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数学文卷·2011届山东省临淄中学高三上学期期末模块学分认定考试(2011.01)


2010—2011学年第一学期临淄中学模块学分认定考试

高三数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共60分)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 设集合 M = {x | x ≤ m}, N = { y | y = 2 , x ∈ R}, 若M I N ≠ φ , 则实数m的取值范围是
?x

( A. m ≥ 0 B. m > 0 C. m ≤ 0



D. m < 0

1+ i 2.在复平面内,复数 i 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3.“ ω = 2 ”是“函数 y = sin(ωx + ? ) 的最小正周期为π”的





D.第四象限 ( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 如图是2011年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手 打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数 据的平均数和样本方差分别为( ) A.84,2 B.84,3 C.85,2 D.85,3 5.设 y = f ( x)是一次函数, 若f (0) = 1, 且f (1), f (4), f (13) 成等比数列,则

f (2) + f (4) + L + f (2n ) 等于
A. n ( 2n + 3) B. n ( n + 4) C. 2 n( 2 n + 3)





D. 2 n( n + 4)

A = 120 o , AB = 5, BC = 7, 则
6.在三角形ABC中,

sin B sin C 的值为 ( 3 D. 5



8 A. 5

5 B. 8

5 C. 3

r r r r a = ( x ? 1, , b = (4, y ) ,若 a ⊥ b ,则 9 x + 3 y 的最小值( 2) 7.已知向量
A. 2 3 B. 6 C.12 D.3 2



第 1 页 共 9 页

8.设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:

α // β ? ? ? β // γ α // γ ? ① ;
m ⊥α? ??α ⊥ β m // β ? ③ ;

α ⊥ β? ??m ⊥ β m // α ? ② ;
m // n ? ? ? m // a. n ?α? ④
D.②④

其中真命题的序号是 ( ) A.①④ B.②③ C.①③ 9.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的S= ( ) A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

x2 y2 + =1 3 的两个焦点,平 10.已知F1、F2是椭圆 4
面内一个动点M满足|MF1|-|MF2|=2, 则动点M的 轨迹是 ( ) A.双曲线 B.双曲线的一个分支 C.两条射线 D.一条射线

?? x + 3a ( x < 0) f ( x) = ? x (a > 0且a ≠ 1) ( x ≥ 0) ?a 是 11.函数
R上的减函数,则a的取值范围是( )

1 [ ,1) A. (0,1) B. 3

1 (0, ] 3 C.

2 (0, ] 3 D.


x 2 x 时 12.已知 x ∈ (? ∞,1] , 不等式1 + 2 + ( a ? a ) 4 > 0 恒成立,则a的取值范围是(

1 3 (? , ) A. 2 2

1 (?1, ) 4 B.

1? ? ? ? ∞, ? 4? C. ?

D. (? ∞,6]

第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
第 2 页 共 9 页

13. 若一个圆的圆心在抛物线 y = 4 x 的焦点上,且此圆与直线 x + y + 1 = 0 相切,则这
2

个圆的方程是 。 14.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据, 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是

? y = ?0.7 x + a ,则 a =

.

15.在平面直角坐标系中,不等式组

?x + y ? 2 ≥ 0 ? ? x ? y + 2 ≥ 0, ?x ≤ 2 ?

表示平面区域的面积是



16.给出下列四个结论: ①在△ABC中,∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件; ③某企业有职工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,若用分层抽样 的方法抽出一个容量为30的样本,则一般职员应抽出20人; ③如果函数

f ( x)

对任意的 x ∈ R 都满足

f ( x) = ? f (2 + x)

,则函数

f ( x)

是周期函数;

?π ? π x= ? ,0? 2 分别是函数 y = sin (ω x + ? )(ω > 0 ) 图像的一个对称中心和 ④已知点 ? 4 ? 和直线
一条对称轴,则 ω 的最小值为2; 其中正确结论的序号是 . (填上所有正确结论的序号) . 三、解答题:本大题共6个小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分)已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为 a 、 b 、 c ,向量。

ur A A r A A π ur r m = (cos , sin ) , = (cos , sin ) n ? 2 2 2 2 ,且 m 与 n 的夹角为 3
(1)求A;

(2)已知

a=

7 2 ,求 bc 的最大值。

18. (本小题满分12分) 已知等差数列

{a n

}的公差d大于0,且a2、a5是方程x2-12x+27=0的

第 3 页 共 9 页

两根,数列

{bn

1 Tn = 1 ? bn (n ∈ N *). 2 }的前n项和为Tn,且 {a n
}、

(I)求数列 (II)记

{bn

}的通项公式;

c n = a n bn , 求证 : c n +1 ≤ c n .

19. (本小题满分12分)如图在正三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中,点D、E、F分别是BC、

AC1

、 的中点.

BB1

(1)求证:平面

AC1 D ⊥ BCC1 B1 平面 ;
A1 B1C1


(2)求证: EF ∥平面

20. (本小题满分12分)设函数

f ( x) = ax +

x ( x > 1), 若a x ?1 是从1,2,3三个数中任取一个

数,b是从2,3,4,5四个数中任取一个数,求 f ( x ) > b 恒成立的概率。

21. (本小题满分12分)已知函数 (I)求 f (x ) 的单调区间;

f ( x) =

1 2 x ? ln x. 2

2 g ( x) = ? x 3 + x 2 , 证明当x > 1时, 函数f ( x)的图象恒在函数g ( x) 3 的图象的 (II)若
上方。 22. (本题满分14分)已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,1) ,短轴端点 和焦点所组成的四边形为正方形,若直线 l 与 y 轴交于点P(0,m) ,与椭圆C交于不同 的两点A、B,且 AP = 3PB . (Ⅰ)求椭圆C的离心率及其标准方程; (Ⅱ)求实数m的取值范围.
第 4 页 共 9 页

2010—2011学年第一学期临淄中学模块学分认定考试
高三数学(文科)参考答案
一、选择题每题5分,共60分 1—12 BDACA DBCCD BA 二、填空题每题4分共16分
2 2 13. ( x ? 1) + y = 2

14. 5.25

15.4

16.①③④

三、解答题,共74分

17.解: (1)∵

m = (cos

A A A A , sin ), n = (cos ,? sin ), 2 2 2 2



m ? n = cos 2

A A ? sin 2 = cos A. 2 2 ……………………2分



m ? n =| m | ? | n | cos 1 , 2

π
3

=

1 2



cos A =



A=

π
3 …………………………6分 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A, a = 7 π ,A= 2 3

(2)∵

49 π = b 2 + c 2 ? 2bc cos 3 ∴ 4
第 5 页 共 9 页

= b 2 + c 2 ? bc ≥ 2bc ? bc = bc ……………………8分



bc ≤

49 , 4 当且仅当b=c时取等号。

49 . ∴bc的最大值为 4 …………………………12分
18.解: (I)解方程得两根为

x1 = 3, x 2 = 9,Q d > 0, 所以a 2 = 3, a5 = 9 …………1分

从而

d=

a5 ? a 2 = 2, a1 = 1,∴ a n = 2n ? 1(n ∈ N *) 3 ………………………………4分

1 2 Tn = 1 ? bn中, 令n = 1, 得b1 = 2 3 …………………………………………5分 在已知 1 1 1 1 当n ≥ 2时, Tn = 1 ? bn , Tn ?1 = 1 ? bn ?1 , 两式相减得, bn = bn ?1 ? bn , 2 2 2 2



bn 1 2 1 2 = (n ≥ 2),∴ bn = ( ) n?1 = n (n ∈ N * ) bn ?1 3 3 3 3 ………………………………8分
cn = (2n ? 1) ? 2 4n ? 2 = n 3 3n

(II)

4 n + 2 4 n ? 2 8 ? 8n ? = n +1 , 3 n+1 3n 3 Q n ≥ 1,∴ c n ?1 ? c n ≤ 0, c n +1 ≤ c n .LLLLL 分 12 ∴ c n+1 ? c n =
19. (本小题满分12分) (1)在正三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中,

∵D是BC的中点,∴ AD ⊥ BC ……………3分 又

C1C ⊥ AD

,∴ AD ⊥ 平面

BCC1 B1

………………5分

∴平面

AC1 D ⊥ BCC1 B1 平面 ………………………6分 A1C1
的中点 G ,连结 EG 、

(2)取

B1G

∵E、F分别是 ∴四边形

AC1



BB1

1 AA1 BF ,∴ EG 平行且等于 2 平行且等于 1 ………9分
B1G
……………………………11分

EFB1G

为平行四边形,∴ EF ∥

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B1G ?

平面

A1 B1C1

,∴ EF ∥平面

A1 B1C1

……………………………12分

20.解: x > 1, a > 0,

f ( x) = ax + = ax +

x ?1+1 x ?1

1 +1 x ? 1 …………………………2分 1 +1+ a x ?1

= a ( x ? 1) +

≥ 2 a + 1 + a = ( a + 1) 2 , …………………………4分 ∴ f ( x) min = ( a + 1) 2 ,
2 于是 f ( x ) > b恒成立就转化为( a + 1) > b 成立。……………………6分

设事件A:“ f ( x ) > b 恒成立”,则 基本事件总数为12个,即 (1,2)(1,3)(1,4)(1,5) , , , ; (2,2)(2,3)(2,4)(2,5) , , , ; (3,2)(3,3)(3,4)(3,5) , , , ;…………………………8分 事件A包含事件: (1,2)(1,3) , ; (2,2)(2,3)(2,4)(2,5) , , , ; (3,2)(3,3)(3,4)(3,5)共10个……………………10分 , , ,

由古典概型得

P ( A) =

10 5 = . 12 6 ……………………12分

21. (本小题满分12分)

解: (I)

Q f ( x) =

1 2 x ? ln x的定义域为(0,+∞) 2 ,



f ( x)可得 : f ′( x) = x ?

1 x2 ?1 = x x

…………2分 …………3分

′ 令 f ( x) = 0, 则x = 1 ′ 当 x变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ′( x)

(0,1) —

1 0

(1,+∞)
+

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f (x)
…………5分 , 故 f (x ) 的单调递减区间是(0,1) 单调递增区间是 (1,+∞)

极小值

…………6分

(II)令

h( x) = f ( x) ? g ( x) =

2 3 1 2 x ? x ? ln x 3 2

1 2x3 ? x 2 ?1 则h ′( x) = 2 x ? x ? = x x
2

=

( x ? 1)(2 x 2 + x + 1) x

…………8分

Q x > 1 ∴ h ′( x) > 0

∴ h( x)在(1,+∞) 上单调递增
1 >0 6 ∴ f ( x) > g ( x) 又h(1) =
当 x > 1时, f ( x)的图象恒在g ( x)图象的上方. 22.解: (Ⅰ)由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆,

…………10分

…………12分

y2 x2 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b 可设 ,
a = 1, b = c = 2 2 ………………2分

由条件知a=1且b=c,又有 a = b + c ,解得
2 2 2

故椭圆C的离心率为

e=

c 2 = a 2 ,其标准方程为:

y2 +

x2 =1 1 2 …………………4分

(Ⅱ)设l与椭圆C交点为A(x1,y1) ,B(x2,y2)

? y = kx + m 得(k 2 + 2) x 2 + 2kmx + (m 2 ? 1) = 0 ? 2 2 ?2 x + y = 1
? = (2km) 2 ? 4(k 2 + 2)(m 2 ? 1) = 4(k 2 ? 2m 2 + 2) > 0(*)
第 8 页 共 9 页

x1 + x 2 =

? 2km m2 ?1 , x1 x 2 = 2 k2 + 2 k +2

……………………6分

∵ AP = 3PB ∴ ? x1 = 3x 2

? x1 + x 2 = ?2 x 2 ∴? 2 ? x1 x 2 = ?3 x 2
由此,得 3( x1 + x 2 ) + 4 x1 x 2 = 0,
2

……………………8分

∴ 3(

? 2km 2 m2 ?1 ) +4 2 =0 k2 + 2 k +2
………………10分

2 2 2 2 整理得 4k m + 2m + k ? 2 = 0

1 2 ? 2m 2 1 m 2 ≠ 时, k 2 = , m 2 = 时, 4 上式不成立; 4 4m 2 ? 1
因k≠0



k2 =

2 ? 2m 2 > 0, 4m 2 ? 1

1 1 ?1 < m < ? 或 < m < 1 2 2 ∴
2 2 容易验证 k > 2m ? 2 成立,所以(*)成立

1 1 即所求m的取值范围为(-1,- 2 )∪( 2 ,1)

……………………14分

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