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3.3.1《函数的单调性与导数》正式课件


3.3.1函数的单调性与导数 (第一课时)

一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 任意x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; G=(a,b) y y

o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。

a

b

x

G 称为单调区间

画出下列函数的图象,并根据图象指出每个 函数的单调区间
1 y? x

y ? x ? 2x ? 1
2

y ?3
y

x

y

y

o

x

o

1

x

1 o

x

在(- ∞ ,0)和 (0, +∞)上分别是 减函数。但在定义域上 不是减函数。

在(- ∞ ,1) 上是减函数, 在(1, +∞) 上是增函数。

在(- ∞,+∞) 上是增函数

观 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的 2
函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图象, 图(2)表示高台跳水运 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? ?4.9t ? 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到
h

思考:这种情况是否具有一般性呢? v
(1)
O t a

(2)
t b

最高点,离水面的高度h
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,v(t ) ? h?(t ) ? 0.

O

a

b

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0.

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性 与其导函数正负的关系.
y y=x y y = x2

y
y=

x3

y

1 y? x
x

O

x x O

O

x

O

结论:在定义域内的某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,
那么函数 递减.

y ? f (x) 在这个区间内单调递增;



果 f ?( x) ? 0,那么函数

y ? f (x) 在这个区间内单调

结论:

一般地,函数y=f(x)在某个区间D内可导: 如果恒有 f′(x)>0,则f(x)在D上 是增函数。 如果恒有 f′(x)<0,则f(x)在D上 是减函数。 如果恒有 f′(x)=0,则f(x)在D上 是常函数。

导函数的正负性决定原函数的增减性

例题

例1 已知导函数 f ?(x ) 的下列信息:

f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时,f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0.
当1 < x < 4 时,

试画出函数 f (x ) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f (x) 在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0, 可知 f (x ) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时,

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f (x )图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

.变式练习:
1.设f ?(x)是函数f(x)的导函数,y=f ?(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象 y 最有可能是( ) D
y y o 1 2 x o y 2

o 1

2

x

1

x

A
y 2 o1 x

B

o1 2

x

C

D

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x3 ? 3x; (2) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); 3 2 (4) f ( x) ? 2x ? 3x ? 24x ? 1. 解: (1) 因为 f ( x) ? x3 ? 3x , 所以 f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0. 3 因此, 函数 f ( x) ? x ? 3x 在 x ? R 上单调递增.
2 2

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3, 所以 (2) 因为 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 当 f ?( x) ? 0 即x ? (1, ?) 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , 单调递增;
?( x) ? 0 即x ? - ?, ( 1函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 单调递减. ) 当f , ,

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? );

(4) f ( x) ? 2x3 ? 3x 2 ? 24x ? 1.

解: (3) 因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) , 所以 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0. 因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? ) 上单调递减. 3 2 (4) 因为 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24x ? 1 , 所以 ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 24 f ?2 ? 17 ?( x) ? 0 , 即 ? ( ?2 ? 17 ? ?) f x ? (??, ) 当 x 4 4 f 或 (x ) , 函数 单调递增; 当 ?( x) ? 0 , 即 x ? ( ?2 ? 17 , ?2 ? 17 ) 时, 函数 (x ) f f
单调递减.
4 4

变式练习2
求证: 函数 f ( x) ? 2 x
3

? 6x ? 7 在 (0,2) 内是减函数.
2

解:

? f ( x) ? 2x3 ? 6x 2 ? 7 ?( x) ? 6 x 2 ? 12x. ?f
由 f ?( x) ? 0 , 解得 0 ? x ? 2 , 所以函数 f (x )

的递减区间是 (0,2) , 即函数 f (x ) 在 (0,2) 内是减 函数.

例题3:如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容 器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

思考:能用导数来解释函数变化的快慢吗?
h h

h

h

O

(A)

t

O

t (B)

O

t (C)

O

t

(D)

能用导数来解释函数变化的快慢吗?
结论:一般地, 如果一个函数在某一范围内导 数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化 得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向 上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一

些.
如图,函数 y ? f (x) 在(0, b) 或 (a,0) 内的图象“陡峭”,在b,??) (

或 ( ??, a ) 内的图象平缓.

知识拓展
f (x)在(a,b)上为增函数的则 在(a,b)上,f '(x)≥0恒成立且f '(x)不恒为0
(减函数时同理)

例1、已知函数f (x)=ax3+1在(-∞,+∞)上单调递增, 求实数a的取值范围.

解: f ( x )在(??, ??)是增函数 ?

? f '( x) ? 3ax ? 0在(??, ??)上恒成立 ?a ? 0 又 ?当a ? 0时,f '( x )恒为0,不合题意 ?实数a的取值范围是(0, ??)
2

知识拓展::已知函数f (x)=x3+ax在(-∞,+∞)上 单调递增,求实数a的取值范围。 解:∵函数f (x)=x3+ax在(-∞,+∞)上单调递增

? f '( x) ? 3 x 2 ? a ? 0在R上要恒成立 2 ? a ? =-3x 在R上要恒成立 即a≥0
又?当a ? 0时,f '( x) ? 3 x 不恒为0
2

∴当函数f

(x)=x3+ax在(-∞,+∞)上单调递增时, 实数a的取值范围是[0,+∞)

总结
1、求可导函数f(x)单调区间的步骤:

(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)

(3)确认并指出递增区间(或递减区间)
2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:

(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号

(3)作出结论

总 结 一般地,若题目的要求是
“判断某个函数的单调性或求它的单调区间” 则用导数f '(x)>0(或f '(x)<0)计算即可.
若题目的要求是 “已知某个函数的单调性,要求其他问题” 则需用导数f '(x)≥0(或f '(x)≤0)计算,并要检验 f '(x)是否恒为0.


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