当前位置:首页 >> >>

均值不等式的几点应用技巧


均值不等式的几点应用技巧

均值不等式



当且仅当

时取“

” 与



,当且仅当

时取“

” 是新教材第六章教学的重点,也是难点,通过一段时

间的学习,同学们发现它是证明不等式、解决求最值问题的生活必需品,甚至有的同学一遇 到此类问题,就想到它有万能的功效. 然而却忽视了它不适用之隅,而错用、误用,问题得 不到解决,使它的光辉在学生头脑中略显失色。下面就其求最值的实例来说明,以供同学们 在认知相悖中 加以甄别.

一、忽视等号的苦恼

例 1、设 错解:有的同学认为

,求函数的最小值. ,则由均值不等式得 ≥ ,∴ 。

正解: (利用函数的单调性) 令

, 考虑函数

(注意

≥ ,

由于对

≥ ,

,∴

是增函数。因此

其最小值为

,∴

(当

时取得). 。

说明: 此解错误在于没有从本质上把握均值不等式取得等号的条件, 要想取得

当且仅当,

时成立, 然而, 此式显然不成立, 取不到 ∴

,

因此利用均值不等式求最值,一定要判断等号是否成立.

例 2、 设

,且

,求

的最小值.

错解: 因为 ∴ ≥ ,即

, ∴ .



, 则

≥ , 又



正解:(整体使用条件)由

,∴



,当且仅当 .

,即

,∵

,∴

时取到

说明:此题同学利用了两次均值不等式,忽视了两次取得等号时,等号成立的条件



不能同时成立,错误由此发现.

二、缺乏对题设形式的演绎
题设是解决问题的灵魂.同学们在解决以下这一类问题时,往往拘泥于对题设形式的变 化、推理、判断、延伸不够,误用均值不等式,为加强均值不等式与相关知识的认识,下面 就以问题的正解,让同学去领会,找到症结. 例 3、若 解:令 为实数,且 , ( ≤ ≤ ,求 的最小值.

)代入已知等式得:

, 即

, 又 ∵







, 则易知

, 又

=

, ∴

的最小值为 ,求函数

. 的值

例 4. 已知 域. 解:∵ 又∵ 仅当

都是实数,且有

≥ (当且仅当 ≥ 时取等号),故函数 的值域为

时取等号), ,∴ ≤ (当且

例 5. 若 值.





,且

,求表达式

的最小

解:令





,∵

,则







, 故







,当且仅当

时等号成立.

三、巧用均值不等式、构造局部最值

例 6. 已知

,求

的最小值.

解:由

,知

,则













,上式中两个“≥”号中的等号当且仅当



时成立,即



时, 元( ≤ ≤

. )

例 7. 某商品进货价为每件

元,据市场调查,当销售价格每件

时,每天销售的件数为

,若想每天获得的利润最多,则销售价为多少元?

解:由题意:利润

,∵

≥ ,∴









,当且仅当

,即



(不合题

意舍去).


赞助商链接
相关文章:
均值不等式基本解题技巧
均值不等式基本解题技巧_数学_高中教育_教育专区。均值不等式解题技巧基本不等式求最值常用技巧(一正,二定,三相等) 例 1:求下列函数的值域 1 1 2 (1)y=3x...
浅谈均值不等式的应用
1 在初等数学中的应用 1.1 简单累加累乘 利用均值不等式证明不等式是一个学习难点,这里介绍一下技巧。 根据北京召开的第二十届国际数学家大会的会标为基础,我们...
均值不等式的总结及应用
等式来求最值。 A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不 g ( x) f ( x) ? x ? 技巧五:在应用最值定理求最值时,若...
用均值不等式求最值的常用技巧
均值不等式求最值的常用技巧均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件:一正、二定、三相等,缺一不可。多数求最值的问题具有...
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要 注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式应用二:利用均值不等式证明不等式 1....
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 均值不等式在实际生活中的应用_数学_自然科学_专业资料。均值不等式在...
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)_数学_高中教育_教育专区。...故选(B). a b 2 技巧五: 注意: 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不...
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧_数学_高中教育_教育专区。基本不等式习专题之基本不...的应用不等式的解法及运算能力;② 2 如何由已知不等式 ab ? a ? 2b ? ...
运用均值不等式的八类配凑方法_
4页 免费 均值不等式应用(技巧) 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
均值不等式公式总结及应用
总之,我们利用均值等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均 值等式应用二:利用均值等式证明丌等式 1....
更多相关标签: