) 上是增函数,则 h( x) ? h(1) ? 0
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所以 g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1, ??) 上恒成立…………………………………………12 分 18.解: (1) 由定积分的性质得:
[来源:Zxxk.Com]

s ? ? f ( x)dx ? ? ( x ? log 2
1 1

2

2

2 2 2 x )dx ? ? xdx ? ? log 2 xdx ? ? log 2 (3 ? x)dx ……2 分 1 1 1 3? x

3 由于函数 y =log2 x 与 y ? log2(3-x) 在区间[1,2]上的图象关于直线 x= 对称, 2 故根据定积分的几何意义知: 2 2 2 3 log2 xdx- log2(3 -x)dx =0,而 xdx ? 3 ,则 S= .…… ………6 分 1 1 2 1 2

?

?

?

(2)用数学归纳法证明:S(n)- S= ? ①当 n ? 1 时,左边=

3 2n ?1

3 (2n ? 1) 3 3 ? ? ? n ?1 , 即证: n ?1 2 2 2

3 3(2 ? 1) 3 3 3 3 ? ? ? ? ? 2 ,右边= ? 2 ,所以等式成立; 2 2 2 2 4 2 2

②假设 n ? k (k ? 1, k ? N? ) 等式成立,即

3 (2k ? 1) 3 3 ? ? ? k ?1 成立, k ?1 2 2 2

那么当 n ? k ? 1 时,左边=

3 (2k ?1 ? 1) 3 3(2 ? 2k ? 1) 3 3(2 ? 2k ? 2 ? 1) 3 ? ? ? ? ? 2k ? 2 2 2 ? 2k ?1 2 2 ? 2k ?1 2

3(2 ? 2k ? 2) 3 3 3 ? 2(2k ? 1) 3 3 ? ? ? ? ? ? k ?1 k ?1 k ?1 2? 2 2? 2 2 2? 2 2 2 ? 2k ?1
?? 3 2
k ?1

?

3 3 3 ?? ? ? k ?1?1 k ?1 k ?1 2? 2 2? 2 2

这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式成立。 根据①②可知,等式对任意的 n ? N ? 都成立。……………………………………12 分

第 6 页 共 6 页


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