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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:6.3 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题


第六章

第3讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 湖南段考]在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线 x-2y+4=0 的上方,则 t 的取值范围是( A. (-∞,1) C. (-1,+∞) 答案:B 解析:将 x=-2 代入直线 x-2y+4=0 中,得 y=1.因为点(-2,t)在直线上方,∴t>1.
? ?x≥0, 2. [2013· 河北名校联考]设定点 A(0,1),动点 P(x,y)的坐标满足条件? 则|PA|的最 ? ?y≤x,

) B. (1,+∞) D. (0,1)

小值是( A. C. 1 2 2

) B. D. 3 2 2

答案:A 解析:作出可行域如右图,|PA|的最小值为点 A 到直线 x-y=0 的距离,可求得为 2 . 2

?y≥2|x|-1 ? 3. 在坐标平面内,不等式组? 所表示的平面区域的 ? ?y≤x+1

面积为( A. 2 2 C. 2 2 3

) B. 8 3

D. 2

答案:B 解析:作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方 2 1 程可得 A(- , ),B(2,3),C(0,-1),E(0,1),如图可知, 3 3 1 8 S△ABC=S△ACE+S△BCE= ×|CE|×(xB-xA)= . 2 3 4. [2013· 川 、 吴 忠 联 考 ] 已 知 点 P(x , y) 满 足 银

?x+y≤4, ? ?y≥x, ?x≥1, ?
A. 2 C. 2 5 答案:D

过点 P 的直线与圆 x2+y2=14 相交于 A,B 两点,则 AB 的最小值为(

)

B. 2 6 D. 4

解析:当 P 点同时满足(1)P 为 AB 的中点;(2)P 点到 O 点的距 离最大时,AB 取得最小值.P 点的可行域如图所示,因为直线 y=x 和直线 x+y=4 垂直,故 P 点的坐标是(1,3)时,OP 最大.易知此时 AB=4,故选 D.

?x-y+1≥0, ? 5. [2013· 金版原创]若实数 x,y 满足?x+y≥0, ?x≤0, ?
2y

则 z=3x



的最小值是( A. 0 C. 3

) B. 1 D. 9

答案:B 解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域 (如图中的阴影部分所示)及直线 x+2y=0,平移直线 x+2y=0, 当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时,相应直线在 y 轴上的 截距最小,此时 x+2y 取得最小值,3x
+2y +2y

取得最小值,则 z=3x

的最小值是 30

+2×0

=1,选 B.

6. [2013· 沈阳四校联考]已知 x,y 的可行域如图阴影所 示,z=mx+y(m>0)在该区域内取得最小值的最优解有无数 个,则实数 m 的值为( 7 A. - 4 C. 1 2 ) B. 4 7 多

D. 2

答案:D 解析:由题意知 y=-mx+z(m>0),欲使目标函数在可行域内取得最小值的最优解有无 数多个,则需要-m=kAC= 二、填空题 1-3 =-2,所以 m=2,因此选 D. 2-1

?y≤x ? 7. 已知不等式组?y≥-x ?x≤a ?
y 的最大值为________. 答案:6

表示的平面区域 S 的面积为 4,点 P(x,y)∈S,则 z=2x+

解析:本题考查线性规划的基本知识.由题意可得 a>0.平面区域 S 是一个等腰三角形, 1 S= ×2a×a=4,∴a=2.则当直线 z=2x+y 过点(2,2)时,z 有最大值 6. 2

?x+y≥3, ? 8. [2013· 青岛质检]设变量 x, 满足约束条件: x-y≥-1, y ? ?2x-y≤3, ?
小值为________. 答案:1 解析:不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC,目 标函数的几何意义是区域内的点与点 P(0, -1)连线的斜率,
? ?x+y=3, 显然图中 AP 的斜率最小. ? 由 解得点 A 的坐标 ? ?2x-y=3,

y+1 则目标函数 z= 的最 x

y+1 1+1 为(2,1),故目标函数 z= 的最小值为 =1. x 2

?0≤x≤ 9. [2013· 豫西四校调研]在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
答案:4

2,

给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 N 的坐标为( 2,1),则 z=O· 的最大值为________. O

?0≤x≤ 解析: 不等式组?y≤2, ?x≤ 2y

2, 所表示的可行域如图所示,

由图示可得目标函数 z=O· O= 2x+y 所表示的平行直线系 z= 2x+y 过点 A( 2,2)时,目标函数取得最大值 2× 2+2=4. 三、解答题

?x+2y-3≤0, ? 10. [2013· 桂林质检]已知变量 x,y 满足的约束条件为?x+3y-3≥0, ?y-1≤0, ?
ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,求 a 的取值范围.

若目标函数 z=

解:依据约束条件,画出可行域.(如图) 1 ∵直线 x+2y-3=0 的斜率 k1=- , 目标函数 z=ax 2 +y(a>0)对应直线的斜率 k2 =-a,若符合题意,则需 1 1 k1>k2,即- >-a,得 a> . 2 2

?x-y+1≤0, ? 11. [2013· 绵阳模拟]实数 x、y 满足?x>0, ?y≤2. ?
y (1)若 z= ,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围; x (2)若 z=x2+y2,求 z 的最大值与最小值,并求 z 的取值范围.

?x-y+1≤0, ? 解:由?x>0, ?y≤2 ?

作出可行域如图中阴影部分所示.

y (1)z= 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此 x y 的取值范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率(OA 斜率不存 x 在).
?x-y+1=0 ? 2 而由? ,得 B(1,2),则 kOB= =2. 1 ? ?y=2

∴zmax 不存在,zmin=2, ∴z 的取值范围是[2,+∞). (2)z=x2+y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方. 因此 x2+y2 的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.
?x-y+1=0 ? 由? ,得 A(0,1), ?x=0 ?

∴|OA|2=( 02+12)2=1, |OB|2=( 12+22)2=5. ∴z 的最大值为 5,没有最小值. 故 z 的取值范围是(1,5]. 12. [2013· 贵州质检]某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资每份由金融投资 20 万元,房地产投资 30 万元组成;进取型组合投资每份由金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成.已知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元,每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,

那么这两种组合投资应注入多少份,才能使一年获利总额最多? 解:设稳健型投资 x 份,进取型投资 y 份,利润总额为 z(单位:10 万元),则目标函数

?20x+40y≤160 ? 为 z=x+1.5y(单位:10 万元),线性约束条件为:?30x+30y≤180 ?x≥0,y≥0?x∈N,y∈N? ? ?x+2y≤8 ? 即?x+y≤6 ?x≥0,y≥0?x∈N,y∈N? ?



?x+2y=8 ? 作出可行域,解方程组? ,得交点 M(4,2),作直线 l0:x+1.5y=0,平移 l0, ? ?x+y=6

当平移后的直线过点 M 时,z 取最大值:zmax=(4+3)×10 万元=70 万元.

答:稳健型投资 4 份,进取型投资 2 份,才能使一年获利总额最多.


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